+3.4+圆周角和圆心角的关系+课件++2023-2024学年+北师大版数学九年级下册+

4圆周角和圆心角的关系第1课时圆周角定理及其推论1北师版九年级数学下册第三章圆1.圆心角的定义?顶点在圆心的角叫圆心角.2.圆心角的度数和它所对的弧的度数有何关系?如图：∠AOB

弧AB的度数＝3.在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条___、两条___中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等.复习导入弧弦探究新知顶点在圆心圆心角角顶点发生变化时,我们得到几种情况?点A在圆内点A在圆上点A在圆外圆周角圆周角定义:

顶点在圆上,并且两边分别与圆还有一个交点的角叫做圆周角.指出图中的圆心角和圆周角.ABOC圆心角：∠AOB、∠AOC、∠BOC圆周角：∠BAC、∠ABC、∠ACB在射门游戏中，球员射中球门的难易程度与他所处的位置B

对球门AC

的张角（∠ABC）有关.ABDECABDEC当球员在B，D，E

处射门时，他所处的位置对球门AC

分别形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC.这三个角的大小有什么关系？做一做如图，∠AOB=80°.（1）请你画出几个所对的圆周角，这几个圆周角有什么关系？与同伴进行交流.提示：思考圆周角和圆心角有几种不同的位置关系？（2）这些圆周角与圆心角∠AOB的大小有什么关系?C圆心O在∠C一条边上C圆心O在∠C的内部C圆心O在∠C的外部C圆心O在∠C一条边上C圆心O在∠C的内部C圆心O在∠C的外部改变圆心角∠AOB的度数，上述结论还成立吗？议一议C圆心O在∠C一条边上C圆心O在∠C的内部C圆心O在∠C的外部圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.先证明哪一种情况？C已知：如图，∠C

是所对的圆周角，∠AOB

是所对的圆心角.求证：证明：（1）圆心O

在∠C

的一条边上，如图.∵∠AOB

是△AOC

的外角，∴∠AOB=∠A+∠C.∵OA=OC，∴∠A=∠C.∴∠AOB=2∠C，CC你能完成另两种情况的证明吗？C已知：如图，∠C

是所对的圆周角，∠AOB

是所对的圆心角.求证：提示：能否转化为前一种已证明的情况?D过点C作直径CD.由已证可得:C已知：如图，∠C

是所对的圆周角，∠AOB

是所对的圆心角.求证：提示：能否也转化为第一种已证明的情况?D过点C作直径CD.由已证可得:想一想在上面的射门游戏中，当球员在B，D，E

处射门时，所形成三个张角∠ABC，∠ADC，∠AEC

的大小有什么关系？你能用圆周角定理证明你的结论吗？●

O所以∠ABC

=∠ADC=∠AEC.根据圆周角定理，●

O推论同弧或等弧所对的圆周角相等.随堂练习1.如图，已知BD

是⊙O

的直径，点A、C

在⊙O

上，，∠AOB=60°，则∠BDC

的度数是（）A.20°B.25°C.30°D.40°C60°2.如图，已知A，B，C

在⊙O

上，为优弧，下列选项中与∠AOB

相等的是（）A.2∠CB.4∠BC.4∠AD.∠B+∠CA3.如图，OA，OB，OC

都是⊙O的半径，∠AOB=2∠BOC，∠ACB

与∠BAC

的大小有什么关系？为什么？ACBO解：∠ACB=2∠BAC

，而∠AOB=2∠BOC，∴

∠ACB=2∠BAC.4.如图，在⊙O中，∠O=50°，求∠A的度数.解：∵∠A和∠O所对的弧都是，∴∠A=.5.如图，哪个角与∠BAC相等？你还能找到哪些相等的角？解：∠BDC=∠BAC，还能找到∠ABD=∠ACD，∠ADB=∠ACB，∠DAC=∠DBC.课堂小结圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.推论同弧或等弧所对的圆周角相等.4圆周角和圆心角的关系第2课时圆周角定理的推论2，3北师版九年级数学下册第三章圆复习导入求图中角x的度数·AOB70°xx=_____C·OABCD120°xx=_____35°120°圆周角定理圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半.复习导入求图中角x的度数复习导入求图中角x的度数·AOB60°xx=_____C·OABCD20°xx=_____D60°EF30°50°复习导入求图中角x的度数推论同弧或等弧所对的圆周角相等.探究新知如图，BC

是⊙O

的直径，它所对的圆周角有什么特点？你能证明你的结论吗？·OABC解：直径BC所对的圆周角∠BAC＝90°.证明：∵BC为直径，

∴∠BOC＝180°，

∴探究新知如图，圆周角∠A=90°，弦BC

是直径吗？为什么？·OABC解：弦BC是直径.连接OC、OB，∵∠BAC＝90°，∴∠BOC＝2∠BAC＝180°.∴B、O、C三点在同一直线上.∴BC是⊙O的一条直径.注意：此处不能直接连接BC，思路是先保证过点O，再证三点共线.推论直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.∵BC为直径，∴∠BAC=90°.几何语句：∵∠BAC=90°，∴BC为直径.几何语句：议一议（1）如图，A，B，C，D

是⊙O

上的四点，AC为⊙O

的直径，∠BAD与∠BCD之间有什么关系？为什么？·ODBCA解：∠BAD与∠BCD互补∵AC为直径，∴∠ABC=90°，∠ADC=90°.∵∠ABC+∠BCD+∠ADC+∠BAD=360°，∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD与∠BCD互补.议一议（2）如图，点C

的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间关系还成立吗？为什么？·ODBCA解：∠BAD与∠BCD的关系仍然成立连接OB，OD，则∵∠1+∠2=360°,∴∠BAD+∠BCD=180°.∴∠BAD与∠BCD互补.12·ODBCA·ODBCA这两个四边形ABCD有什么共同的特点？·ODBCA·ODBCA四边形ABCD

的四个顶点都在⊙O

上，像这样的四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆.·ODBCA·ODBCA我们发现∠BAD与∠BCD之间有什么关系？·ODBCA·ODBCA推论圆内接四边形的对角互补.·ODBCA·ODBCA几何语句：∵四边形ABCD为圆内接四边形，∴∠BAD+∠BCD=180°（圆内接四边形的对角互补）.想一想如图，∠DCE

是圆内接四边形ABCD

的一个外角，∠A

与∠DCE

的大小有什么关系？·ODBCAE解：∠A=∠CDE∵四边形ABCD是圆内接四边形，∴∠A+∠BCD=180°.∵∠BCD+∠DCE=180°，∴∠A=∠DCE.随堂练习1.小明想用直角尺检查某些工件是否恰好为半圆形.下面所示的四种圆弧形，你能判断哪个是半圆形？为什么？（1）（2）（3）（4）2.如图，⊙O的直径AB=10cm，C为⊙O上的一点，∠B=30°，求AC的长.·OBCA解：∵AB为直径，

∴∠BCA=90°.

在Rt△ABC中，

∠ABC=30°，AB=10，∴.3.在圆内接四边形ABCD中，