专题15 圆与相似（原卷版）

九年级数学下册解法技巧思维培优专题15圆与相似题型一利用相似三角形求线段的长【典例1】（2019•泰顺模拟）如图，在锐角△ABC中，以AB为直径的⊙O交AC于点D，过点D作⊙O的切线DE交边BC于点E，连结BD．（1）求证：∠ABD＝∠CDE．（2）若AC＝28，tanA＝2，AD：DC＝1：3，求DE的长．【典例2】（2019•乐山）如图，直线l与⊙O相离，OA⊥l于点A，与⊙O相交于点P，OA＝5．C是直线l上一点，连结CP并延长交⊙O于另一点B，且AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为3，求线段BP的长．【典例3】（2019•乐清市模拟）如图，AB是半圆O的直径，半径OC⊥AB，OB＝4，D是OB的中点，点E是弧BC上的动点，连接AE，DE．（1）当点E是弧BC的中点时，求△ADE的面积；（2）若tan∠AED=32，求（3）点F是半径OC上一动点，设点E到直线OC的距离为m，①当△DEF是等腰直角三角形时，求m的值；②延长DF交半圆弧于点G，若弧AG＝弧EG，AG∥DE，直接写出DE的长．【典例4】（2019•道外区二模）已知：AB为⊙O直径，弦CD⊥AB，垂足为H，点E为⊙O上一点，AE=BE，BE与CD交于点（1）如图1，求证：BH＝FH；（2）如图2，过点F作FG⊥BE，分别交AC、AB于点G、N，连接EG，求证：EB＝EG；（3）如图3，在（2）的条件下，延长EG交⊙O于M，连接CM、BG，若ON＝1，△CMG的面积为6，求线段BG的长．【典例5】（2019•哈尔滨模拟）四边形ABCD内接于⊙O，弦AC、BD交于点E，且∠BAC+∠ACD＝∠ADC（1）如图1，求证：AB＝AD；（2）如图2，点F在AD上，弦BF交AC于点G，交AD于点H，点K在BD上，FK∥CD，连接OK，若AG＝AH，求证：OK⊥BF；（3）如图3，在（2）的条件下，若∠OKD＝∠AED，BE＝6，DE＝10，求⊙O的半径长．【典例6】（2019•乐清市模拟）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，过点B作BD⊥AB，点C，D都在AB上方，AD交△BCD的外接圆⊙O于点E．（1）求证：∠CAB＝∠AEC．（2）若BC＝3．①EC∥BD，求AE的长．②若△BDC为直角三角形，求所有满足条件的BD的长．（3）若BC＝EC=5，则S△BCDS△ACE题型二利用相似三角形确定线段间的关系【典例7】（2019•黄石模拟）如图，△ABC内接于⊙O，CD是⊙O的直径，过C作射线CE交AB的延长线于点E，且∠BAC＝∠ECB．（1）求证：CE是⊙O的切线．（2）若AB＝6，CE＝4，求BE的长．（3）求证：EB：EA＝CB2：CA2．【典例8】（2019•大邑模拟）如图1所示，已知AB，CD是⊙O的直径，T是CD延长线的一点，⊙O的弦AF交CD于点E，且AE＝EF，OA2＝OE•OT．（1）如图1，求证：BT是⊙O的切线；（2）在图1中连接CB，DB，若DBCB=12（3）如图2，连接DF交AB于点G，过G作GP⊥CD于点P，若BT＝62，DT＝6．求：DG的长．【典例9】（2019•萧山区一模）如图，已知AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E．点P是劣弧AD上任一点（不与点A，D重合），CP交AB于点M，AP与CD的延长相交于点F．（1）设∠CPF＝α，∠BDC＝β，求证：α＝β+90°；（2）若OE＝BE，设tan∠AFC＝x，AMBM=y．①求∠②求y关于x的函数表达式及自变量x的取值范围．【典例10】（2019•青羊区模拟）如图，CD是⊙O直径，弦AB⊥CD，垂足为H，连接BC，过弧AD上一点E作EF∥BC交BA的延长线于点F，CE交AB于点G，∠FEG＝∠FGE，CD延长线交EF于点E．（1）求证：EK是⊙O的切线；（2）求证：EBFB（3）若sinF=35，CH＝26，求【典例11】（2019•郫都区模拟）如图，AB是⊙O的直径，AC切⊙O于点A，AC＝AB，CO的延长线交⊙O于点F，BP的延长线交AC于点E，连接AP、AF．（1）求证：AF∥BE；（2）求证：PAPC（3）若AB＝2，求tan∠F的值．巩固练习1．（2019•宝应县期中）如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于点F连接DF、DC．已知OA＝OB，CA＝CB．（1）求证：直线AB是⊙O的切线；（2）求证：∠FDC＝∠EDC；（3）已知：DE＝10，DF＝8，求CD的长．2．（2019•鹿城区三模）△ABC内接于⊙O，∠BAC的平分线交⊙O于D，交BC于E（BE＞EC），过点D作⊙O的切线DF，交AB的延长线于F．（1）求证：DF∥BC；（2）连接OF，若tan∠BAC=22，BD=43，DF＝8，求3．（2019•海淀区校级月考）如图，已知直线l与⊙O无公共点，OA⊥l于点A，交⊙O于点P，点B是⊙O上一点，连接BP并延长交直线l于点C，使得AB＝AC．（1）求证：AB是⊙O的切线；（2）若BP＝25，sin∠ACB=55，求4．（2019•南岗区校级月考）如图1，在⊙O中，AB是弦，OH⊥AB于H，交⊙O于N，C为⊙O上一点，连接AC，BC，NC．（1）求证：∠ACN＝∠BCN；（2）如图2，D为弧AC上一点，且弧CB＝弧CD，连接AD，过C作CE⊥AB于E，求证：AD＝2EH；（3）如图3，在（2）的条件下，若AB为⊙O的直径，BG＝5，CE＝6，BE＞EG，求△ADC的周长．5．（2019•呼兰区期末）已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，直径AC与对角线BD相交于点E，作CH⊥BD于H，CH与过A点的直线相交于点F，∠FAD＝∠ABD．（1）求证：AF为⊙O的切线；（2）若BD平分∠ABC，求证：DA＝DC；（3）在（2）的条件下，N为AF的中点，连接EN，若∠AED+∠AEN＝135°，⊙O的半径为22，求EN的长．6．（2019•清江浦区期末）（1）【学习心得】于彤同学在学习完“圆”这一章内容后，感觉到一些几何问题如果添加辅助圆，运用圆的知识解决，可以使问题变得非常容易．例如：如图1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，D是△ABC外一点，且AD＝AC，求∠BDC的度数．若以点A为圆心，AB为半径作辅助⊙A，则点C、D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圆心角，而∠BDC是圆周角，从而可容易得到∠BDC＝°．（2）【问题解决】如图2，在四边形ABCD中，∠BAD＝∠BCD＝90°，∠BDC＝25°，求∠BAC的数．（3）【问题拓展】如图3，如图，E，F是正方形A