专题22.4二次函数的图象与性质（3）（限时满分培优训练）-【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（原卷版）【人教版】

【拔尖特训】2023-2024学年九年级数学上册尖子生培优必刷题（人教版）专题22.4二次函数的图象与性质（3）y=a（x-h）²（限时满分培优训练）班级：___________________姓名：_________________得分：_______________注意事项：本试卷满分100分，试题共23题，其中选择10道、填空6道、解答7道．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级等信息填写在试卷规定的位置．一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（2023·浙江·九年级假期作业）抛物线y=-3x+12的顶点坐标是（A．1,0 B．-1,0 C．0,1 D．0,-1【答案】B【分析】直接根据抛物线的顶点式进行解答．【详解】解：由抛物线的顶点式可知，抛物线y=-3x+12的顶点坐标是故选：B．【点睛】本题考查的是抛物线的顶点坐标，即抛物线y=a（x-h）2．（2023·全国·九年级假期作业）对于二次函数y=x-22+1A．对称轴是直线x=-2 B．开口向下C．与x轴有两个交点 D．顶点坐标2,1【答案】D【分析】由抛物线解析式可求得其开口方向、对称轴、顶点坐标及与x轴交点个数，则可得出答案．【详解】解：∵y=x-2∴抛物线开口向上，顶点坐标为2，1，对称轴为直线x=2∴A、B不正确，D正确，∵抛物线开口向上，最小值为1，∴抛物线与x轴没有交点，∴C不正确，故选：D．【点睛】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．3．（2023·全国·九年级假期作业）关于二次函数y=-2x-3A．开口方向向下，顶点坐标为(0，3)B．当x＝3时，函数有最大值0C．当x＜3时，y随x的增大而减小D．开口方向向下，对称轴为y轴【答案】B【分析】由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解．【详解】解：∵y=-2x-3∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝3，顶点坐标为（3，0），故选项A、D错误；∴x＜3时，y随x增大而增大，故选项C错误；x＝3时，y取最大值为0，故选项B正确，故选：B．【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象与系数的关系．4．（2022秋·安徽滁州·九年级校考阶段练习）已知某二次函数，当x>1时，y随x的增大而减小;当x<1时，y随x的增大而增大，则该二次函数的解析式可能是（

）A．y=3(x+1)2 B．y=3(x-1)2 C．【答案】D【分析】根据题意可得抛物线开口方向和对称轴．【详解】解：∵当x>1时，y随x的增大而减小;当x<1时，y随x的增大而增大，∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=1，∴抛物线y=-3(x-1)【点睛】本题考查抛物线的增减性．抛物线的增减性与开口方向、对称轴有关．5．（2022秋·辽宁营口·九年级校考阶段练习）已知点A(-2,y1)、B(-1,y2)、A．y1<y2<y3 B．【答案】C【分析】函数y=(x-1)2的图像开口向上，对称轴为直线x=1，根据二次函数的性质得在对称轴x=1的左边时，y随x的增大而减小，在对称轴x=1的右边时，y随x的增大而增大，根据点A(-2,y1)、B(-1,y2)、C(2,y【详解】解：函数y=(x-1)2的图像开口向上，对称轴为直线∴在对称轴x=1的左边时，y随x的增大而减小，在对称轴x=1的右边时，y随x的增大而增大，∵点A(-2,y1)、B(-1,y2)、C(2,y∴y1故选：C．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．6．（2023·上海·九年级假期作业）关于二次函数y=-12x+1A．开口向下 B．图像不经过第一象限C．对称轴右侧的部分是下降的 D．顶点坐标是0【答案】D【分析】根据抛物线的性质由a=-1【详解】解：A、∵二次函数y=-12x+1∴抛物线开口向下，故该选项正确，不符合题意；B、∵x+12∴-12x+1∵第一象限的横纵坐标都为正，∴该抛物线不经过第一象限，故该选项正确，不符合题意；C、∵抛物线开口向下，∴在对称轴右侧的部分是下降的，故该选项正确，不符合题意；D、∵抛物线解析式为y=-1∴顶点坐标为-1，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的性质，牢记其y=ax-h2+k的顶点坐标、对称轴及开口方向是解答本题的关键．当a>0时，抛物线的开口向上，当a<07．（2021秋·全国·九年级专题练习）关于抛物线y1＝（1+x）2与y2＝（1-x）2，下列说法不正确的是（

）A．图象y1与y2的开口方向相同 B．y1与y2的图象关于y轴对称C．图象y2向左平移2个单位可得到y1的图象 D．图象y1绕原点旋转180°可得到y2的图象【答案】D【分析】两个抛物线解析式都是顶点式，可以根据顶点式直接判断顶点坐标，对称轴，开口方向及与y轴的关系．【详解】∵抛物线y1＝（1+x）2＝（x+1）2，抛物线y2＝（1-x）2＝（x-1）2，∴抛物线y1的开口向上，顶点为（-1，0），对称轴为直线x=-1；抛物线y2的开口向上，顶点为（1，0），对称轴为直线x=1，故选项A说法正确，不符合题意；∴y1与y2的顶点关于y轴对称，故选项B说法正确，不符合题意；∴y1与y2的顶点关于y轴对称，y2向左平移2个单位可得到y1的图象，故选项C说法正确，不符合题意；∵y1绕原点旋转180°得到的抛物线为y=-（x+1）2，与y2∴D错误，符合题意．故选：D【点睛】主要考查二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用函数解析式确定顶点坐标，对称轴以及开口方向和与y轴的关系是解题的关键．8．（2022·全国·九年级假期作业）命题1是“a＜0”；命题2是“函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大”，则下列说法正确的是（）A．由命题1可以推导出命题2，但是由命题2无法推导出命题1B．由命题2可以推导出命题1，但是由命题1无法推导出命题2C．既可以由命题1推导出命题2，也可以由命题2推导出命题1D．既无法由命题1推导出命题2，也无法由命题2推导出命题1【答案】A【分析】根据二次函数的性质可判断当a<0时，函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大；当函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大，则a≤0，从而可对各选项进行判断．【详解】函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大；当函数y＝（x﹣a）2在x＞0时，y随x的增大而增大，则a≤0，所以由命题1可以推导出命题2，但是由命题2无法推导出命题1．故选：A．【点睛】本题考查了命题：命题的“真”“假”是就命题的内容而言．任何一个命题非真即假．要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举出一个反例即可．9．（2022春·江苏·九年级专题练习）已知二次函数y=(x-h)2（h为常数），当自变量x的值满足1≤x≤3时，其对应的函数值y的最小值为1，则h的值为（A．2或4 B．0或4 C．2或3 D．0或3【答案】B【分析】根据函数的对称轴为：x=h和1≤x≤3的位置关系，分三种情况讨论即可求解．【详解】解：函数的对称轴为：x=h，①当h≥3时，x=3时，函数取得最小值1，即(3-h)解得h=4或h=2（舍去）；②当h≤1时，x=1时，函数取得最小值1，即(1-h)解得h=0或h=2（舍去）；③当1<h<3时，x=h时，函数取得最小值综上，h=4或h=0，故选：B．【点睛】此题考查函数的最值，函数的对称轴，分情况讨论解决问题是解此题的关键．10．（2023·浙江·九年级假期作业）设函数y1=x-a12，y2=x-a22，y3=x-A．若b<a1<B．若a1<b<aC．若a1<aD．若a1<【答案】D【分析】按照题意，画出满足题意的图象，根据直线x=b与二次函数图象的交点进行判断即可．【详解】解：如图所示，A．由图象可知，若b<a1<a2B．由图象可知，若a1<b<a2<C．由图象可知，若a1<a2<b<D．由图象可知，若a1<a2<故选：D【点睛】此题主要考查了二次函数的图象和性质，数形结合是解题的关键．二、填空题11．（2023春·广东广州·九年级校考开学考试）二次函数y=x-12，当x<1时，y随x的增大而．（填“增大”或“减小【答案】减小【分析】根据a=1>0，得函数图象开口向上，当x<1时，y随x的增大而减小，即可得．【详解】解：∵a=1>0，对称轴为直线x=1，∴函数图象开口向上，当x<1时，y随x的增大而减小，故答案为：减小．【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是掌握二次函数的性质．12．（2023·浙江·九年级假期作业）已知函数y=-x-12图像上两点Α2,y1，Βa,y2，其中a>2，则y1与y2的大小关系是y1y2（填【答案】>【分析】根据二次函数的图象与性质即可完成．【详解】∵-1<0，且对称轴为直线x=1，∴当x>1时，函数值随自变量的增大而减小；∵a>2，∴y故答案为：>．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握二次函数的性质是关键．13．（2022秋·河北秦皇岛·九年级校联考阶段练习）老师给出一个二次函数，甲、乙、丙三名同学各指出这个函数的一个性质．甲：函数图像的顶点在x轴上；乙：当x<-1时，y随x的增大而减小；丙：该函数有最小值．已知这三位同学的描述都正确，请你写出满足上述所有性质的一个二次函数表达式；对称轴是【答案】y=x+12x=-1【分析】根据已知条件知，此二次函数解析式为y=ax-h2，且a>0，【详解】解：根据题意知，函数图象的顶点在x轴上，设函数的解析式为y=ax-h∵该函数有最小值，∴a>0，∵当x<-1时，y随x的增大而减小；∴h≥-1．∴满足上述所有性质的二次函数可以是：y=x+1当该函数为y=x+12时，对称轴为直线故答案为：y=x+12，【点睛】考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是熟记二次函数的图象和性质．14．（2023·全国·九年级假期作业）已知二次函数y=x-12，当0≤x≤32时，函数值【答案】0≤y≤1【分析】先求得二次函数的对称轴，根据二次函数的性质求解即可．【详解】解：y=x-12的对称轴为直线x=1，当x=1时，y最小为0，又∵0≤x≤3∴x=0时，y最大为1∴0≤y≤1故答案为：0≤y≤1．【点睛】本题考查二次函数的图象与性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的增减性．15．（2023·浙江·九年级假期作业）已知二次函数y=-x+a2，当x≤-4时，y随x的增大而增大；当x≥-4时，y随x的增大而减小，当x=0时，y的值是【答案】-16【分析】根据二次函数的增减性，结合图像与性质即可得到二次函数图像的对称轴为x=-4，从而确定a值，得到二次函数解析式为y=-x+42，将【详解】解：∵二次函数y=-x+a2，当x≤-4时，y随x的增大而增大；当x≥-4时，y随∴x=-a=-4，即a=4，∴二次函数解析式为y=-x+4当x=0时，y=-0+4故答案为：-16．【点睛】本题考查二次函数的图像与性质，熟练掌握二次函数增减性与对称轴的关系是解决问题的关键．16．（2022秋·山东德州·九年级统考阶段练习）已知二次函数y=-(x-h)2(h为常数），当2⩽x⩽5时，y的最大值为-1，则h【答案】1或6/6或1【分析】分h<2、2⩽h⩽5和h>5三种情况考虑：当h<2时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论；当2⩽h⩽5时，由此时函数的最大值为0与题意不符，可得出该情况不存在；当h>5时，根据二次函数的性质可得出关于h的一元二次方程，解之即可得出结论．综上即可得出结论．【详解】解：当h<2时，有-(2-解得：h1=1，当2⩽h⩽5时，y=-(x-h)2的最大值为当h>5时，有-(5-解得：h3=4（舍去），综上所述：h的值为1或6．故答案为：1或6．【点睛】本题考查了二次函数的最值以及二次函数的性质，分h<2、2⩽h⩽5和h>5三种情况求出h值是解题的关键．三、解答题17．（2023·全国·九年级假期作业）写出下列二次函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．(1)y=-(2)y=3(3)y=5x+【答案】(1)开口向下，对称轴是x=5，顶点坐标为5,0(2)开口向上，对称轴是x=4，顶点坐标为4,0(3)开口向上，对称轴是x=-34【分析】（1）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；（2）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；（3）根据二次函数的性质，对称轴，顶点坐标即可解答；【详解】（1）解：∵抛物线y=-1∴开口向下，对称轴是x=5，顶点坐标为5,0；（2）解：∵抛物线y=3x-4∴开口向上，对称轴是x=4，顶点坐标为4,0；（3）解：∵抛物线y=5x+∴开口向上，对称轴是x=-34，顶点坐标为【点睛】本题考查了二次函数的性质吗，对称轴，顶点坐标，掌握二次函数的性质是解题的关键．18．（2023·上海·九年级假期作业）说出下列函数的图像如何由抛物线y=-1(1)y=-1(2)y=-1【答案】(1)向左平移两个单位；开口向下，对称轴为直线x=-2，顶点坐标-2,0(2)向右平移四个单位；开口向下，对称轴为直线x=4，顶点坐标4,0【分析】根据抛物线的平移规律：左加右减，上加下减，二次函数图象的性质解答即可．【详解】（1）解：y=-13x∵-1∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=-2，顶点坐标-2,0．（2）解：y=-13x∵-1∴抛物线开口向下，对称轴为直线x=4，顶点坐标4,0．【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数图象的平移，二次函数y=ax+m2的图像可以通过将抛物线y=ax2向左（m>0时）或向右（m<0时）平移m个单位得到．平移口诀，“左加右减，上加下减”；抛物线y=ax+m2（其中a、m是常数，且a≠0）的对称轴是直线x=-m；顶点坐标是-m,0．抛物线的开口方向由19．（2023·全国·九年级假期作业）已知函数y=4x2，y=4x+1(1)在同一平面直角坐标系中画出它们的图象；(2)分别说出各个函数图象的开口方向，对称轴、顶点坐标；(3)试说明：分别通过怎样的平移，可以由函数y=4x2的图象得到函数y=4x+1(4)分别说出各个函数的性质．【答案】(1)见解析(2)见解析(3)y=4x+12由抛物线y=4x2向左平移1个单位，y=4x-1(4)见解析【分析】（1）根据“五点法”可画函数图象；（2）根据二次函数的性质可进行求解；（3）根据二次函数的平移可进行求解；（4）根据二次函数的图象与性质可进行求解．【详解】（1）解：如图所示：（2）解：y=4x2开口向上，对称轴为y轴，顶点坐标为y=4x+12开口向上，对称轴为x=-1，顶点坐标为y=4x-12开口向上，对称轴为x=1，顶点坐标为（3）解：y=4x+12由抛物线y=4x2向左平移1个单位，y=4x-1（4）解：y=4x2当x<0时y随着x的增大而减小，当x>0时y随着y=4x+12当x<-1时y随着x的增大而减小，当x>-1时y随着y=4x-12当x<1时y随着x的增大而减小，当x>1时y随着【点睛】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．20．（2022秋·天津武清·九年级校考阶段练习）若抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线x=-1，与y轴的交于点A0,-3(1)求抛物线的解析式；(2)写出它的顶点坐标和开口方向；(3)当x取何值时，抛物线中y随x增大而增大．【答案】(1)y=-3(2)顶点坐标为-1，(3)x<-1【分析】（1）先确定顶点坐标，再设顶点式y=ax+12，然后把A点坐标代入求出（2）利用二次函数的性质解决问题；（3）利用二次函数的性质解决问题．【详解】（1）解：∵抛物线的顶点在x轴上，对称轴是直线x=-1，∴抛物线的顶点坐标为-1,0，设抛物线解析式为y=ax+1把A0,-3代入得a×解得a=-3，所以抛物线解析式为y=-3x+1（2）解：由（1）得：它的顶点坐标为-1，（3）解：因为抛物线开口向下，对称轴是直线x=-1，所以当x<-1时，y随x增大而增大．【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．也考查了二次函数的性质．21．（2022秋·山东德州·九年级校考期中）已知抛物线y=15(x-5)2的顶点为A，抛物线与y轴交于点B，过点B作(1)求A，B，C三点的坐标；(2)求△ABC的面积；(3)试判断△ABC的形状并说明理由．【答案】(1)A（5，0）(2)25；(3)等腰直角三角形；见解析．【分析】（1）根据顶点式直接可得顶点A坐标，由x=0可得抛物线与y轴交于点B，由点B与点C是关于抛物线对称轴对称可得点C坐标；（2）由BC∥x轴可得点A到BC的距离为OB，据此即可求出△ABC的面积；（3）求出由坐标系中两点距离公式求出AB2＝AC【详解】（1）解：如图，抛物线y=15(x-5)由x=0，则y=5，即抛物线与y轴交点B为B（因为对称轴为直线x＝5，点B与点C是关于抛物线对称轴对称，所以点C的坐标为（10，（2）S（3）∵A（5，0）∴AB2＝∵AB∴△ABC是等腰直角三角形．【点睛】本题考查二次函数与坐标轴的交点，两点间的距离公式以及勾股定理的逆定理，掌握求二次函数与坐标轴的交点以及基本的公式定理是解题关键．22．（2022春·江苏·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，过点A(0,4)、B(5,9)两点的抛物线的顶点C在x轴正半轴上．(1)求抛物线的解析式；(2)求点C的坐标；(3)P(x,y)为线段AB上一点，1≤x≤4，作PM∥y轴交抛物线于点M，求【答案】(1)y=(2)(2,0)(3)最大值是254，最小值是【分析】（1）根据题意设抛物线的解析式为y=a(x-h)2，然后把点A(0,4)、（2）把y=0代入（1）中所求的抛物线的解析式进行计算即可解答；（3）先求出AB解析式，然后计算当x=1，x=2，x=4，PM的长度，然后设P(n,n+4)，M(n,n2-4n+4)【详解】（1）解：∵抛物线的顶点C在x轴正半轴上，∴设抛物线的解析式为y=a(x-h)把点A(0,4)、B(5,9)代入y=a(x-h)2中可得：解得：h=-10舍去或h=2，∴a=1，∴抛物线的解析式为：y=(x-2)（2）把y=0代入y=(x-2)2中可得：∴x=2，∴点C的坐标为(2,0)；（3）设AB的解析式为：y=kx+b，把点A(0,4)、B(5,9)代入y=kx+b中可得：