2023人教版新教材高中数学必修第一册同步练习-第三章　函数的概念与性质

2023人教版新教材高中数学必修第一册

第三章函数的概念与性质

(满分150分,考试用时120分钟)

一、单项选择题(本题共8小题,每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项

中，只有一项是符合题目要求的)

1.函数f(x)二耳的定义域为()

X-1

A.[-2,2]B.(-2,3)

C.[-2,1)U(1,2]D.(-2,1)U(1,2)

2.下列四组函数表示同一个函数的是()

A.f(x)=Vx^,g(x)=|x|

2

B.f(x)=x,g(x)=音

Cf(x)=1x-21,g(x)崂然了

D.f(x)=7x+1•Vx-1,g(x)=Vx2-l

3.函数f(x)=x?二的图象大致为()

4.已知函数f(x)是定义在(-8,+8)上的偶函数.当x£(-8,0)时,f(x)=x-x)则

当x£(0,+8)时，函数f(x)的解析式为f(x)=()

A.-x-x4B.x-x'

C.-x+x!D.x+x4

5.已知f(x)是定义在R上的偶函数,若对任意的Xi,x2e(-8,o)

(xHxJ,都有(x「X2)[f(X1)-f(x2)]<0,f(T)=0,则不等式xf(x)<0的解集是

()

A.(-1,1)B.u(l,+8)

C.(-1,0)U(1,+8)口.(-8,t)u(0,1)

6.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(-5)+f(5)=()

A.4B.0C.2mD.-m+4

7.已知g(x)=x2-2(xeR),f(x)=P+x+4,x<g(x),则f⑺的值域是()

kg(%)~x,x>g(%),

A.-7q,0U(1,+8)B.[0,+8)

4.

C.[-7,+8)D.f-7,olu(2,+°°)

8.已知函数f(x)的定义域是(0,+°°),且满足f(xy)=f(x)+f(y),

f如果对于0<x<y,都有f(x)>f(y),那么不等式f(-x)+f(3-x)2-2的解集

为()

A.[-4,0)B.[-1,0)

C.(一8,0]D.[-1,4]

二、多项选择题(本题共4小题,每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有

多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分)

9.已知f(2x-l)=4x；则下列结论正确的是()

A.f(3)=9B.f(-3)=4

C.f(x)=x2D.f(x)=(x+l)2

10.下列函数与y=x2-2x+3的值域相同的是()

A.y=4x(%>g)B.y=­-+2

C.D.y=2x-V%-l

XL

11.下列关于函数f6)=耳1的性质的描述中正确的是()

A.f(x)的定义域为［T,0)U(0,1］

B.f(x)的值域为(T,1)

C.f(x)在定义域上是增函数

D.f(x)的图象关于y轴对称

12.对于定义域为D的函数y=f(x),若同时满足:①f(x)在D内单调递增或单调递

减;②存在区间［a,b］皿使f(x)在［a,b］上的值域为［a,b］,则把y=f(x)(xeD)称

为闭函数.下列结论正确的是()

A.函数y=x2+l是闭函数

B.函数y=-x：'是闭函数

C.函数丫二是闭函数

D.若函数y=k+GTI是闭函数，则ke(-^,-2］

三、填空题(本题共4小题,每小题5分，共20分)

13.已知幕函数y=f(x)的图象过点(4,》则的值为.

14.已知偶函数f(x)的部分图象如图所示,且f(3)=0,则f(x)<0的解集

为.

15.用max{a,b}表示a,b中的最大者.设f(x)=max{x+2,x2-3x+5},则函数f(x)的

最小值是

16.已知函数f(x)=L*2+kx、x-L若存在a,b£R,且aWb,使得f(a)=f(b)成立,

k2x2,x>1,

则实数k的取值范围是.

四、解答题(本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(10分)已知函数f(x)={*d#)i

⑴求f(2)及f(f(T))的值；

⑵解关于x的不等式f(x)>4.

18.(12分)已知函数f依)=翳是定义在［-1,1］上的奇函数,且f⑴=1.

2+%/3

⑴求函数f(x)的解析式；

(2)用定义证明f(x)在［-1,1］上是增函数；

⑶若实数t满足不等式f(t-l)+f(t)<0,求t的取值范围.

19.(12分)已知函数f(x)和g(x)的图象关于原点对称,且f(x)=x2+x.

⑴求函数g(x)的解析式；

(2)已知人WT,若h(x)=g(x)-入f(x)+l在［-1,1］上是增函数,求实数X的取值

范围.

20.(12分)2022年,某手机企业计划将某项新技术应用到手机生产中去，并计划用

一年的时间进行试产、试销.通过市场分析,生产此款手机全年需投入固定成本

280万元,每生产x千部手机,需另投入成本C(x)万元,且

flOx2+200x,0<x<50,

C(x)=)ioooo由市场调研知，每部手机售价0.8万元，且

801%H----------9450,x>50,

1X

全年内生产的手机当年能全部销售完.

⑴求出2022年的利润W(x)(万元)关于年产量x(干部)的函数关系式(利润=销售

额-成本)；

(2)2022年产量为多少时,企业所获利润最大?最大利润是多少？

21.(12分)已知f(x)=x•|x|.

(1)若mx£[-2,2]，使得f(x)>a-4成立,求a的取值范围;

⑵若g(x)=2f(x)+|mx-l|(m>0)在xe(-1,+8)上有最小值,求实数m的取值范

围.

22.(12分)设a,b£R,若函数f(x)定义域内的任意一个实数x都满足

f(x)+f(2a-x)=2b,则函数f(x)的图象关于点(a,b)对称;反之,若函数f(x)的图象

关于点(a,b)对称,则函数f(x)定义域内的任意一个实数x都满足

f(x)+f(2a-x)=2b.已知函数g(x)

(1)证明：函数g(x)的图象关于点(-1,5)对称；

(2)已知函数h(x)的图象关于点(1,2)对称,当xe[0,1]时,h(x)=x?-mx+m+1.若对

任意的X.e[0,2]，总存在X2e[-|,1]使得h(X1)=g(x2)成立,求实数m的取值范围.

答案全解全析

1.C要使函数有意义,贝山47220,解得_2WXW2,且XW1,

(x-1H0,

故函数f(x)的定义域为[-2,1)U(1,2].故选C.

2.CA中，f(x)=V^=x,g(x)=|x|,两个函数的对应关系不同；

2_

B中，f(x)=x,g(x)=T=x(xWl),两个函数的定义域不同；

X-1

C中，f(x)=|x-2|王？'与g(X)王？':三’的对应关系相同,定义域也

相同,故两个函数是同一个函数；

D中，f(中+1•满足)舄“即X、l,而g(x)=4%2一1满足x2-1^0,

即x2l或xW-1,两个函数的定义域不同.故选C.

3.A易知函数f(x)的定义域为{x|xA0},关于原点对称,且f(-x)=-x34=-f(x),

X

所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称,故排除B、D;当X>1时，f(x)>0,所以

排除C故选A.

4.A设x£(0,+8),则-x£(-8,0),

\•当x£(-°°,0)时,f(x)=x-x4,

f(-X)=-X-x',

又(x)是定义在(-8,+8)上的偶函数，

/.f(x)=f(-x)=-x-x故选A.

5.D由于对任意的xbx2e(-8,0)(X]WX2),都有(x-x2)[f(Xi)-f(x2)]<0,所以函

数f(x)在(-8,0)上为减函数，由于f(x)是定义在R上的偶函数，故f(x)在(0,+8)

上为增函数,且f(l)=f(T)=0,由此画出f(x)的大致图象如图所示：

由图可知,不等式xf(x)〈O的解集是(-8,一1)u(0,1).故选D.

6.A令g(x)=ax7-bx'+cx3,易知g(x)为奇函数，f(x)=g(x)+2,

:.f(-5)=g(-5)+2=m,g(-5)=m-2,

.*.g(5)=-g(-5)=-m+2,.,.f(5)=g(5)+2=4-m,.\f(-5)+f(5)=4.

7.D当x<g(x),即x〈x"2,即x>2或x<-l时，

f(x)=g(x)+X+4=X2-2+X+4=X2+X+2=^X4-0+：,此时f(x)>2;

当x》g(x),即x3x?-2,即TWxW2时，

f(x)=g(x)-x=x^2-x=(x-0

此时(x)WO.

4

综上，f(x)的值域为卜[o]u(2,+8),故选D.

L4

8.B令x=y=l,得f(l)=2f(1),即f(1)=0;令x=[,y=2,得f(l)=f(2)+

fG),即f(2)=-1;令x=y=2,得f(4)=2f(2)=-2.由f(-x)+f(3-x)2-2,可得

f(x2-3x)2f(4),又因为函数f(x)的定义域是(0,+8),且对于0<x<y,都有

,-x>0,x<0,

f(x)>f(y),所以3~x>0,即％<3,解得TWxCO,即不等式

.x2-3x<4,-1<%<4,

f(-x)+f(3-x)2的解集为[-1,0).

9.BD令t=2x—1,贝!Jx=詈，(t)=4(詈y=(t+i)2.

f(3)=16,f(-3)=4,f(x)=(x+1)：故选BD.

10.ACy=x2-2x+3=(xT)2+222,.•.该函数的值域是［2,+8).

y=4x(x＞以的值域是［2,+8)；y=A_+2的值域是(2,+-)；

y=^4^=r+4^2»该函数的值域为12,+8)；对于y=2x-Vx-l,设VxT=t,则

x=t2+l,t^0,.*.y=2tL，-t+2=2(t-^+蓑》芸，•••该函数的值域为［蓑，+8).故选

AC.

11.AB对于A,由产飞飞。"解得TWxWl且x#0,故函数f(x)的定义域为

1W0,

[-1,0)U(0,1],故A正确；

对于B,易得f&)=卜印巴一14*<。，当x£[―1,0)时,f(x)£[0,1),当x£(0,1]

时,f(x)e(-1,0],所以f(x)e(-1,1),故B正确；

对于C,因为f(f=亨，*>号昭)，所以函数f(x)不是定义域上的

增函数，故C错误；

对于D,因为定义域关于原点对称,且对任意x£[-1,0)U(0,1],f(-x)=-f(x),所

以函数f(x)是奇函数,其图象关于原点对称,故D错误.故选AB.

12.BD因为y=x2+l在定义域R上不是单调函数,所以函数y=x2+l不是闭函数,A

错误.y=r，在定义域上是减函数,若丫=-十是闭函数,则存在区间[a,b],使得函数

b=-a3,___1

的值域为[a,b],即a=-不,解得｛；-丁，因此存在区间[-1,1],使丫=-(在[-1,1]

<b>a,

上的值域为[-1,1],B正确.丫二多口-三在(-8,一1)上单调递增,在(-1,+8)上单

X+lX+1

调递增，函数在定义域上不单调,从而该函数不是闭函数,C错误.y=k+ST”在定

义域[-2,+oo)上单调递增,若y=k+R^是闭函数,则存在区间[a,b],使函数的

值域为[a,b],gpf=k+二2所以a,b为方程x=k+SF的两个实数根,即

(匕=k+VFT2,

方程g(x)=x2-(2k+l)x+k2-2=0(x2-2,x2k)有两个不等的实数根，当kW-2时,有

[9(-2)>0,解得二<kW-2;当k>-2时,有]9a)?。，无解.综上所

2/c+l、42/c+l、,

I—>-2，I—>卜，

述,2],D正确.故选BD.

13.答案2

解析设f(x)=x'1，则4"=；=4,

4

...a=-1.因此f(x)=x从而f(|)=Q)=2.

14.答案(-3,3)

解析由偶函数的图象关于y轴对称,知f(x)的大致图象如图.

由图象知f(x)<0的解集为(-3,3).

15.答案3

解析在同一直角坐标系中画出函数y=x+2和y=x2-3x+5的图象,则f(x)的图象

如图中实线部分所示，

-2-1|1234567久

由图象可得,f(X)min—f(1)~3.

16.答案k<2或k>3

解析由题意得，f(x)在定义域内不是单调函数.

易知y=2x?在(1,+8)上为增函数，当x=l时,y=2,

则$1或T+k>2,

解得k<2或k>3.

17.解析（l）f（2）=-212+8=4,（2分）

f（f（-l））=f（4）=-2X4+8=0.（4分）

（2）当xWl时,f（x）=x+5,

若f（x）>4,则x+5>4,解得x>-l,则-（6分）

当x>l时，f（x）=-2x+8,

若f（x）>4,则-2x+8>4,解得x<2,则l<x<2.（8分）

所以不等式f（x）>4的解集为{x|T〈x<2}.（10分）

18.解析（1）因为函数f&）=鬻是定义在［-1,1］上的奇函数，

所以f（0）=2=0,即b=0,（2分）

又f（1）所以a=1,

所以f（x）=三.经检验,符合题意.（4分）

2+X2

X〈IXII

（2）证明：任取X）,2G［-1,1］,且Xi<x2,则TXX2<1,2-X>0,XX2-

2<0,（5分）

所以f（X）-f（X）_"1"2_打1+2%1-%*2-2%2_（%2-%1）（%1%2-2）（

1-2+xl2+%2（2+好）（2+蟾）（2+好）（2+好）

0,即f（xi）<f（x2）,（7分）

所以f（x）在［-1,1］上是增函数.（8分）

⑶不等式f(t-l)+f(t)<0即f(t-1)<-f(t)=f(-t),(9分)

t~l<-t,

因为f(x)是增函数且定义域为［T,1］,所以卜1<t-1<1,

-1<-t<1,

解得0W吗(11分)

所以t的取值范围是［o,1).(12分)

19.解析⑴设函数y=f(x)的图象上任一点Q(x。,y。)关于原点的对称点为

P(x,y),

"o+x_n

则京二o’即猊二区分)

2'

22

,点Q(x0,y0)在y=f(x)的图象上，一y=(-x)+(-x),即y=-x+x,

故g(x)=-x2+x.(6分)

⑵结合⑴知h(x)=-(1+入)x2+(1-X)x+1,

当X=-1时,h(x)=2x+l,h(x)在［-1,1］上是增函数,满足条件；(8分)

当入<-1时,h(x)的图象开口向上,且对称轴方程为则三解得

-3〈人<-1.(11分)

综上,实数人的取值范围为-3W入^-1.(12分)

20.解析(1)当0<x<50时，W(x)=800x-(10x2+200x)-280=

-10x2+600x-280,(3分)

当x、50时，W(x)=800x-(801%+吧产-9450)-280=-(%+千竺)+

9170,

(-10x2+600x-280,0<x<50,

W(x)/ioooo\(6分)

［-1%H------J4-9170,x>50.

(2)若0<x<50,则W(X)=T0(X-30)2+8720,当x=30时,W(x)皿=8720,(8分)

若x250,贝I」W(x)=-(%+空幽)+9170^-2lx•^-^+9170=8970,

\X/yjX

当且仅当X上■吧,即x=100时，等号成立,W(xLx=8970.(10分)

X

因为8970>8720,

所以2022年产量为100千部时,企业所获利润最大,最大利润是8970万元.（12

分)

21.解析⑴f(x)=x・|x|=F广2°二易知f(x)在R上单调递增，(2分)

x<0,

当x£[-2,2]时，f(x)*=f(2)=4,

若玉e[-2,2]，使得f（x）>a-4成立，（4分）

则a-4<4,解得a<8,所以a的取值范围是a<8.（5分）

,-2%2-mx+1,x<0,

1

(2)依题意得,g(x)=(2%?2-mx+1,0VxV蔡，(7分)

2x2+mxT,x>—.

、m

当?$即0<m<2时,g（x）在（-1,-胃G，+8）上单调递增,在（-十，7）上单调

递减，

由题意知g©）Wg（T）,即+1jm-L解得4a-4Wm<2,

故当4V2-4^m<2时,g(x)在(-1,+«=)上存在最小值g(^)=-^+l;(9分)

当罗《即m'2时，-/弓则Vx£(-1,0],g(x)2g(0)=1,

8&)在(0,5)上单调递减，在('，+8)上单调递增，且

VxG(0,+8),g(x)2g(\)*,又煮＜1，所以当m》2时,g(x)在(T,+8)上存在最

小值g(3曦(11分)

综上可得,若g(x)在(-1,+8)上有最小值,则m的取值范围是m^4V2-4.(12分)

22.解析(1)证明:Vg(x)xe(-8,一1)u(-1,+8),

X+1

.♦•8(-2七)三].(1分)

X+