拓展19 分式方程应用题分类训练（5种类型50道）（解析版）

拓展19分式方程应用题分类训练（5种类型50道）【类型1行程问题】1．4月，正是春暖花开，踏青徒步的好时节，某校初三年级开展了“踏青觅春，走进自然”的春游活动．甲、乙两班都从学校出发沿相同路线去距学校7.5千米的徒步终点，已知甲班的步行速度是乙班的1.5倍．（步行过程为匀速运动）(1)若乙班比甲班先走750米，甲班才开始从学校出发，半小时后两班相遇，则两班的速度分别为多少千米/小时？(2)若乙班在出发后第一小时内按原计划的速度匀速前进，一小时后将速度提高到与甲班一致，并比原计划提前10分钟到达徒步终点，求乙班到达终点用了多少小时？【答案】(1)甲班的步行速度为4.5km/h，乙班的步行速度为(2)乙班到达终点用了43【分析】（1）设乙班的步行速度为xkm/h，则甲班的步行速度为1.5x（2）设乙班原计划的速度为ykm/h，根据乙班比原计划提前10【详解】（1）解：设乙班的步行速度为xkm/h，则甲班的步行速度为1.5x由题意得：(1.5x-x)×1解得：x=3，∴1.5x=4.5，答：甲班的步行速度为4.5km/h，乙班的步行速度为3（2）设乙班原计划的速度为ykm/h则7.5y解得：y=5，经检验，y=5是原方程的解且符合实际，∴7.55答：乙班到达终点用了43【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，分式方程的应用，解题的关键是理解题意，找到等量关系，列出方程．2．五一期间，两骑行爱好者甲和乙相约从A地沿着相同路线骑行到距离A地25千米的B地，已知甲的速度是乙的速度的1.5倍．(1)若乙先骑行2.4千米，甲才开始从A地出发，则甲出发24分钟后追上乙，求甲每小时骑行多少千米？(2)若乙先骑行50分钟，甲才开始从A地出发，则甲乙同时到达B地，求甲每小时骑行多少千米？【答案】(1)甲每小时骑行18千米(2)甲每小时骑行15千米【分析】（1）设乙每小时骑行x千米，则甲每小时骑行1.5x千米，根据甲追上乙时，甲行驶的总路程等于乙行驶的总路程，列出方程，解方程即可；（2）设乙每小时骑行y千米，则甲每小时骑行1.5y千米，根据乙所用是时间比甲多50分钟，列出方程，解方程即可．【详解】（1）解：设乙每小时骑行x千米，则甲每小时骑行1.5x千米，依题意得：2460解得：x=12，∴1.5x=1.5×12=18，答：甲每小时骑行18千米；（2）解：设乙每小时骑行y千米，则甲每小时骑行1.5y千米，依题意得：25y解得：y=10，经检验，y=10是原方程的解，且符合题意，∴1.5y=1.5×10=15，答：甲每小时骑行15千米．【点睛】本题主要考查了一元一次方程和分式方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，列出方程，注意分式方程要进行检验．3．从广州到某市，可乘坐普通大巴走高速公路，也可以乘坐高铁．已知普通大巴行驶的路程是300千米，高铁行驶的路程是普通大巴的1.2倍．(1)求高铁行驶的路程；(2)若高铁行驶的平均速度（千米/时）是普通大巴的平均速度（千米/时）的2.4倍，且乘坐高铁所需时间比普通大巴所需时间缩短1.5小时，求高铁平均速度．【答案】(1)360千米；(2)高铁的平均速度是240千米/时【分析】（1）高铁行驶的路程是普通大巴的1.2倍，普通大巴行驶的路程是300千米，两数相乘即可得出答案；（2）设普通大巴的平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.4x千米/时，列出分式方程，然后求解即可．【详解】（1）解：根据题意得：300×1.2=360（千米），答：高铁行驶的路程360千米；（2）设普通大巴的平均速度是x千米/时，则高铁平均速度是2.4x千米/时，根据题意得：300x解得x=100，经检验x=100是原方程的根，且符合题意，所以高铁的平均速度是100×2.4=240(千米/时)．答：高铁的平均速度是240千米/时．【点睛】本题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程，解分式方程时要注意检验．4．小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍．(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前3分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？【答案】(1)9千米/小时(2)203千米/【分析】（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，由题意：小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意：出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前3分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】（1）解：设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，由题意得：4.5x解得：x=经检验，x=则1.5x=9，答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；（2）解：小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为1.5÷9=小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：4.5÷9+10÷60=设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意得1.5+2解得：m≥20答：为了至少提前3分钟到达．则跑步的速度至少为203千米/【点睛】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，列出分式方程和不等式．5．小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟．已知骑自行车的速度是步行速度的1.5倍：(1)求小李步行的速度和骑自行车的速度分别为多少千米每小时；(2)有一天小李骑自行车出发，出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为多少千米每小时？【答案】(1)小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时(2)为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为365千米/【分析】（1）设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，由题意：小李从A地出发去相距4.5千米的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班结果迟到了5分钟．第二天骑自行车去上班结果早到10分钟，列出分式方程，解方程即可；（2）设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意：出发1.5千米后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计）为了至少提前5分钟到达，列出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】（1）解：设小李步行的速度为x千米/小时，则骑自行车的速度为1.5x千米/小时，由题意得：4.5x解得：x=6，经检验，x=6是原方程的解，则1.5x=9，答：小李步行的速度为6千米/小时，则骑自行车的速度为9千米/小时；（2）解：小李骑自行车出发1.5千米所用的时间为1.5÷9=1小李每天出发的时间都相同，距离上班的时间为：4.5÷9+10÷60=2设小李跑步的速度为m千米/小时，由题意得：1.5+2解得：m≥36答：为了至少提前5分钟到达．则跑步的速度至少为365千米/【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，列出分式方程；（2）找出数量关系，列出一元一次不等式．6．小峰和小明相约周末去科技馆看展览，根据他们的谈话内容，求小明乘公交车、小峰骑自行车每小时各行多少千米？【答案】小峰骑自行车每小时行20千米，则小明乘公交车每小时行60千米【分析】设刘峰骑自行车的速度为每小时x千米，则李明乘车的速度为每小时3x千米，根据他们的行驶时间相差0.5小时列出方程并解答即可．【详解】解：设小峰骑自行车每小时行x千米，则小明乘公交车每小时行3x千米，由题意得：20x=解得：x=20，经检验，x=20是原方程的解，∴3x=60，答：小峰骑自行车每小时行20千米，则小明乘公交车每小时行60千米【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．7．A、B两地之间有一条长为180千米的平直公路，甲，乙两车由A地同时出发驶往B地，已知乙车比甲车每小时多行驶20千米，乙车到达B地时，甲车离B地还有40千米．(1)求甲、乙两车的速度；(2)若乙车到达B地后停留半小时，然后沿原路以原速度返回A地，甲车到达B地后立即沿原路提速返回A地，若乙车返回到A地时甲车距A地不超过18千米，求甲车至少提速多少千米/时？【答案】(1)甲车的速度是70千米/时，乙车的速度是90千米/时(2)甲车至少提速14千米/时．【分析】（1）设甲车的速度是x千米/时，则乙车的速度是x+20千米/时，利用时间=路程÷速度，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后，即可得出甲车的速度，再将其代入x+20中，可求出乙车的速度；（2）设甲车提速m千米/时，利用路程=速度×时间，结合乙车返回到A地时甲车距A地不超过18千米，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【详解】（1）解：设甲车的速度是x千米/时，则乙车的速度是x+20千米/时，根据题意得：180-40x解得：x=70，经检验，x=70是所列方程的解，且符合题意，∴x+20=70+20=90．答：甲车的速度是70千米/时，乙车的速度是90千米/时；（2）解：设甲车提速m千米/时，根据题意得：70+m1解得：m≥14，∴m的最小值为14．答：甲车至少提速14千米/时．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．8．为了增强体质，某学校组织徒步活动．两小组都走完了3千米的绿道，第一小组的速度是第二小组速度的1.2倍，第一小组比第二小组提早16(1)求两个小组的速度分别是多少？(2)假设绿道长为a千米，第一小组走完绿道需要m（m>1）小时，第二小组走完绿道的时间是第一小组时间的1.2倍还要多12小时，是否存在m，使得第一小组的速度是第二小组速度的2【答案】(1)3.6千米/时、3千米/时(2)不存在，理由见解析【分析】（1）设第二小组速度是x千米/时，根据题意列方程解题即可；（2）根据题意列方程解出m解题即可．【详解】（1）解：设第二小组速度是x千米/时，列方程得：3x解得：x=3经检验：x=3是原方程的解，∴第一小组的速度为：1.2x=3.6千米/时答：两个小组的速度分别是3.6千米/时、3千米/时．（2）不存在，理由为：由题可知：a解得：m=经检验：m=5∵m=5∴不存在m的值．【点睛】本题考查分式方程的应用，注意分式方程解应用题需要检验．9．某城市自行车赛线路为从起点出发，先骑行一段缓下坡路，再骑行一段平路到达折返点，然后从折返点沿原路线返回起点（起点即终点）．假定某运动员A在平路上骑行的速度始终是25千米/小时，下坡的骑行速度始终是30千米/小时，上坡的骑行速度始终是20千米/小时，已知该运动员从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟．(1)求比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是多少千米？(2)某参赛运动员B骑行时，下坡的速度是上坡速度的2倍，且从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟，求该运动员B骑行时的上坡速度是多少千米/小时？【答案】(1)比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米、15千米(2)该运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时【分析】（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米、y千米，利用“从起点到折返点用时46分钟，从折返点回到起点用时51分钟”完成求解即可；（2）该运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时，根据“从起点到折返点的用时比从折返点到终点少用10分钟”列方程求解即可．【详解】（1）设比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是x千米、y千米．根据题意，得：x30解这个方程组，得x=5y=15答：比赛的下坡路程、下坡结束到折返点的平路路程分别是5千米、15千米；（2）该运动员B骑行时的上坡速度是a千米/小时．根据题意，得：52a-解这个方程，得a=15，经检验，a=15是原方程的解，答：该运动员B骑行时的上坡速度是15千米/小时．【点睛】本题考查二元一次方程组和分式方程的应用，找准等量关系是解题的关键．10．A、B两港之间的距离为(1)若从A港口到B港口为顺流航行，且轮船在静水中的速度比水流速度快20千米/时，顺流所用时间比逆流少用4小时，求水流的速度；(2)若轮船在静水中的速度为v千米/时，水流速度为u千米/时，该船从A港顺流航行到B港，再从B港逆流航行返回到A港所用的时间为t1；若轮船从A港航行到B港再返回到A港均为静水航行，且所用时间为t2，请比较t1【答案】(1)水流的速度为4千米/时(2)t1【分析】（1）设水流的速度为x千米/时，则轮船在静水中的速度为x+20千米/时，利用时间差列出分式方程，解方程即可求解．（2）根据题意，分别表示出t1与t2，根据分式的减法计算【详解】（1）解：设水流的速度为x千米/时，则轮船在静水中的速度为x+20千米/时，根据题意得，280x+20-x解得：x=4，经检验，x=4是原方程的解，答：水流的速度为4千米/时；（2）解：依题意，ttt===∵u>0，v>u，∴t即t1【点睛】本题考查了分式方程的应用，分式减法的应用，根据题意列出方程与代数式是解题的关键．【类型2工程问题】11．为顺利通过“河北省文明城市”验收，我县政府拟对城区部分排水管道公用设施全面更新改造，根据市政建设的需要，需在一个月内完成工程．现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程，经调查知道，乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍，若甲、乙两工程队合作只需10天完成．(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天？(2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元，乙工程队每天的工程费用是2.5万元，请你设计一种方案，既能按时完工，又能使工程费用最少．【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天；(2)甲单独完成既能按时完工，又能使工程费用最少；【分析】（1）设甲需要x天，则乙需要2x天，根据合作需要10天完成列方程求解即可得到答案；（2）由（1）得，甲乙两队单独完成也能在规定时间内完成工程量，分别计算合作完成与单独完成的费用比较即可得到答案．【详解】（1）解：设甲需要x天，则乙需要2x天，由题意可得，10(1解得：x=15，2x=2×15=30，答：甲工程队单独完成此项工程需15天，乙工程队单独完成此项工程需30天；（2）解：由（1）得，甲乙两队单独完成也能在规定时间内完成工程量，甲单独完成需要费用：15×4.5=67.5；乙单独完成需要费用：30×2.5=75，甲乙合作需要费用：10×(2.5+4.5)=70，∵75>70>67.5，∴甲单独完成既能按时完工，又能使工程费用最少．【点睛】本题考查分式方程解决应用题，解题的关键是找到等量关系式，列出方程．12．为了加快旧城改造项目进度，政府公开招标.现有甲、乙两家工程公司中标，已知甲公司工程队每队比乙公司工程队每队每个月多改造2个小区，且甲公司每队改造20个小区的时间与乙公司工程每队改造12个小区的时间相同．(1)甲、乙两家工程公司每队每月分别可以改造多少个旧小区？(2)如果政府计划安排甲、乙两家公司共10支工程队同时开始施工，一个月内至少完成40个旧小区的改造项目，且工程总费用不超过185万元，已知甲公司工程队每月费用报价20万元，乙公司工程队每月费用报价15万元，那么甲、乙两家公司的工程队应各安排多少支？【答案】(1)甲公司工程队每队每个月可以改造5个旧小区，乙公司工程队每队每个月可以改造3个旧小区(2)共有3种安排方案，见解析【分析】（1）设乙公司工程队每队每个月可以改造x个旧小区，则甲公司工程队每队每个月可以改造x+2个旧小区，根据甲公司每队改造20个小区的时间与乙公司工程每队改造12个小区的时间相同，可得出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出乙公司工程队每队每个月改造旧小区的个数，再将其代入x+2中，即可求出甲公司工程队每队每个月改造旧小区的个数；（2）设安排m支甲公司工程队，则安排10-m支乙公司工程队，根据“10支工程队一个月内至少完成40个旧小区的改造项目，且工程总费用不超过185万元”，可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各安排方案．【详解】（1）解：设乙公司工程队每队每个月可以改造x个旧小区，则甲公司工程队每队每个月可以改造x+2个旧小区，根据题意得：20x+2解得：x=3，经检验，x=3是所列方程的解，且符合题意，∴x+2=3+2=5．答：甲公司工程队每队每个月可以改造5个旧小区，乙公司工程队每队每个月可以改造3个旧小区；（2）解：设安排m支甲公司工程队，则安排10-m支乙公司工程队，根据题意得：5m+310-m解得：5≤m≤7，又∵m为正整数，∴m可以为5，6，7，∴共有3种安排方案，方案1：安排5支甲公司工程队，5支乙公司工程队；方案2：安排6支甲公司工程队，4支乙公司工程队；方案3：安排7支甲公司工程队，3支乙公司工程队．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组．13．某公司一工程在招标时接到甲、乙两个工程队的投标书，甲施工队施工一天需付工程款1.5万元，单独施工20天完成；乙工程队每天需付工程款1.1万元；如果甲乙两队合作施工4天后，剩余的工程由乙队单独做16天正好如期完成．(1)求乙工程队单独完成该工程所需的天数；(2)若延期完成，超出工期的时间，公司则每天要损失0.4万元，你认为单独找哪一个工程队更实惠？【答案】(1)25(2)乙【分析】（1）设乙队单独完成要x天，则每天完成1x，根据两队合作4天后又16（2）由题意知工期为20天，分别计算每队单独完成的费用比较哪个更少．【详解】（1）解：设乙队单独完成要x天，则每天完成1x根据题意得：12015解得x=25，经检验x=25是原方程的解，故乙队单独完成要25天；（2）解：∵两队合作4天，乙队又用了16天如期完工，∴工期为20天，甲队单独完成费用为：1.5×20=30（万元）；乙队单独完成费用为：1.1×25+0.4×25-20故乙队更实惠【点睛】本题考查分式方程的运用，做题的关键是要分清等量关系，分式分式方程的根最后要检验．14．某镇道路改造工程，预计由甲、乙两工程队合作20天可完成，甲队单独施工完成的天数是乙队单独施工完成天数的2倍．(1)求甲、乙两队单独完成此项工程各需要多少天；(2)若甲队独做n天后，再由甲、乙两队合作q天可完成此项工程，则n，q之间的关系式为___________；(3)为了加快工程进度，甲、乙两队各自提高工作效率，提高后甲队的工作效率是1a，乙队的工作效率是甲队工作效率的m（m为常数）倍．若提高效率后两队合作10天完成整个工程的23，求甲队提高后的工作效率是提高前工作效率的几倍（用含【答案】(1)甲队单独完成此项工程需要60天，乙队单独完成此项工程需要30天(2)3q+n=60(3)4【分析】（1）设乙队单独完成此项工程需要x天，则甲队单独完成需要2x天，根据题意列出分式方程求解即可；（2）根据题意列出关系式，然后化解求解即可；（3）根据题意得1a+m【详解】（1）设乙队单独完成此项工程需要x天，则甲队单独完成需要2x天，根据题意得202x解得x=30．经检验x=30是原分式方程的解．2x=60．答：甲队单独完成此项工程需要60天，乙队单独完成此项工程需要30天；（2）∵甲队独做n天后，再由甲、乙两队合作q天可完成此项工程，∴n60整理得，3q+n=60；（3）根据题意得1a+m经检验，1a∴1a答：甲队提高后的工作效率是提高前工作效率的4m+1【点睛】本题考查了分式方程的应用，解题的关键是理解题意，能根据题意求得函数解析式，注意数形结合与方程思想的应用．15．海绵城市，是指城市能够像海绵一样，在适应环境变化和应对雨水带来的自然灾害等方面具有良好的弹性．南宁市作为试点城市之一，在许多小区启动了海绵化改造．最新一期的工程招标中，有甲、乙两个工程队投标．经测算，甲工程队单独完成施工需要3个月，若乙工程队在施工一个月后加入，还需要共同工作1个半月才能完成全部工程．(1)乙工程队单独完成这项工程需要多少个月？(2)若甲乙两个工程队同时施工了m个月后，甲工程队另有任务离开，为了减少对居民生活的影响，乙工程队改进技术，工作效率提高为原来的a倍，最终提前了半个月完成全部工程，求m值．【答案】(1)9个月(2)m=【分析】（1）设乙单独完成要x个月，根据共同完成列式求解即可得到答案；（2）根据分工程量之和等于总工程量列式求解即可得到答案；【详解】（1）解：设乙单独完成要x个月，由题意可得，13解得：x=9，答：乙单独完成需要9个月；（2）解：由题意可得，(1解得：m=36-16a【点睛】本题考查分式方程解决应用题，解题的关键是找到等量关系式．16．某村要修建一条长为1200米的水泥路面村道，现有两支施工队前来应聘，村委会派出相关人员了解这两支施工队的情况，获得如下信息．信息一：甲队单独施工完成工程比乙队单独施工完成工程多用10天；信息二：乙队每天施工的数量是甲队每天施工的数量的1.5倍．(1)根据以上信息，求甲、乙两支施工队每天分别修多少米道路？(2)村委会将工程交给乙队，要求25天内完成．几天后因乙队接到抢险任务，经村委会同意，就将余下工程交给甲队．那么在转交给甲队之前乙队至少要施工多少天，才能按照村委会要求按时完成？【答案】(1)甲施工队每天修40米道路，乙施工队每天修60米道路；(2)在转交给甲队之前乙队至少要施工10天，才能按照村委会要求按时完成．【分析】（1）设甲施工队每天修x米道路，则乙施工队每天修1.5x米道路，利用工作时间=工作总量÷工作效率，结合甲队单独施工完成工程比乙队单独施工完成工程多用10天，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出甲施工队每天修路的长度，再将其代入1.5x中，即可求出乙施工队每天修路的长度；（2）设在转交给甲队之前乙队施工y天，根据要求25天内完成修路任务，可列出关于y的一元一次不等式，解之取其中的最小值，即可得出结论．【详解】（1）解：设甲施工队每天修x米道路，则乙施工队每天修1.5x米道路，根据题意得：1200x解得：x=40，经检验，x=40是所列方程的解，且符合题意，∴1.5x=1.5×40=60．答：甲施工队每天修40米道路，乙施工队每天修60米道路；（2）设在转交给甲队之前乙队施工y天，根据题意得：4025-y解得：y≥10，∴y的最小值为10．答：在转交给甲队之前乙队至少要施工10天，才能按照村委会要求按时完成．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．17．有一段6000米的道路由甲、乙两个工程队负责完成．已知甲工程队每天完成的工作量是乙工程队每天完成工作量的2倍，且甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天．(1)求甲、乙两工程队每天各完成多少米？(2)如果甲工程队每天需工程费700元，乙工程队每天需工程费500元，若甲队先单独工作若干天，再由甲、乙两工程队合作完成剩余的任务，支付工程队总费用不大于7600元，则两工程队最多可合作施工多少天？【答案】(1)甲、乙两工程队每天各完成600米和300米(2)两工程队最多可合作施工4天【分析】（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米，根据甲工程队单独完成此项工程比乙工程队单独完成此项工程少用10天，列出方程，求出方程的解，再进行检验即可；（2）设两工程队合作施工a天，根据支付工程队总费用不大于7600元，列出不等式，求出不等式的解集，即可得出答案．【详解】（1）设乙工程队每天完成x米，则甲工程队每天完成2x米，根据题意得：6000x解得：x=300，经检验：x=300是方程的解，则2x=600（米），答：甲、乙两工程队每天各完成600米和300米；（2）设两工程队合作施工a天，根据题意得：6000-300+600解得：a≤4，答：两工程队最多可合作施工4天．【点睛】此题考查了分式方程和一元一次不等式的应用，分析题意，找到合适的等量关系，列出方程是解决问题的关键，注意进行检验．18．列方程解应用题某工程若由甲、乙两工程队合作20天可完成，若甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10天也可完工．(1)求甲工程队单独完成此项工程需多少天？(2)甲、乙两工程队合作一段时间，乙工程队离开，余下的工程再由甲工程队单独完成，若要求完成整个工程工期不超过26天，那么甲、乙两工程队至少要合作多少天？【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需60天(2)甲、乙工程队至少要合作17天【分析】（1）设甲工程队单独完成此项工程需要x天，则甲工程队的工作效率为1x，乙工程队的工作效率为120-1x，根据“甲工程队先单独施工40天，再由乙工程队单独施工10（2）设甲、乙合作了m天，分剩下的工程由甲工程队单独完成和剩下的工程由乙工程队单独完成两种情况考虑，根据整个工期不能超过26天，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合要求对道路交通的影响最小即可得出结论．【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需x天，依题意得40x化简得30解得x=60经检验，x=60是原方程的解，且符合题意．答∶甲工程队单独完成此项工程需60天．（2）解：设甲乙两工程队合作m天，甲工程队单独施工的时间=1-依题意得60-3m+m≤26解得m≥17答∶甲、乙工程队至少要合作17天．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．19．重庆市政府为了美化生态环境，给居民创造舒适生活，计划将北滨二路安全堤坝路段改建为滨江步道，一期工程共1100米，计划由甲施工队施工10天，乙施工队施工15天完成，已知甲施工队比乙施工队每天多修20米．(1)求甲乙施工队平均每天各修多少米？(2)因步道延长，二期工程还需修建2260米，甲施工队和乙施工队同时开工合作修建这条步道，直至完工．甲施工队按计划速度进行施工，乙施工队修建180米后，通过技术更新提高了工作效率．步道完工时，在二期工作中，乙施工队修建的长度比甲施工队修建的长度多20米．则乙施工队技术更新后每天修建多少米？【答案】(1)施工队每天修56米，乙施工队每天修36米(2)乙施工队技术更新后每天修建64米【分析】（1）设甲施工队每天修x米，乙施工队每天修x-20米，根据一期工程共1100米列方程求解即可；（2）设乙施工队技术更新后每天修建m米，根据完工时两队用的时间相同列方程求解即可．【详解】（1）设甲施工队每天修x米，乙施工队每天修x-20米，由题意得，10x+15x-20解得x=56，经检验x=56符合题意，∴56-20=36米．所以甲施工队每天修56米，乙施工队每天修36米；（2）设乙施工队技术更新后每天修建m米，甲施工队修了2260-202=1120米，乙施工队修了18036解得m=64，经检验m=64，是原方程的解，而且符合题意，所以乙施工队技术更新后每天修建64米．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出方程．20．为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下：信息—工程队每天施工面积（单位：m2每天施工费用（单位：元）甲x+3003600乙x2200信息二甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工(1)求x的值；(2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于15000m2【答案】(1)x的值为600(2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元【分析】（1）根据题意甲工程队施工1800m2所需天数与乙工程队施工（2）设甲工程队先单独施工a天，体育中心共支付施工费用w元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于1500m【详解】（1）解：由题意列方程，得1800x+300方程两边乘xx+300，得1800x=1200x解得x=600．检验：当x=600时，xx+300所以，原分式方程的解为x=600．答：x的值为600．（2）解：设甲工程队先单独施工a天，体育中心共支付施工费用w元．则w=3600a+220022-a∵600+300a+600∴a≥6．∵1400>0，∴w随a的增大而增大．∴当a=6时，w取得最小值，最小值为56800．答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元．【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键．【类型3销售利润】21．中秋节，又称祭月节、月光诞、月夕、秋节、团圆节等，是中国民间传统节日．中秋节这天人们都要吃月饼以示“团圆”．商家购甲，乙两种月饼礼盒，已知每盒乙月饼礼盒进价比甲月饼礼盒进价多40元，用8000元购进甲月饼礼盒和用10000元购进乙月饼礼盒的数量相同．(1)求甲、乙月饼礼盒的进价各为多少元？(2)甲月饼礼盒每盒售价为210元，每天可卖出30盒；乙月饼礼盒每盒售价为260元，每天可卖出15盒．在销售过程中为了增大甲月饼礼盒的销量，商家决定对甲月饼礼盒进行降价销售，在现有售价的基础上，每降价1元，可多售出2盒．为更大程度让利顾客，每盒甲月饼礼盒售价多少元时，商家日盈利可达到3000元？【答案】(1)甲月饼礼盒的进价为160元，乙月饼礼盒的进价为200元(2)190元【分析】（1）设甲月饼礼盒的进价为x元，则乙月饼礼盒的进价为x+40元，根据“用8000元购进甲月饼礼盒和用10000元购进乙月饼礼盒的数量相同”列出方程求解即可；（2）设每盒甲月饼礼盒降价m元，根据“甲月饼礼盒每降价1元，可多售出2盒”求出甲月饼礼盒销售量，利用“商家日盈利可达到3000元”列出方程求解即可．【详解】（1）解：设甲月饼礼盒的进价为x元，则乙月饼礼盒的进价为x+40元，则有：8000x解得：x=160，经检验：x=160是原分式方程的根，且符合题意．∴x+40=200，答：甲月饼礼盒的进价为160元，乙月饼礼盒的进价为200元；（2）设每盒甲月饼礼盒降价m元，则它的销售量是30+2m盒，每盒甲月饼礼盒售价210-m元，则有：210-m-16030+2m解得：m1又∵要更大程度让利顾客，∴取m=20，∴210-m=190(元)答：每盒甲月饼礼盒售价190元．【点睛】本题考查分式方程和一元二次方程的应用，审清题意找出等量关系并列出方程是解题的关键．22．昭通苹果和天麻美味可口，小明在昆明某超市购买1市斤昭通苹果和2市斤小草坝天麻需要支付105元，购买3市斤昭通苹果和5市斤小草坝天麻需要265元．(1)1市斤昭通苹果和1市斤小草坝天麻的单价分别是多少元？(2)昆明到昭通的距离大约350km，以前超市老板都会亲自去往昭通选果，但今年的疫情原因，只能选择专车托运，以前花240元进购的苹果现在要花300元，进货单价比原来贵了1元，原来1【答案】(1)一市斤昭通苹果和一市斤小草坝天麻的单价分别是5元和50元(2)原来一市斤苹果进货单价为4元【分析】（1）设一市斤昭通苹果和一市斤小草坝天麻的单价分别是x元和y元，根据购买1市斤昭通苹果和2市斤小草坝天麻需要支付105元，购买3市斤昭通苹果和5市斤小草坝天麻需要265元，列出方程组，解方程组即可；（2）设问原来一市斤苹果进货单价为a元，则现在的进货单价为a+1元，根据以前花240元进购的苹果现在要花300元，求出结果即可．【详解】（1）解：设一市斤昭通苹果和一市斤小草坝天麻的单价分别是x元和y元，列方程组：x+2y=1053x+5y=165，解方程组得：x=5y=50∴一市斤昭通苹果和一市斤小草坝天麻的单价分别是5元和50元．（2）解：设问原来一市斤苹果进货单价为a元，则现在的进货单价为a+1元，由题可得：240a∴解得：a=4经检验，a=4是原方程的解，且符合题意，∴原来一市斤苹果进货单价为4元．【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，分式方程的应用，解题的关键是根据题意列出方程，准确计算．23．某商店决定购进A、B两种纪念品，A种纪念品的单价是B种纪念品单价的2倍，现花80元购进A种纪念品，花60元购进B种纪念品，且购进A种纪念品数量比购进B种纪念品的数量少4件．(1)求购进A、B两种纪念品每件各需多少元？(2)若该商店决定购进这两种纪念品共100件，考虑市场需求和资金周转，用于购买这100件纪念品的资金不少于750元，并且不超过764元，那么该商店共有几种进货方案？(3)已知商家出售1件A种纪念品可获利a元，出售1件B种纪念品可获利5-a元，试问在（2）的条件下，直接写出商家采用哪种方案可获利最多，（商家出售的纪念品均不低于成本价）【答案】(1)A种纪念品的单价为10元，B种纪念品的单价为5元(2)商店共有3种进货方案：购进50件A种纪念品，50件B种纪念品；购进51件A种纪念品，49件B种纪念品；购进52件A种纪念品，48件B种纪念品(3)当0≤a<52时，商家选择进货方案1获利最多；当a=52，商家选择各方案获利相同；当【分析】（1）设B种纪念品的单价为a元，则A种纪念品的单价为2a元，根据题意列分式方程，求解检验即可；（2）设该商品购进m件A种纪念品，则购进100-m件B种纪念品，由题意列出关于m的一元一次不等式组，求得m的取值范围，再结合m为正整数，即可求解；（3）设购进的两种纪念品全部出售后，商店获得的总利润为w元，由题意得出w关于m的函数关系式，再根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设B种纪念品的单价为a元，则A种纪念品的单价为2a元，由题意得，802a解得a=5，经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，∴2a=2×5=10（元），答：A种纪念品的单价为10元，B种纪念品的单价为5元；（2）解：设该商品购进m件A种纪念品，则购进100-m件B种纪念品，由题意得，10m+5100-m解得50≤m≤264又∵m为正整数，∴m=50或51或52，∴该商店共有3种进货方案：方案1：购进50件A种纪念品，50件B种纪念品；方案2：购进51件A种纪念品，49件B种纪念品；方案3：购进52件A种纪念品，48件B种纪念品；（3）解：∵商家出售的纪念品均不低于成本价，∴0≤a≤5，设购进的两种纪念品全部出售后，商店获得的总利润为w元，由题意得，w=am+5-a100-m，即当2a-5<0，即0≤a<52时，w随∴此时商家选择进货方案1获利最多，当2a-5=0，即a=52，∴此时商家选择各方案获利相同，当2a-5>0，即52<a≤5时，w随∴此时商家选择进货方案3获利最多，答：当0≤a<52时，商家选择进货方案1获利最多；当a=52，商家选择各方案获利相同；当【点睛】本题考查分式方程的应用、一元一次不等式组的应用及一次函数的应用，解题的关键是找准等量关系，列出分式方程、一元一次不等式组及w关于m的一次函数关系式．24．中秋节到来之际，一超市准备推出甲种月饼和乙种月饼两种月饼，计划用1200元购买甲种月饼，600元购买乙种月饼，一个甲种月饼和一个乙种月饼的进价之和为9元，且购进甲种月饼的数量是乙种月饼数量的4倍．(1)求计划分别购买多少个甲种月饼和乙种月饼．(2)为回馈客户，厂家推出了一系列活动，每个甲种月饼的售价降低了13，每个乙种月饼的售价便宜了m5m≠0元，现在在（1）的基础上购买乙种月饼的数量增加了152m【答案】(1)计划购买甲种月饼400个，乙种月饼100个．(2)m的值是8．【分析】（1）设计划购买乙种月饼x个，则购买甲种月饼4x个，根据题意列出方程12004x（2）由（1）可求出甲种月饼原售价：1200400=3元，乙种月饼原售价：9-3=6元，即可得出甲种月饼现售价：3×(1-13)=2【详解】（1）解：设计划购买乙种月饼x个，则购买甲种月饼4x个，根据题意列出方程12004x+经检验：x=100是原方程的解∴4x=400答：计划购买甲种月饼400个，乙种月饼100个．（2）解：甲种月饼售价：1200400乙种月饼售价：9-3=6（元）由题意可得：3×化简得：mm1=0∵m≠0∴m=8答：m的值是8．【点睛】本题考查了分式方程和一元二次方程的应用，解题的关键是要读懂题目意思，正确找出等量关系．25．2019年被称为“5G元年”，带领人类步入万物互联时代，而我们的华为在5G核心专利上排世界第一，引来美国对华为的打压．国家从上而下都在支持华为，某手机店准备进一批华为手机，经调查，用80000元采购A型华为手机的台数和用60000元采购B型华为手机的台数一样，一台A型华为手机的进价比一台B型华为手机的进价多800元．(1)求一台A，B型华为手机的进价分别为多少元？(2)若手机店购进A，B型华为手机共60台进行销售，其中A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，且不小于20台，已知A型华为手机的售价为4200元/台，B型华为手机的售价为2800元/台，且全部售出，设购进A型华为手机a台，手机店怎样安排进货，才能在销售这批华为手机时获最大利润，求出最大利润．【答案】(1)一台A，B型华为手机的进价分别为3200元，2400元(2)当购进A型、B型华为手机分别为30台、30台时，利润最大，最大利润是42000元【分析】（1）根据用80000元采购A型华为手机的台数和用60000元采购B型华为手机的台数一样，一台A型华为手机的进价比一台B型华为手机的进价多800元，可以列出相应的分式方程，本题得以解决；（2）根据题意可以写出销售这批华为手机的利润w（元）与a（台）的函数关系式以及a的取值范围，利用一次函数的性质即可解答本题．【详解】（1）解：设一台A型华为手机的进价是x元，则一台B型华为手机的进价是x-800元，依题意，得：80000x解得：x=3200，经检验，x=3200是原分式方程的解，∴3200-800=2400（元），答：一台A，B型华为手机的进价分别为3200元，2400元；（2）设购进A型华为手机a台，则购进B型华为手机60-a台，由题意可得，w=4200-3200∵A型华为手机的台数不大于B型华为手机的台数，且不小于20台，∴20≤a≤60-a，解得：20≤a≤30，即利润w（元）与a（台）的函数关系式为：w=600a+24000（20≤a≤30且a为整数），∵600>0，∴w随a的增大而增大，∴当a=30时，w取得最大值，此时w=600×30+24000=42000（元），答：当购进A型、B型华为手机分别为30台、30台时，利润最大，最大利润是42000元．【点睛】本题考查一次函数的性质、分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和方程的知识解答．26．重百商场有A、B两款电器，已知每台A款电器的售价是每台B款电器售价的54倍，顾客用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少1(1)求每台B款电器的售价为多少元？(2)经统计，商场每月卖出A款电器100台，每台A款电器的利润为100元．为了尽快减少库存，重百商场决定采取适当的降价措施，调查发现，每台A款电器的售价每降低10元，那么平均每月可多售出20台，重百商场要想每月销售A款电器的利润达到10800元，每台A款电器应降价多少元？【答案】(1)每台B款电器的售价为240元(2)每台A款电器应降价40元【分析】（1）设每台B款电器的售价为x元，则每台A款电器的售价是54x元，根据用1200元购买A款电器的数量比用1200元购买B款电器的数量少（2）设每台A款电器应降价a元，则每台A款电器的利润为100-a元，销售数量为100+a10×20台，根据总利润=【详解】（1）解：设每台B款电器的售价为x元，由题意得：1200解得：x=240，经检验：x=240是原方程的根且符合题意，答：每台B款电器的售价为240元（2）解：设每台A款电器应降价a元，由题意得：100-a解得：a1=10，为了尽快减少库存，∴a=40，答：每台A款电器应降价40元．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出方程．27．中国华为公司购买了一批A，B型芯片，其中A型芯片的单价比B型芯片的单价少9元，已知华为公司用312元购买A型芯片的条数与用420元购买B型芯片的条数相等．(1)求华为公司购买的A，B型芯片的单价各是多少元．(2)若两种芯片共购买了150条，且购买的总费用不超过4350元，求最少购买了多少条A型芯片.【答案】(1)A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条(2)最少购买了100条A型芯片【分析】(1)设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为(x-9)元/条,根据数量=总价÷单价结合用312元购买A型芯片的条数与用420元购买B型芯片的条数相等，即可得出关于x的分式方程，解之经检验后即可得出结论；(2)设购买a条A型芯片,则购买(150-a)条B型芯片，根据总价=单价×数量，即可得出关于a的一元一次不等式，解之即可得出结论.【详解】（1）解：设B型芯片的单价为x元/条，则A型芯片的单价为(x-9)元/条,根据题意得：312解得:x=35,经检验，x=35是原方程的解，且符合题意，∴x-9=26元.答：A型芯片的单价为26元/条，B型芯片的单价为35元/条.（2）设购买a条A型芯片,则购买(150-a)条B型芯片，根据题意得:26a+35(150-a)≤4350,解得:a≥100.答：最少购买了100条A型芯片.【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出分式方程.28．2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在中国空间站开讲了，精彩的直播激发了学生探索科学奥秘的兴趣．某中学为满足学生的需求，充实物理兴趣小组的实验项目，决定购入A，B两款物理实验套装，其中A款套装单价是B款套装单价的1.2倍，用9000元购买的A款套装数量比用6000元购买的B款套装数量多10套．(1)求A，B两款套装的单价分别是多少元．(2)该中学准备购买A，B两款套装共50套，且购买A款套装的数量不少于B款套装数量的14【答案】(1)A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元(2)购买A款套装10套，B款套装40套，可使花费最少，最少费用为7800元【分析】（1）设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元,根据题意列分式方程求解；（2）设购买A款套装a套，则购买B款套装50-a套．根据购买A款套装的数量不少于B款套装数量的14列不等式求出a的取值范围，再设购买A，B两款套装的总费用为y【详解】（1）解：设B款套装的单价是x元，则A款套装的单价是1.2x元．由题意，得90001.2x-6000经检验，x=150是分式方程的解，且符合题意．∴1.2x=1.2×150=180．答：A款套装的单价是180元，B款套装的单价是150元．（2）设购买A款套装a套，则购买B款套装50-a套．由题意，可得a≥1450-a设购买A，B两款套装的总费用为y元，则y=180a+15050-a∵30>0，∴y随a的增大而增大．∴当a=10时，y有最小值7800．∴50-a=50-10=40．答：购买A款套装10套，B款套装40套，可使花费最少，最少费用为7800元．【点睛】此题考查了分式方程的实际应用，一次函数的实际应用，一元一次不等式的应用，正确理解题意列得方程及不等式，函数关系式是解题的关键．29．今年我市某公司分两次采购了一批土豆，第一次花费30万元，第二次花费48万元，已知第一次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格上涨了200元，第二次采购时每吨土豆的价格比去年的平均价格下降了200元，第二次的采购数量是第一次采购数量的2倍．(1)问去年每吨土豆的平均价格是多少元？(2)该公司可将土豆加工成薯片或淀粉，若加工成薯片，每吨土豆可获利700元；若加工成淀粉，每吨土豆可获利400元，由于贮藏条件的限制，该公司今年采购的所有土豆须全部进行加工，公司计划加工总利润不低于24万元，至少应将多少吨土豆加工成薯片？【答案】(1)1800(2)200【分析】（1）设去年每吨土豆的平均价格是x元，则今年第一次采购每吨土豆的平均价格为x+200元，第二次采购每吨土豆的平均价格为x-200元，根据第二次的采购数量是第一次采购数量的两倍，列出分式方程，解方程即可；（2）设应将m吨土豆加工成薯片，则应将450-m吨加工成淀粉，根据公司计划加工总利润不低于24万元，列出一元一次不等式，解不等式即可．【详解】（1）解：设去年每吨土豆的平均价格是x元，则今年第一次采购每吨土豆的平均价格为x+200元，第二次采购每吨土豆的平均价格为x-200元，由题意得：300000x+200解得：x=1800，经检验，x=1800是原分式方程的解，且符合题意，故去年每吨土豆的平均价格是1800元；（2）解：由（1）可知，今年采购的土豆数量为：3000001800+200设应将m吨土豆加工成薯片，则应将450-m吨加工成淀粉，由题意得：700m+400450-m解得：m≥200，故至少应将200吨土豆加工成薯片．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式．30．随着六一国际儿童节的临近，儿童产品逐渐热销．去年5月某儿童用品超市购进A，B两款儿童玩具共180套进行销售，已知B款玩具每套售价比A款玩具每套售价的两倍少10元．(1)梦梦小朋友的妈妈去年5月买了3个A款玩具和5个B款玩具一共花费275元，则去年5月A，B两款玩具销售单价分别是多少元？(2)已知去年5月初，为了购进这批儿童产品，该商场花费1920元购买A款玩具，1440元购买B款玩具，且购入一个A款玩具和一个B款玩具成本之比为2：3，去年5月购进B款玩具多少套？【答案】(1)去年5月A款玩具销售单价为25元，B款玩具销售单价为40元；(2)去年5月购进B款玩具60套．【分析】（1）设去年5月A款玩具销售单价为x元，B款玩具销售单价为y元，根据B款玩具每套售价比A款玩具每套售价的两倍少10元．买了3个A款玩具和5个B款玩具一共花费275元，列出二元一次方程组，解方程组即可；（2）设一个A款玩具的成本为2a元，则一个B款玩具的成本为3a元，根据去年5月某儿童用品超市购进A，B两款儿童玩具共180套，列出分式方程，解方程，即可解决问题．【详解】（1）设去年5月A款玩具销售单价为x元，B款玩具销售单价为y元，由题意得：y=2x-103x+5y=275解得：x=25y=40答：去年5月A款玩具销售单价为25元，B款玩具销售单价为40元；（2）设一个A款玩具的成本为2a元，则一个B款玩具的成本为3a元，由题意得：19202a解得：a=8，经检验，a=8是原方程的解，且符合题意，∴14403a=1440答：去年5月购进B款玩具60套．【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用以及分式方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出分式方程．【类型4方案问题】31．第31届世界大学生夏季运动会（简称“成都大运会”）即将在成都开幕、某大运会纪念品专卖店积极做好宣传与备货工作．已知该专卖店销售甲、乙两种纪念品，每个甲种纪念品的进价比每个乙种纪念品的进价多4元，用400元购进甲种纪念品和用240元购进乙种纪念品的数量相同．专卖店将每个甲种纪念品售价定为13元．每个乙种纪念品售价定为8元．(1)每个甲种纪念品和每个乙种纪念品的进价分别是多少？(2)根据市场调查，专卖店计划用不超过3000元的资金再次购进甲，乙两种纪念品共400个，假设这400个纪念品能够全部卖出，求该专卖店获得销售利润最大的进货方案．【答案】(1)每个甲种纪念品的进价为10元，每个乙种纪念品的进价为6元；(2)该专卖店获得销售利润最大的进货方案为购进甲纪念品150个，乙纪念品250个．【分析】（1）设每个甲种纪念品的进价为x元，则每个乙种纪念品的进价为x-4元，由（2）设购进甲种纪念品a个，则购进乙种纪念品400-a个，利润为w元，由题意知，10a+6400-a≤3000，解得，a≤150，利润【详解】（1）解：设每个甲种纪念品的进价为x元，则每个乙种纪念品的进价为x-4元，由题意得，400x解得x=10，经检验，x=10是原分式方程的解，∴x-4=6，答：每个甲种纪念品的进价为10元，每个乙种纪念品的进价为6元；（2）解：设购进甲种纪念品a个，则购进乙种纪念品400-a个，利润为w元，由题意知，10a+6400-a解得，a≤150，w=13-10∵1>0，∴w随着a的增大而增大，∴当a=150时，w最大，值为950，∴400-a=250（个），答：该专卖店获得销售利润最大的进货方案为购进甲纪念品150个，乙纪念品250个．【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用．解题的关键在于根据题意正确的列等式、不等式．32．为丰富同学们阳光大课间活动，育才学校现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同．(1)求跳绳和毽子的单价分别是多少元．(2)恰逢店庆活动，体育用品店对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请求出学校花钱最少的购买方案及最少花费．【答案】(1)跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元(2)购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少为3405元【分析】（1）设毽子的单价为x元，根据用800元购买的跳绳数量和用500元购买的毽子数量相同列出方程，解之即可；（2）设购买跳绳m个，则购买毽子(600-m)个，根据题意列出不等式组进行求解，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，求出一次函数解析式，根据一次函数的性质，求最小值即可．【详解】（1）解：设毽子的单价为x元，则跳绳的单价为(x+3)元，依题意，得：800x+3=500经检验，x=5是原方程的解，且符合题意，∴x+3=8．答：跳绳的单价为8元，毽子的单价为5元．（2）设购买跳绳m个，由题意可得：m≥3600-m解得：m≥450，设学校购买跳绳和毽子两种器材共花w元，则w=0.8×8m+0.7×5600-m∵2.9>0，∴w随m的增大而增大，∴当m=450时，w最小，且为2.9×450+2100=3405，∴当学校购买450个跳绳，150个毽子时，总费用最少为3405元．【点睛】本题考查分式方程的应用，一元一次不等式的应用，以及利用一次函数解决最值问题．根据题意，准确的列出分式方程和一次函数表达式是解题的关键．33．某“爱心义卖”活动中，购进了甲、乙两种文具，每个甲种文具的进货价比每个乙种文具的进货价高10元，花费90元购进的乙种文具的数量和花费150元购进的甲种文具的数量相同．(1)求甲、乙两种文具每个的进货价；(2)若购进甲、乙两种文具共100件，将两种文具的进价均提高20%进行销售，要求进货价不足2080元，销售额不低于2460【答案】(1)甲种文具每个的进货价为25元，则乙种文具每个的进货价为15元；(2)共3种方案：购进甲种文具55件，乙种文具45件；购进甲种文具56件，乙种文具44件；购进甲种文具57件，乙种文具43件；【分析】（1）设甲种文具每个的进货价为x元，则乙种文具每个的进货价为x-10元，根据“花费90元购进的乙种文具的数量和花费150元购进的甲种文具的数量相同”列方程，解方程并检验即可；（2）设购进甲种文具m件，则购进乙种文具100-m件，根据“进货价不足2080元，销售额不低于2460元”列出不等式组，解不等式组即求出正整数解即可得到答案．【详解】（1）解：设甲种文具每个的进货价为x元，则乙种文具每个的进货价为x-10元，根据题意得到，150解得x=25，经检验，x=25是分式方程的解且符合题意，x-10=25-10=15，答：甲种文具每个的进货价为25元，则乙种文具每个的进货价为15元；（2）设购进甲种文具m件，则购进乙种文具100-m件，根据题意可得，25m+15100-m解得55≤m<58，∵m是正整数，∴m=55或m=56或m=57，当m=55时，100-m=100-55=45，当m=56时，100-m=100-56=44，当m=57时，100-m=100-57=43，即共3种方案：购进甲种文具55件，乙种文具45件；购进甲种文具56件，乙种文具44件；购进甲种文具57件，乙种文具43件；【点睛】此题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用，找到等量关系和不等关系正确列出方程和不等式组是解题的关键．34．为了迎接五一黄金周的购物高峰，某品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：运动鞋价格甲乙进价（元/双）mm-30售价（元/双）240160已知：用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．(1)求m的值．(2)若购进乙种运动鞋x（双），要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润＝售价﹣进价）不少于13000元且不超过13500元，问该专卖店有几种进货方案？(3)在（2）的条件下求出总利润y（元）与购进乙种运动鞋x（双）的函数关系树，并用关系式说明哪种方案的利润最大，最大利润是多少？【答案】(1)m的值是150(2)该专卖店有11种进货方案(3)在（2）的条件下总利润y（元）与购进乙种运动鞋x（双）的函数关系式是y=-50x+18000，当购进乙种运动鞋90双，最大利润是13500元．【分析】（1）根据题意列分式方程，求解即可解答；（2）由（1）可知，甲、乙运动鞋的利润，设购进乙种运动鞋x双，则购进甲种运动鞋为200-x双，根据题意列不等式组求解即可解答；（3）设利润为y元，根据题意列出函数关系式，然后利用一次函数的增减性即可解答．【详解】（1）解：由题意可得：3000m=2400经检验，m=150是原分式方程的解，即m的值是150．（2）解：设购进乙种运动鞋x双，则购进甲种运动鞋为200-x双，由题意可得：13000≤240-150×200-x∵x为整数，∴x=90，∴该专卖店有11种进货方案．（3）解：由题意可得利润y=240-150∴y随x的增大而减小，∵90≤x≤100且x为整数，∴当x=90时，W取得最大值，最大利润为：-50x+18000=-50×90+18000=13500元，答：在（2）的条件下总利润y（元）与购进乙种运动鞋x（双）的函数关系式是y=-50x+18000，当购进乙种运动鞋90双，最大利润是13500元．【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用、一元一次不等式组的实际应用、一次函数的性质等知识点，正确理解题意、列出分式方程和相应的函数解析式和不等式组是解题关键．35．某企业用A、B两种型号的机器加工相同的零件．已知一台A型机器比一台B型机器每小时多加工2个零件，且一台A型机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用的时间相等．(1)求A、B两种型号的机器每台每小时分别加工多少个零件？(2)如果该企业计划安排A、B两种型号的机器共10台一起加工一批该零件，已知一台A型机器每小时的工作成本为100元，一台B型机器每小时的工作成本为80元，为了保证利润，这10台机器每小时的工作成本不高于925元．求最多安排几台A型机器？(3)在（2）的条件下，为了如期完成任务，要求这10台机器每小时加工的零件不少于70个，那么有哪几种安排方案？【答案】(1)A种型号的机器每台每小时加工8个零件，则B种型号的机器每台每小时加工6个零件(2)6(3)方案一：安排5台A型机器，则安排5台B型机器；方案二：安排6台A型机器，则安排4台B型机器【分析】（1）设A种型号的机器每台每小时加工x个零件，则B种型号的机器每台每小时加工x-2个零件，根据机器加工80个零件与一台B型机器加工60个零件所用的时间相等，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出A型机器每台每小时加工零件的数量，再将其代入x-2中，即可求出B型机器每台每小时加工零件的数量；（2）设安排a台A型机器，则安排10-a台B型机器，根据这10台机器每小时的工作成本不高于925元，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再取其中的最大整数值，即可得出结论；（3）根据这10台机器每小时的工作成本不高于925元．求最多可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，再结合a≤6.25，且a为正整数，即可得出各安排方案．【详解】（1）解：设A种型号的机器每台每小时加工x个零件，则B种型号的机器每台每小时加工x-2个零件，根据题意得：80x解得：x=8，经检验：x=8是原方程的解，且符合题意，所以x-2=6，答：A种型号的机器每台每小时加工8个零件，则B种型号的机器每台每小时加工6个零件．（2）解：设安排a台A型机器，则安排10-a台B型机器，根据题意得：100a+8010-a解得：a≤6.25，因为a为正整数，∴a的最大值为6，答：最多安排6台A型机器．（3）解：根据题意得：8a+610-a解得：a≥5，由（2）得：a≤6.25，且a为正整数，∴a取5，6，所以一共有2种安排方案，方案一：安排5台A型机器，则安排5台B型机器；方案二：安排6台A型机器，则安排4台B型机器．【点睛】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式；（3）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．36．我市开展信息技术与教学深度融合的“精准化教学”，某学校计划购买A，B两种型号教学设备，已知A型设备价格比B型设备价格每台高500元，用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台．(1)求A，B型设备单价分别是多少元；(2)该校计划购买两种设备共50台，且A型设备数量不少于B型设备数量的13．设购买m台A型设备，购买总费用为w元，求w与m的函数关系式，并结合m【答案】(1)A型设备单价为3000元

B型设备单价为2500元(2)w=500m+12500012.5≤m≤50，购买A型设备13台，B型设备37【分析】（1）设每台A型设备的价格为x万元，则每台B型号设备的价格为x-500万元，根据“用30000元购买A型设备的数量比用15000元购买B型设备的数量多4台”建立方程，解方程即可；（2）根据总费用＝购买A型设备的费用+购买B型设备的费用，可得出w与a的函数关系式，并根据两种设备的数量关系得出a的取值范围，结合一次函数的性质可得出结论．【详解】（1）解：设每台A型设备的价格为x元，则每台B型号设备的价格为x-500元，根据题意得，30000x解得：x=3000，经检验，x=3000是原方程的解，∴x-500=2500，∴每台A型号设备的价格为3000元，则每台B型设备的价格为2500元；（2）解：设购买m台A型设备，则购买50-m台B型设备，∴W=3000m+250050-m由实际意义可知，m≥050-m≥0∴12.5≤m≤50且m为整数，∵500>0，∴w随m的增大而增大，∴当自然数m取最小值13时总费用w最小，∴购买A型设备13台，B型设备37台，总费用最少．【点睛】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．37．素材1：某公司计划生产21600个装饰品，该公司有A、B两个车间，由于车间的设备和人数不同，A车间每天生产总数量是B车间每天生产总数量的1.5倍，A车间单独完成生产任务所需的时间比B车间单独完成少10天．素材2：经调查，A车间每生产一个装饰品的成本是15元，B车间每生产一个装饰品的成本是12元．问题解决：(1)确定生产效率：求A、B车间每天分别生产多少个装饰品？(2)确定生产方案：若A、B两车间工作的天数均为正整数，如何安排A、B两车间工作的天数，使得公司在完成该生产任务时所需成本最低？成本最低时是多少元？【答案】(1)A车间每天生产1080个装饰品，B车间每天生产720个装饰品(2)安排A车间工作2天，B车间工作27天时，成本最低，最低成本是265680元【分析】（1）设B车间每天生产x个装饰品，A车间每天生产1.5x个装饰品，由题意：A车间单独完成生产任务所需的时间比B车间单独完成少10天，列出分式方程，解方程即可．（2）设安排A车间工作m天，B车间工作n=-32m+30天，设总成本为w元，由题意得出w关于m的一次函数，再求出0<m<20【详解】（1）设B车间每天生产x个装饰品，A车间每天生产1.5x个装饰品，依题意，得21600x解得，x=720，经检验，x=720是分式方程的解，则A车间每天生产720×1.5=1080（个）．答：A车间每天生产1080个装饰品，B车间每天生产720个装饰品．（2）设安排A车间工作m天，B车间工作n天，根据题意得：1080m＋整理得：n=-3成本：w=15×1080m+12×720n=15×1080m+12×720(-3整理得：w=3240m+259200，∵m，-3∴-3∴0<m<20，且m为偶数，∴a=2,4,6,8, ∵3240>0，所以w随m的增大而增大，又∵天数为正整数，所以，m为2的倍数，m取最小值为2，此时n=27，成本w最低，最低成本为：w=3240×2+259200=265680元．答：安排A车间工作2天，B车间工作27天时，成本最低，最低成本是265680元．【点睛】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找出数量关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式．38．为了迎接“十•一”小长假的购物高峰．某运动品牌专卖店准备购进甲、乙两种运动鞋．其中甲、乙两种运动鞋的进价和售价如下表：运动鞋价格甲乙进价（元/双）mm-20售价（元/双）240160已知用3000元购进甲种运动鞋的数量与用2400元购进乙种运动鞋的数量相同．(1)求m的值；(2)要使购进的甲、乙两种运动鞋共200双的总利润（利润=售价-进价）不少于21700元，且不超过22300元，问该专卖店有几种进货方案？(3)在（2）的条件下，专卖店准备对甲种运动鞋进行优惠促销活动，决定对甲种运动鞋每双优惠a元出售，乙种运动鞋价格不变．要使（2）中所有方案获利都相同，a值应是多少？【答案】(1)100(2)11(3)60【分析】（1）根据题意列分式方程，求解即可得到答案；（2）由（1）可知，甲、乙运动鞋的利润，设购进甲x双，则购进乙200-x双，根据题意列不等式组，求解即可得到答案；（3）设利润为W元，根据题意，列出函数关系式，即可得到答案．【详解】（1）解：由题意得：3000m解得：m=100，

经检验，m=100是原方程的解，且符合题意，即m的值为100；（2）解：设购进甲x双，则购进乙200-x双，由题意得：∵21700≤60x+16000≤22300

∴95≤x≤105，且x为正整数，

∴一共有11种进货方案．（3）解：设促销后的总利润为W元，根据题意得：W=240-100-ax+当60-a=0时，即a=60时，W=16000。即要使（2）中所有方案获利都相同，a=60．【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的性质，正确理解题意，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．39．在甲、乙两公司全体员工捐款活动中，甲公司共捐款100000元，乙公司共捐款140000元．下面是甲、乙两公司员工的一段对话：甲公司员工：我们公司的人数比你们公司少20人乙公司员工：我们公司的人均捐款数是你们公司的76(1)甲、乙两公司各有多少人？(2)现甲、乙两公司共同使用这笔捐款购买A