专题11 等腰三角形与其他知识的综合（解析版）

专题11等腰三角形与其他知识的综合（解析版）类型一等腰三角形与平行线、角平分线的综合1．（2022秋•洛江区期末）在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，过点I作DE∥BC交BA于点D，交AC于点E，且AB＝5，AC＝3，∠A＝50°，则下列说法错误的是（）A．△DBI和△EIC是等腰三角形 B．DI＝1.5IE C．△ADE的周长是8 D．∠BIC＝115˚【思路引领】由角平分线以及平行线的性质可以得到等角，从而可以判定△IDB和△IEC是等腰三角形，所以BD＝DI，CE＝EI，△ADE的周长被转化为△ABC的两边AB和AC的和，即求得△ADE的周长为8．【解答】解：∵BI平分∠DBC，∴∠DBI＝∠CBI，∵DE∥BC，∴∠DIB＝∠IBC，∴∠DIB＝∠DBI，∴BD＝DI．同理，CE＝EI．∴△DBI和△EIC是等腰三角形；∴△ADE的周长＝AD+DI+IE+EA＝AB+AC＝8；∵∠A＝50°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠IBC+∠ICB＝65°，∴∠BIC＝115°，故选项A，C，D正确，故选：B．【总结提升】此题考查了等腰三角形的性质与判定以及角平分线的定义．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．2．（2019秋•南宫市期末）已知：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，CE⊥AD于点E，EF∥AB交AC于点F．求证：△FEC是等腰三角形．【思路引领】利用平行线以及角平分线的定义证明∠2＝∠3，再根据等角的余角相等证明∠4＝∠5即可解决问题；【解答】证明：如图，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∵EF∥AB，∴∠1＝∠3，∴∠2＝∠3，∵CE⊥AD于点E，∴∠AEC＝90°，∴∠3+∠4＝90°，∴∠2+∠5＝90°，∴∠4＝∠5，∴FE＝FC，∴△FEC是等腰三角形．【总结提升】本题考查平行线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．3．（2020秋•延边州期末）如图，等边△ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）如图①，点E为AB的中点，求证：AE＝DB．（2）如图②，点E在边AB上时，AE＝DB（填：“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：过点E作EF∥BC，交AC于点F（请你完成以下解答过程）．（3）在等边△ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若AB＝1，AE＝2时，直接写出CD的长．【思路引领】（1）根据等腰三角形的三线合一得到CE为∠ACB的平分线，证明BD＝BE，等量代换证明结论；（2）过点E作EF∥BC，交AC于点F，证明△DBE≌△EFC，根据全等三角形的性质证明；（3）分点E在AB的延长线上和点E在BA的延长线上两种情况，根据全等三角形的性质解答．【解答】（1）证明：∵△ABC为等边三角形，点E为AB的中点，∴CE为∠ACB的平分线，∴∠BCE=12∠ACB=12∵ED＝EC，∴∠D＝∠DCE＝30°，∵∠ABC＝60°，∠D+∠DEB＝∠ABC，∴∠DEB＝30°，∴BD＝BE，∵AE＝BE，∴AE＝BD；（2）解：AE＝BD，理由如下：如图②，过点E作EF∥BC，交AC于点F，∵△ABC为等边三角形，∴∠ACB＝∠ABC＝60°，∵EF∥BC，∴∠AEF＝∠ABC＝∠AFE＝∠ACB＝60°，∴△AEF为等边三角形，∴AB＝AC，∴BE＝CF，∴∠DBE＝∠EFC＝120°，∵ED＝EC，∴∠D＝∠ECB，∴∠D+∠DEB＝∠ECB+∠ECF＝60°，∴∠DEB＝∠ECF，在△DBE和△EFC中，DE=EC∠DBE=∠EFC∴△DBE≌△EFC（SAS），∴EF＝DB，∵AE＝EF，∴AE＝DB；故答案为：＝；（3）解：如图③，作EF∥BC交CA的延长线于F，则△AEF为等边三角形，∴AF＝AE＝EF＝2，∠BEF＝60°，∴∠CEF＝60°+∠BEC，∵∠EDC＝∠ECD＝∠B°+∠BEC＝60°+∠BEC，∴∠CEF＝∠EDB，∵EB＝CF＝3，∠CEF＝∠EDB，∠F＝∠B＝60°，∴△CEF≌△EDB（AAS），∴BD＝EF＝2，∴CD＝BD﹣BC＝1，如图4，仿照以上作法可知，CD＝3，综上所述，CD＝1或3．【总结提升】本题考查的是等边三角形的性质、三角形全等的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键．类型二等腰三角形与垂直平分线的综合4．（2017秋•新洲区期中）如图，线段AB，DE的垂直平分线交于点C，且∠ABC＝∠EDC＝72°，∠AEB＝92°，则∠EBD的度数为（）A．168° B．158° C．128° D．118°【思路引领】连接CE，依据线段AB，DE的垂直平分线交于点C，可得CA＝CB，CE＝CD，判定△ACE≌△BCD，可得∠AEC＝∠BDC，设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，即可得到△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°．【解答】解：如图，连接CE，∵线段AB，DE的垂直平分线交于点C，∴CA＝CB，CE＝CD，∵∠ABC＝∠EDC＝72°＝∠DEC，∴∠ACB＝∠ECD＝36°，∴∠ACE＝∠BCD，在△ACE和△BCD中，CA=CB∠ACE=∠BCD∴△ACE≌△BCD（SAS），∴∠AEC＝∠BDC，设∠AEC＝∠BDC＝α，则∠BDE＝72°﹣α，∠CEB＝92°﹣α，∴∠BED＝∠DEC﹣∠CEB＝72°﹣（92°﹣α）＝α﹣20°，∴△BDE中，∠EBD＝180°﹣（72°﹣α）﹣（α﹣20°）＝128°，故选：C．【总结提升】本题主要考查了线段垂直平分线的性质以及全等三角形的判定与性质的运用，解决问题的关键是依据全等三角形的对应角相等，以及三角形内角和定理得出结论．5．（2014秋•湛江校级期中）如图，在△ABC中，AB＝AC，DE是边AB垂直平分线交AB于E，交AC于D，连接BD．（1）若∠A＝40°，求∠DBC的度数．（2）若△BCD的周长为12cm，△ABC的周长为18cm，求BE的长．【思路引领】（1）由等腰三角形的性质可求得∠ABC，由线段垂直平分线的性质可求得∠ADB，则可求得∠DBC；（2）由线段垂直平分线的性质可求得BD+DC+BC＝AD+DC+BC＝AC+BC，再结合△ABC的周长，可求得AB的长，则可求得BE．【解答】解：（1）∵AB＝AC∴∠ABC＝∠ACB=12（180°﹣∠A）＝∵DE是AB的垂直平分线，∴BD＝AD°，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°；（2）△BCD的周长＝BC+CD+BD＝BC+CD+AD＝BC+AC＝12，△ABC的周长＝AB+AC+BC＝AB+12＝18，∴AB＝6，∴BE=12AB＝【总结提升】本题主要考查线段垂直平分线的性质，掌握线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等是解题的关键．6．（2020秋•休宁县期中）如图，△ABC中，AB＝11，AC＝5，∠BAC的平分线AD与边BC的垂直平分线DG相交于点D，过点D分别作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，求BE的长度．【思路引领】连接CD，BD，由∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，根据角平分线的性质与线段垂直平分线的性质，易得CD＝BD，DF＝DE，继而可得AF＝AE，证得Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），则可得BE＝CF，继而求得答案．【解答】解：如图，连接CD，BD，∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，∴AE＝AF，∵DG是BC的垂直平分线，∴CD＝BD，在Rt△CDF和Rt△BDE中，CD=BDDF=DE∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），∴BE＝CF，∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，∵AB＝11，AC＝5，∴BE=12（11﹣5）＝【总结提升】此题考查了线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．7．（2022秋•亳州期末）如图，CN是等边△ABC的外角∠ACM内部的一条射线，点A关于CN的对称点为D，连接AD，BD，CD，其中AD，BD分别交射线CN于点E，P．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）若∠ACN＝α，求∠BDC的大小（用含α的式子表示）；（3）求证：PB＝PC+2PE．【思路引领】（1）先证明CN是AD的垂直平分线，再由CA＝CD，CA＝CB，即可得到CB＝CD，证明即可；（2）由题意得∠ACD＝2∠ACN＝2α，再由△ABC是等边三角形，推导出∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2α，即可求∠BDC；（3）在PB上截取PF使PF＝PC，连接CF，根据题意得到PD＝2PE，进一步证明△CPF是等边三角形，再证明△BFC≌△DPC（AAS），得到BF＝PD＝2PE，即可证明PB＝PF+BF＝PC+2PE．【解答】（1）证明：∵点A与点D关于CN对称，∴CN是AD的垂直平分线，∴CA＝CD，∵CA＝CB，∴CB＝CD，∴△BCD是等腰三角形；（2）解：∵CA＝CD，AD⊥EC，∴∠ACD＝2∠ACN＝2α，∵△ABC是等边三角形，∴CA＝CB＝CD，∠ACB＝60°，∴∠BCD＝∠ACB+∠ACD＝60°+2α，∴∠BDC=∠DBC=1（3）证明：在PB上截取PF使PF＝PC，连接CF，∵CA＝CD，∠ACD＝2α，∴∠CDA＝∠CAD＝90°﹣α，∵∠BDC＝60°﹣α，∴∠PDE＝∠CDA﹣∠BDC＝30°，∴PD＝2PE，∵∠CPF＝∠DPE＝90°﹣∠PDE＝60°，∴△CPF是等边三角形，∴∠CPF＝∠CFP＝60°，∴∠BFC＝∠DPC＝120°，在△BFC和△DPC中，∠CFB=∠CPD∠CBF=∠CDP∴△BFC≌△DPC（AAS），∴BF＝PD＝2PE，∴PB＝PF+BF＝PC+2PE．【总结提升】本题考查几何变换的综合应用，熟练掌握等边三角形的性质，图形对称的性质，三角形全等的判定及性质，利用截长补短法构造三角形全等是解题的关键．类型三等腰三角形与几何变换的综合8．（2011秋•鼓楼区校级期中）如图1，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，AF平分∠CAB，交CD于点E，交CB于点F．（1）求证：CE＝CF；（2）将图1中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使点E′落在BC边上，其他条件不变，如图2，求证：A′E′是∠CE′D′的角平分线；（3）试猜想：BE′与CF有怎样的数量关系？请证明你的结论．【思路引领】（1）根据角平分线的定义可得∠1＝∠2，再根据等角的余角相等求出∠CFE＝∠AED，然后根据对顶角相等可得∠CEF＝∠AED，从而得到∠CEF＝∠CFE，再根据等角对等边证明即可；（2）根据平移的性质可得∠A′E′D′＝∠AED，A′E′∥AE，再根据两直线平行，同位角相等可得∠CFE＝∠A′E′F，然后求出∠A′E′D′＝∠A′E′F，根据角平分线的定义证明即可；（3）根据平移的性质可得∠2＝∠3，AE＝A′E′，求出∠1＝∠3，再根据等角的余角相等求出∠B＝∠4，再利用“角角边”证明△ACE和△A′BE′全等，根据全等三角形对应边相等可得BE′＝CE，从而得到BE′＝CF．【解答】证明：（1）∵AF平分∠CAB，∴∠1＝∠2，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠1+∠CFE＝90°，∠2+∠AED＝90°，∴∠CFE＝∠AED，∵∠CEF＝∠AED（对顶角相等），∴∠CEF＝∠CFE，∴CE＝CF；（2）∵△ADE沿AB向右平移得到△A′D′E′，∴∠A′E′D′＝∠AED，A′E′∥AE，∴∠CFE＝∠A′E′F，∵∠CFE＝∠AED，∴∠A′E′D′＝∠A′E′F，∴A′E′是∠CE′D′的角平分线；（3）由平移的性质得，∠2＝∠3，AE＝A′E′，∴∠1＝∠3，∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠4+∠BAC＝90°，∠B+∠BAC＝90°，∴∠B＝∠4，在△ACE和△A′BE′中，∠1=∠3∠B=∠4∴△ACE≌△A′BE′（AAS），∴BE′＝CE，∵CE＝CF，∴BE′＝CF．【总结提升】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，平移的性质，等角的余角相等的性质，熟记各性质以及三角形全等的判定方法是解题的关键，利用数字加弧线表示角更形象直观．9．（2015•赵县一模）如图，点O是等边△ABC内一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α．将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，连接OD．（1）求证：△COD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形？【思路引领】（1）根据旋转的性质可得出OC＝OD，结合题意即可证得结论；（2）结合（1）的结论可作出判断；（3）找到变化中的不变量，然后利用旋转及全等的性质即可做出解答．【解答】（1）证明：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴CO＝CD，∠OCD＝60°，∴△COD是等边三角形．（2）解：当α＝150°时，△AOD是直角三角形．理由是：∵将△BOC绕点C按顺时针方向旋转60°得△ADC，∴△BOC≌△ADC，∴∠ADC＝∠BOC＝150°，又∵△COD是等边三角形，∴∠ODC＝60°，∴∠ADO＝∠ADC﹣∠ODC＝90°，∵∠α＝150°，∠AOB＝110°，∠COD＝60°，∴∠AOD＝360°﹣∠α﹣∠AOB﹣∠COD＝360°﹣150°﹣110°﹣60°＝40°，∴△AOD不是等腰直角三角形，即△AOD是直角三角形．（3）解：①要使AO＝AD，需∠AOD＝∠ADO，∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠ADO＝α﹣60°，∴190°﹣α＝α﹣60°，∴α＝125°；②要使OA＝OD，需∠OAD＝∠ADO．∵∠OAD＝180°﹣（∠AOD+∠ADO）＝180°﹣（190°﹣α+α﹣60°）＝50°，∴α﹣60°＝50°，∴α＝110°；③要使OD＝AD，需∠OAD＝∠AOD．∵∠AOD＝360°﹣110°﹣60°﹣α＝190°﹣α，∠OAD=180°-(α-60°)2=120∴190°﹣α＝120°-α解得α＝140°．综上所述：当α的度数为125°或110°或140°时，△AOD是等腰三角形．【总结提升】本题以“空间与图形”中的核心知识（如等边三角形的性质、全等三角形的性质与证明、直角三角形的判定、多边形内角和等）为载体，内容由浅入深，层层递进．试题中几何演绎推理的难度适宜，蕴含着丰富的思想方法（如运动变化、数形结合、分类讨论、方程思想等），能较好地考查学生的推理、探究及解决问题的能力．10．（2021春•漳州期中）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（1，0），以线段OA为边在第四象限内作等边三角形AOB，点C为x轴正半轴上一动点（OC＞1），连接BC，以线段BC为边在第四象限内作等边三角形CBD，直线DA交y轴于点E．（1）求证：OC＝AD．（2）∠CAD的度数是60°；（3）当点C运动到什么位置时，以A，E，C为顶点的三角形是等腰三角形？【思路引领】（1）先根据等边三角形的性质得∠OBA＝∠CBD＝60°，OB＝BA，BC＝BD，则∠OBC＝∠ABD，然后可根据“SAS”可判定△OBC≌△ABD，由全等三角形的判定与性质可得出结论；（2）由△