2024届江苏省苏州市吴江区汾湖中学数学高三上期末达标检测模拟试题含解析

2024届江苏省苏州市吴江区汾湖中学数学高三上期末达标检测模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，，则等于（）．A． B． C． D．2．已知集合A，则集合（）A． B． C． D．3．空气质量指数是反映空气状况的指数，指数值趋小，表明空气质量越好，下图是某市10月1日-20日指数变化趋势，下列叙述错误的是（）A．这20天中指数值的中位数略高于100B．这20天中的中度污染及以上（指数）的天数占C．该市10月的前半个月的空气质量越来越好D．总体来说，该市10月上旬的空气质量比中旬的空气质量好4．已知椭圆+=1(a>b>0)与直线交于A，B两点，焦点F(0，-c)，其中c为半焦距，若△ABF是直角三角形，则该椭圆的离心率为（）A． B． C． D．5．已知双曲线的左、右顶点分别是，双曲线的右焦点为，点在过且垂直于轴的直线上，当的外接圆面积达到最小时，点恰好在双曲线上，则该双曲线的方程为（）A． B．C． D．6．已知椭圆：的左、右焦点分别为，，点，在椭圆上，其中，，若，，则椭圆的离心率的取值范围为（）A． B．C． D．7．若实数满足不等式组则的最小值等于（）A． B． C． D．8．陀螺是中国民间最早的娱乐工具，也称陀罗.如图，网格纸上小正方形的边长为，粗线画出的是某个陀螺的三视图，则该陀螺的表面积为（）A． B．C． D．9．已知数列的通项公式是，则（）A．0 B．55 C．66 D．7810．如图，某几何体的三视图是由三个边长为2的正方形和其内部的一些虚线构成的，则该几何体的体积为()A． B． C．6 D．与点O的位置有关11．已知数列满足,(),则数列的通项公式()A． B． C． D．12．不等式组表示的平面区域为，则（）A．， B．，C．， D．，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．的展开式中的系数为__________（用具体数据作答）.14．在平面直角坐标系xOy中，己知直线与函数的图象在y轴右侧的公共点从左到右依次为，，…，若点的横坐标为1，则点的横坐标为________.15．实数，满足约束条件，则的最大值为__________.16．已知双曲线()的左右焦点分别为，为坐标原点，点为双曲线右支上一点，若，，则双曲线的离心率的取值范围为_____.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆的右顶点为，为上顶点，点为椭圆上一动点．（1）若，求直线与轴的交点坐标；（2）设为椭圆的右焦点，过点与轴垂直的直线为，的中点为，过点作直线的垂线，垂足为，求证：直线与直线的交点在椭圆上．18．（12分）在中，角、、所对的边分别为、、，且.（1）求角的大小；（2）若，的面积为，求及的值.19．（12分）在中，角的对边分别为，且，．（1）求的值；（2）若求的面积．20．（12分）已知函数，.（1）求函数在处的切线方程；（2）当时，证明：对任意恒成立.21．（12分）某工厂，两条相互独立的生产线生产同款产品，在产量一样的情况下通过日常监控得知，生产线生产的产品为合格品的概率分别为和.（1）从，生产线上各抽检一件产品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.（2）假设不合格的产品均可进行返工修复为合格品，以（1）中确定的作为的值.①已知，生产线的不合格产品返工后每件产品可分别挽回损失元和元．若从两条生产线上各随机抽检件产品，以挽回损失的平均数为判断依据，估计哪条生产线挽回的损失较多？②若最终的合格品（包括返工修复后的合格品）按照一、二、三等级分类后，每件分别获利元、元、元，现从，生产线的最终合格品中各随机抽取件进行检测，结果统计如下图；用样本的频率分布估计总体分布，记该工厂生产一件产品的利润为，求的分布列并估算该厂产量件时利润的期望值.22．（10分）在极坐标系中，直线的极坐标方程为，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），求直线与曲线的交点的直角坐标.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】

由已知条件利用诱导公式得，再利用三角函数的平方关系和象限角的符号，即可得到答案.【详解】由题意得，又，所以，结合解得，所以，故选B.【点睛】本题考查三角函数的诱导公式、同角三角函数的平方关系以及三角函数的符号与位置关系，属于基础题.2、A【解析】

化简集合,，按交集定义，即可求解.【详解】集合，，则.故选:A.【点睛】本题考查集合间的运算，属于基础题.3、C【解析】

结合题意，根据题目中的天的指数值，判断选项中的命题是否正确.【详解】对于，由图可知天的指数值中有个低于，个高于，其中第个接近，第个高于，所以中位数略高于，故正确.对于，由图可知天的指数值中高于的天数为，即占总天数的，故正确.对于，由图可知该市月的前天的空气质量越来越好，从第天到第天空气质量越来越差，故错误.对于，由图可知该市月上旬大部分指数在以下，中旬大部分指数在以上，所以该市月上旬的空气质量比中旬的空气质量好，故正确.故选：【点睛】本题考查了对折线图数据的分析，读懂题意是解题关键，并能运用所学知识对命题进行判断，本题较为基础.4、A【解析】

联立直线与椭圆方程求出交点A，B两点，利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式，解方程求解即可.【详解】联立方程，解方程可得或，不妨设A(0，a)，B(-b，0)，由题意可知，·=0，因为，，由平面向量垂直的坐标表示可得，，因为，所以a2-c2=ac，两边同时除以可得，，解得e=或（舍去），所以该椭圆的离心率为.故选：A【点睛】本题考查椭圆方程及其性质、离心率的求解、平面向量垂直的坐标表示；考查运算求解能力和知识迁移能力；利用平面向量垂直的坐标表示得到关于的关系式是求解本题的关键；属于中档题、常考题型.5、A【解析】

点的坐标为，，展开利用均值不等式得到最值，将点代入双曲线计算得到答案.【详解】不妨设点的坐标为，由于为定值，由正弦定理可知当取得最大值时，的外接圆面积取得最小值，也等价于取得最大值，因为，，所以，当且仅当，即当时，等号成立，此时最大，此时的外接圆面积取最小值，点的坐标为，代入可得，．所以双曲线的方程为．故选：【点睛】本题考查了求双曲线方程，意在考查学生的计算能力和应用能力.6、C【解析】

根据可得四边形为矩形,设,,根据椭圆的定义以及勾股定理可得,再分析的取值范围,进而求得再求离心率的范围即可.【详解】设,,由,,知,因为,在椭圆上,,所以四边形为矩形,；由,可得,由椭圆的定义可得,①,平方相减可得②,由①②得；令,令,所以,即,所以,所以,所以,解得.故选：C【点睛】本题主要考查了椭圆的定义运用以及构造齐次式求椭圆的离心率的问题,属于中档题.7、A【解析】

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值．【详解】解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）由得，由得，平移，易知过点时直线在上截距最小，所以．故选：A．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．8、C【解析】

画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可，【详解】由题意可知几何体的直观图如图：上部是底面半径为1，高为3的圆柱，下部是底面半径为2，高为2的圆锥,几何体的表面积为：，故选：C【点睛】本题考查三视图求解几何体的表面积，判断几何体的形状是解题的关键.9、D【解析】

先分为奇数和偶数两种情况计算出的值，可进一步得到数列的通项公式，然后代入转化计算，再根据等差数列求和公式计算出结果.【详解】解：由题意得，当为奇数时，，当为偶数时，所以当为奇数时，；当为偶数时，，所以故选：D【点睛】此题考查数列与三角函数的综合问题，以及数列求和，考查了正弦函数的性质应用，等差数列的求和公式，属于中档题.10、B【解析】

根据三视图还原直观图如下图所示，几何体的体积为正方体的体积减去四棱锥的体积，即可求出结论.【详解】如下图是还原后的几何体，是由棱长为2的正方体挖去一个四棱锥构成的，正方体的体积为8，四棱锥的底面是边长为2的正方形，顶点O在平面上，高为2，所以四棱锥的体积为，所以该几何体的体积为.故选:B.【点睛】本题考查三视图求几何体的体积，还原几何体的直观图是解题的关键，属于基础题.11、A【解析】

利用数列的递推关系式，通过累加法求解即可．【详解】数列满足：，，可得以上各式相加可得：，故选：．【点睛】本题考查数列的递推关系式的应用，数列累加法以及通项公式的求法，考查计算能力．12、D【解析】

根据题意，分析不等式组的几何意义，可得其表示的平面区域，设，分析的几何意义，可得的最小值，据此分析选项即可得答案.【详解】解：根据题意，不等式组其表示的平面区域如图所示，其中，，

设，则，的几何意义为直线在轴上的截距的2倍，

由图可得：当过点时，直线在轴上的截距最大，即，当过点原点时，直线在轴上的截距最小，即，故AB错误；

设，则的几何意义为点与点连线的斜率，由图可得最大可到无穷大，最小可到无穷小，故C错误，D正确；故选：D.【点睛】本题考查本题考查二元一次不等式的性质以及应用，关键是对目标函数几何意义的认识，属于基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

利用二项展开式的通项公式可求的系数.【详解】的展开式的通项公式为，令，故，故的系数为.故答案为：.【点睛】本题考查二项展开式中指定项的系数，注意利用通项公式来计算，本题属于容易题.14、1【解析】

当时，得，或，依题意可得，可求得，继而可得答案．【详解】因为点的横坐标为1，即当时，，所以或，又直线与函数的图象在轴右侧的公共点从左到右依次为，，所以，故，所以函数的关系式为．当时，（1），即点的横坐标为1，为二函数的图象的第二个公共点．故答案为：1．【点睛】本题考查三角函数关系式的恒等变换、正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力及思维能力，属于中档题．15、10【解析】

画出可行域，根据目标函数截距可求.【详解】解：作出可行域如下：由得，平移直线，当经过点时，截距最小，最大解得的最大值为10故答案为：10【点睛】考查可行域的画法及目标函数最大值的求法，基础题.16、【解析】

法一:根据直角三角形的性质和勾股定理得，，,又由双曲线的定义得,将离心率表示成关于的式子,再令，则，令对函数求导研究函数在上单调性，可求得离心率的范围.法二：令，，，，，根据直角三角形的性质和勾股定理得，将离心率表示成关于角的三角函数，根据三角函数的恒等变化转化为关于的函数，可求得离心率的范围.【详解】法一:，，，,，,设，则，令，所以时，，在上单调递增，，，.法二：，，令，，，，，，，，，.故答案为：.【点睛】本题考查求双曲线的离心率的范围的问题，关键在于将已知条件转化为与双曲线的有关，从而将离心率表示关于某个量的函数，属于中档题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解析】

（1）直接求出直线方程，与椭圆方程联立求出点坐标，从而可得直线方程，得其与轴交点坐标；（2）设，则，求出直线和的方程，从而求得两直线的交点坐标，证明此交点在椭圆上，即此点坐标适合椭圆方程．代入验证即可．注意分和说明．【详解】解：本题考查直线与椭圆的位置关系的综合，（1）由题知，，则．因为，所以，则直线的方程为，联立，可得故．则，直线的方程为．令，得，故直线与轴的交点坐标为．（2）证明：因为，，所以．设点，则．设当时，设，则，此时直线与轴垂直，其直线方程为，直线的方程为，即．在方程中，令，得，得交点为，显然在椭圆上．同理当时，交点也在椭圆上．当时，可设直线的方程为，即．直线的方程为，联立方程，消去得，化简并解得．将代入中，化简得．所以两直线的交点为．因为，又因为，所以，则，所以点在椭圆上．综上所述，直线与直线的交点在椭圆上．【点睛】本题考查直线与椭圆相交问题，解题方法是解析几何的基本方程，求出直线方程，解方程组求出交点坐标，代入曲线方程验证点在曲线．本题考查了学生的运算求解能力．18、（1）（2）；【解析】

（1）由代入中计算即可；（2）由余弦定理可得，所以，由，变形即可得到答案.【详解】（1）因为，可得：，∴，或（舍），∵，∴.（2）由余弦定理，得所以，故，又，所以，所以.【点睛】本题考查二倍角公式以及正余弦定理解三角形，考查学生的运算求解能力，是一道容易题.19、（1）3（2）78【解析】试题分析：（1）由两角和差公式得到，由三角形中的数值关系得到，进而求得数值；（2）由三角形的三个角的关系得到，再由正弦定理得到b=15,故面积公式为.解析：（1）在中，由，得为锐角，所以，所以，所以.（2）在三角形中,由，所以，由，由正弦定理,得，所以的面积.20、（1）（2）见解析【解析】

（1）因为，可得，即可求得答案；（2）要证对任意恒成立，即证对任意恒成立.设，，当时，，即可求得答案.【详解】（1），，，函数在处的切线方程为.（2）要证对任意恒成立.即证对任意恒成立.设，，当时，，，令，解得，当时，，函数在上单调递减；当时，，函数在上单调递增.，，，当时，对任意恒成立，即当时，对任意恒成立.【点睛】本题主要考查了求曲线的切线方程和求证不等式恒成立问题，解题关键是掌握由导数求切线方程的解法和根据导数求证不等式恒成立的方法，考查了分析能力和计算能力，属于难题.21、(1)(2)①生产线上挽回的损失较多.②见解析【解析】

(1)由