电能系统第3章

电能系统基础东南大学电气工程系第三章电力系统稳态分析

3.1概述

3.2简单电力线路的分析和计算

3.3

电力网潮流计算模型

3.4电力网潮流计算方程式

3.5牛顿拉夫逊法

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算

3.7类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法

3.８配电网潮流计算的特点

东南大学电气工程系3.1概述1.电力系统稳态分析的目的：电力系统稳态：指系统正常的、相对静止的运行状态。潮流计算是根据给定的网络结构和运行条件，通过电压、功率平衡方程，求出整个网络的运行状态，包括各母线的电压、网络中的功率分布以及功率损耗等。

东南大学电气工程系3.1概述电力系统中进行电力系统潮流计算的目的在于：确定电力系统的运行方式；检查系统中的各元件是否过压或过载；为电力系统继电保护的整定提供依据；为电力系统的稳定计算提供初值；为电力系统规划和经济运行提供分析的基础。电力系统的潮流计算是电力系统中一项最基本的计算，其既有一定的独立的实际意义，又是研究其它问题的基础。

东南大学电气工程系3.1概述

电力系统稳态中的运行变量与时间无关，描述其特性的是代数方程。2.

潮流计算：潮流计算的数学模型：

东南大学电气工程系3.2简单电力线路的分析和计算3.2.1电压降落、功率损耗

1.电压降落电压降落是指线路始端与末端电压的相量差。

东南大学电气工程系3.2.1电压降落，功率损耗（１）

电压降落：

东南大学电气工程系电压降落的计算以为参考向量，已知、：

东南大学电气工程系电压降落的计算始端电压：电压降落的纵分量：

电压降落的横分量：

东南大学电气工程系电压降落的计算始端电压幅值：始末端电压相位差：

东南大学电气工程系电压降落的计算

以为参考向量，已知、：

东南大学电气工程系电压降落的计算电压降落的纵分量：电压降落的横分量：

东南大学电气工程系电压降落的计算则末端电压的幅值：

始末端电压的相位差为：

电压降落的计算元件两端的电压幅值差主要由纵分量决定，而电压相角差主要由横分量决定公式中电压和功率量应为同一侧的值公式既适用于采用三相复功率、线电压的三相交流电路电压降落的有名值计算，也适用于单相复功率、相电压的单相交流电路有名值计算，还适用于标幺值表示的单相或三相交流电路电压降落计算

东南大学电气工程系

电压降落的计算线路较短时两端电压相角差一般不大，可近似认为

东南大学电气工程系

高压输电网X＞＞R

东南大学电气工程系交流电力线路功率传输与线路两端电压关系：1）在纯电感等值电路中，电压幅值差是由传输无功功率产生；电压相角差是由传输有功功率产生。2）一般情况下，线路无功功率传输主要影响电压幅值，有功功率传输主要影响电压功角。3）有功功率总是从电压相位超前端流向电压相角滞后端；感性无功功率总是从电压幅值较高端流向电压幅值较低端。

东南大学电气工程系电压损耗、电压偏差1）电压降落：2）电压损耗：3）电压偏差：

电压损耗(%)：

始端电压偏差(%)末端电压偏差(%)

东南大学电气工程系线路中的功率损耗计算2.线路中功率损耗计算

东南大学电气工程系线路中的功率损耗计算1）线路末端导纳支路上的功率损耗：

东南大学电气工程系线路中的功率损耗计算2）线路阻抗中的功率损耗：

东南大学电气工程系线路中的功率损耗计算

东南大学电气工程系线路中的功率损耗计算3）线路始端导纳支路上的损耗:

线路中的功率损耗计算交流电力线路功率传输与功率损耗无功功率在电力线路中传输也产生有功功率损耗，同等大小的无功功率和有功功率在电力线路中传输产生的有功功率损耗相同电网无功功率损耗由等值电抗中消耗的无功功率和对地等值电纳消耗的无功功率（充电功率）两部分构成

东南大学电气工程系

超高压线路在轻载时导致充电功率大于线路的输送无功功率，此时若始端电压保持正常水平，末端电压则高于正常电压水平，可能会引起末端连接的设备绝缘的损坏

东南大学电气工程系

东南大学电气工程系变压器中的功率损耗

3.变压器中的功率损耗变压器等效电路：

东南大学电气工程系变压器中的功率损耗

阻抗上的功率损耗：

东南大学电气工程系变压器中的功率损耗导纳上的功率损耗

:

变压器的有功损耗

东南大学电气工程系设U1=U2=UN

变压器的无功损耗设U1=U2=UN

东南大学电气工程系纯感性无功功率

东南大学电气工程系3.2.2简单输电系统的潮流计算（图）

东南大学电气工程系3.2.2简单输电系统的潮流计算设：已知始端发电厂母线电压和负荷功率、，则潮流计算方法为：1.假设全网运行在额定电压下，计算各段功率损耗及电源功率。2.用始端电压和计算出的电源功率，计算各段的电压降落。3.利用计算出的各点电压，重新按步骤１计算各阻抗、导纳支路上功率损耗，以求得较准确的发电机电源功率。

东南大学电气工程系3.2.2简单输电系统的潮流计算（１）1.假设全网运行在额定电压下，计算各段功率损耗及电源功率１）变压器T2

上损耗得节点4的等效负荷：

东南大学电气工程系3.2.2简单输电系统的潮流计算（２）2）计算线路的功率损耗线路末端导纳支路上的功率损耗：

节点4运算负荷：

东南大学电气工程系3.2.2简单输电系统的潮流计算（３）线路阻抗上的功率损耗：

线路始端导纳支路损耗:

线路始端功率：

东南大学电气工程系3.2.2简单输电系统的潮流计算（４）3）计算变压器的功率损耗

节点3的等效负荷：

东南大学电气工程系3.2.2简单输电系统的潮流计算（５）4）计算线路L1的功率损耗

线路末端导纳支路上的功率损耗:

节点3运算负荷：

东南大学电气工程系3.2.2简单输电系统的潮流计算（６）

线路阻抗上的功率损耗:

线路始端导纳支路损耗

:

线路始端功率：

东南大学电气工程系3.2.2简单输电系统的潮流计算（７）5）计算变压器的功率损耗

得电源功率为：

东南大学电气工程系3.2.2简单输电系统的潮流计算（８）2.用始端电压和计算出的电源功率，计算各段的电压降落：以始端电压为参考电压。1）计算变压器上的电压降落

东南大学电气工程系3.2.2简单输电系统的潮流计算（9）

东南大学电气工程系3.2.2简单输电系统的潮流计算（10）

2）计算线路上的电压降落:

东南大学电气工程系3.2.2简单输电系统的潮流计算（11）3）计算变压器上的电压降落：

负荷b侧电压为：

东南大学电气工程系3.2.2简单输电系统的潮流计算（12）4）计算线路上的电压降落

东南大学电气工程系3.2.2简单输电系统的潮流计算（13）5）计算变压器上的电压降落

负荷ａ侧的电压为：

东南大学电气工程系3.2.2简单输电系统的潮流计算（14）

3.利用计算出的各点电压，重新按步骤１计算各阻抗、导纳支路上功率损耗，以求得较准确的发电机电源功率。

东南大学电气工程系环形网络的潮流计算（图）

东南大学电气工程系环形网络的潮流计算（1）1.确定功率流向和功率分点：选回路方向如图所示，列出回路方程设全网电压为额定电压

东南大学电气工程系环形网络的潮流计算（2）同理，选回路方向为逆时针方向，可得不计各段功率损耗，计算各段功率，由功率流动方向确定功率分点。

东南大学电气工程系环形网络的潮流计算（3）功率分点：功率从两侧流入的点为功率分点，分为有功功率分点和无功功率分点。若有功功率分点和无功功率分点为同一点，则该点为网络电压最低点。若有功功率分点和无功功率分点不为同一点，则一般无功功率分点为网络电压最低点。

东南大学电气工程系环形网络的潮流计算（4）环形网络的潮流计算:1)确定功率流向和功率分点，将环网从电压最低点解开，使之成为两个开式网络；

2）设全网电压为额定电压，从电压最低点开始，沿两个方向向电源点推算出功率损耗，得到近似功率分布；

3）从电源处出发，利用已知电源电压和得到的功率沿功率流向逐点求出电压；

东南大学电气工程系双端供电网络潮流计算（1）环形网络可看成是两端电源电压相等的特殊情况两端供电网络电流电压方程

东南大学电气工程系双端供电网络潮流计算（2）设全网电压为额定电压

东南大学电气工程系3.2.3电网的电能损耗（１）电网的电能损耗：式中

——最大损耗时间。

与Tmax和功率因数cosφ有关

东南大学电气工程系3.2.3电网的电能损耗（２）线路的总电能损耗:

东南大学电气工程系3.2.3电网的电能损耗（3）

3.3

电力网潮流计算模型

3.3.1电力网等效电路

电力网图：

3.3.1电力网等效电路（图）等效网络：

3.3.1电力网等效电路（１）

1）计算节点注入功率：节点注入复功率是由此节点的所有电源功率和所有负荷功率复数求和所得到的

注入功率以流入网络为正，流出为负。

上图中：

3.3.1电力网等效电路（２）

1）将接在同一节点的所有对地导纳支路合并成一个支路。

3.3.1电力网等效电路（３）

3.3.1电力网等效电路（４）

3）为方便计算和解决环形网络变压器变比不匹配，造成参数难以归算的问题，对变压器采用非标准变比的变压器等效电路----

型等效电路。

3.3.2电力网的数学模型（１）n个节点的节点电压方程：

节点注入电流列向量:节点电压列向量:

导纳矩阵

:

3.3.2电力网的数学模型（２）

展开形式为：

3.3.3节点导纳矩阵（１）

自导纳：在等效网络的第ｉ个节点施加单位电压，其余各节点全部接地时，经节点ｉ注入网络的电流。

3.3.3节点导纳矩阵（２）

互导纳：在ｊ节点施加单位电压，其余节点全接地时，ｉ节点的注入电流。

3.3.3节点导纳矩阵（３）n个节点的电力网络节点导纳矩阵的特点：

阶方阵；

对称矩阵；

复数矩阵；

高度稀疏矩阵；

每一对元素Yij

、Yji是节点ｉ和ｊ间支路导纳的负值；

对角元素Yii为所有连接于节点ｉ的支路导纳之和；

3.3.3节点导纳矩阵（4）网络变化后导纳矩阵的修改1)从原有网络节点i引出一新支路，增加的新节点为j，支路导纳yijn=n+1

Yjj=yij

Yij=Yji=-yij

Yii=Yii+yij

Ykj=Yjk=0(k=1,…,n,k≠i,j)

3.3.3节点导纳矩阵（5）2)从原有网络节点i增加一对地导纳支路，支路导纳yi0n=n

Yii=Yii+yi0

3.3.3节点导纳矩阵（6）3)从原有网络节点i、j间增加一支路，支路导纳yijn=n

Yii=Yii+yij

Yjj=Yjj+yij

Yij=Yij-yij

Yji=Yji-yij

3.3.3节点导纳矩阵（6）4)从原有网络节点i、j间切除一支路，支路导纳yijn=n

Yii=Yii－yij

Yjj=Yjj－yij

Yij=Yij＋yij

Yji=Yji＋yij

3.3.3节点导纳矩阵（6）5）原有网络节点i、j间变压器的变比由k改变为k′

3.3.4节电阻抗矩阵（１）

节点阻抗矩阵：

自阻抗：节点ｉ注入单位电流，其余节点注入电流全为零，即其余节点全部开路时，节点ｉ的电压。

3.3.4节电阻抗矩阵（２）

互阻抗：节点ｉ注入单位电流，网络其余节点注入电流全为零时，节点ｊ的电压。

3.4.1电力网潮流计算功率方程（１）节点注入电流：

节点电压方程：功率方程：

3.4.1电力网潮流计算功率方程（２）

1）节点电压以直角坐标表示的功率方程：代入功率方程，则：

3.4.1电力网潮流计算功率方程（３）将功率方程的实部、虚部分开表示：

3.4.1电力网潮流计算功率方程（４）

2）节点电压以极坐标表示的功率方程：

代入功率方程：

3.4.1电力网潮流计算功率方程（５）将功率方程的实部、虚部分开表示：

3.4.2

电力网稳态分析的运行变量

负荷功率——不可控变量电源功率——控制变量

节点电压向量——状态变量

3.4.3电力网节点性质的分类PQ节点：已知节点，待求、。

PV节点：已知节点，待求、。

平衡节点：已知节点、，待求

电力网节点编号

任一电力网络共有n个节点，根据节点分类的要求，一定有一个平衡节点，此节点取编号为1，可假设有m-1个PQ节点，节点编号依次为2，3，…m，其余n-m个节点为PV节点，节点编号依次为m+1,m+2,…n。

3.4.4潮流计算的约束条件1.功率约束条件：

2.状态量电压模值的约束条件：

3.电压相位角约束条件：

3.5牛顿拉夫逊法(1)牛顿拉夫逊算法的核心是将非线性方程的求解转换成相应线性修正方程的迭代求解。设一维非线性方程：为满足该方程的真解，是该方程的初始近似解，称为初值。令。称为修正量。已知初值，如果求出，那么就得到了方程的真解：

3.5牛顿拉夫逊法(2)非线性方程可以表示为将在处展为泰勒级数：忽略式中的高次项

3.5牛顿拉夫逊法(3)求得修正量:一次近似解:以作为新的初值代入修正方程，求得新的修正量：二次近似解

3.5牛顿拉夫逊法(4)不断重复上述步骤，至第k次迭代时，求得时，有,从而即是非线性方程的解。非线性方程的收敛标准：给定任意小正数，当方程的近似修正量满足：或称已满足收敛标准，即可用近似解作为真解

3.5牛顿拉夫逊法(5)(a)初值选择适当收敛(b)初值选择不当不收敛

3.5牛顿拉夫逊法(6)设有非线性方程组：多变量方程组的初始值分别为，，…，,修正量分别为,，，…，。

3.5牛顿拉夫逊法(7)按泰勒级数展开并忽略高次项

3.5牛顿拉夫逊法(8)修正方程组写成矩阵形式：

3.5牛顿拉夫逊法(9)修正方程简写成：

J称为函数F的雅可比矩阵，为n×n阶。ΔX由修正量Δx1，Δx2，…，Δxn组成的列向量。

3.5牛顿拉夫逊法(10)一次近似解：

┇K+1次近似解：

3.5牛顿拉夫逊法(11)在第k+1次迭代后用收敛标准检查是否满足要求：

或

i=1,2,…n若满足，则停止迭代，以…，作为方程组的解。否则，继续迭代，直至收敛为止。

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算（1）

3.6.1潮流计算时的修正方程

牛顿拉夫逊潮流计算的核心问题是修正方程式的建立和求解。

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算（2）1．直角坐标形式的功率方程PQ节点给定功率功率不平衡方程为：m-1个PQ节点共有2（m-1）个功率不平衡量方程。

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算（3）PV节点给定节点的注入有功功率和节点电压模值功率方程：电压方程有n-m个PV节点，共有2（n-m）个功率方程和电压方程。

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算（4）平衡节点不参加迭代计算。只是在迭代求出各节点电压模值和电压相角后，根据功率方程直接求出平衡节点注入功率。网络共有2(n-1)个状态变量，有2(n-1)个独立方程

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算（5）修正方程式：

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算（6）式中雅可比矩阵的各个元素可对方程求偏导数得到其中非对角元（i≠j）

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算（7）对角元（i=j）

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算（8）雅可比矩阵具有以下特点：1）雅可比矩阵中元素是节点电压的函数，迭代过程中每次迭代电压都要修正，因此雅可比矩阵中元素每次迭代都改变。2）雅可比矩阵不是对称阵。

3）雅可比矩阵为稀疏阵。因为非对角元,且互导纳Yij=0时，与之对应的非对角元都为零。

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算（9）2．极坐标形式的功率方程

PQ节点功率不平衡方程：

PV节点有功功率不平衡方程：

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算（10）网络共有2(m-1)+n-m=n+m-2个待求量，也有n+m-2个功率方程。极坐标表示形式的牛顿拉夫逊法的修正方程式:

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算（11）修正方程式改写成：

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算（12）简化写成：H为(n-1)×(n-1)阶矩阵，N为(n-1)×(m-1)阶矩阵，K为(m-1)×(n-1)阶矩阵，L为(m-1)×(m-1)阶矩阵。

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算（13）各元素的表达式为：式中

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算（14）3.6.2牛顿拉夫逊法计算潮流的解算过程

1）形成网络的节点导纳矩阵YB。

2）设置各节点电压的初值。

3）将初值代入功率方程式，求出修正方程式中的不平衡量，。

4）用节点电压的初始值求雅可比矩阵中各元素。

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算（15）

5）解修正方程式，求各节点电压的修正量

6）求各节点电压新的初始值，即修正后值或

3.6牛顿拉夫逊法潮流计算（16）

7）检查是否已经收敛，利用事先给定的收敛标准判断收敛与否。或

8）如不收敛，将各节点电压迭代值作为新的初始值自第3）步开始进入下一次迭代。

9）计算收敛后，计算各线路中的功率分布及平衡节点注入功率，PV节点注入无功。

3.7类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法(1)快速解耦潮流（P-Q解耦潮流）计算派生于以极坐标表示的牛顿－拉夫逊法潮流。主要区别在修正方程式和计算步骤。牛顿拉夫逊算法的工作量主要是由于每次迭代都要重新形成雅可比矩阵，重新进行因子表分解，并求解修正方程。当电力网络较大，节点数较多时，雅可比矩阵的阶数很高，使计算机工作量很大，存储量也很大。快速解耦潮流算法就是结合电力网络的特点，对牛顿拉夫逊算法进行合理的简化和改进的一种潮流算法。

3.7类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法(2)快速解耦潮流算法对牛顿拉夫逊法作了两个简化:第一个简化:解耦。

计及电力网络中各元件的电抗一般远大于电阻，即X>>R。以至各节点电压的相角的改变主要影响网络中的有功功率分布（各节点的有关功率注入），各节点电压模值的改变主要影响网络中的无功功率分布（各节点的无功功率注入）。

3.7类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法(3)将牛顿拉夫逊法的修正方程简化。原型为：改写成：

3.7类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法(4)忽略N、K，亦即取N=K=O。从而，快速解耦算法的修正方程式为：将原来n+m-2阶雅可比矩阵J分解成一个n-1阶的H阵和一个m-1阶的L阵

3.7类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法(5)第二个简化：使H，L阵成为常数阵。考虑电网中节点电压间的相角差不大，可以认为

又因为<<,因此：

3.7类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法(6)对非对角元：对对角元：

3.7类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法(7)

对无功注入功率也可进行简化：

可得：

3.7类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法(8)为R<<X情况下，除节点i外其余节点都接地时，由节点i注入的无功功率。因此，Hii

,Lii又进一步简化为：

3.7类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法(9)快速解耦算法的修正方程式展开式为：

3.7类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法(10)

3.7类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法(11)重新整理得：矩阵形式：系数矩阵、由导纳矩阵的虚部组成

3.7类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法(12)快速解耦潮流算法解算步骤如下：

1）形成导纳矩阵，进面求得系数矩阵。并对求出逆阵。

2）设置各节点电压的初值。

3）将初值代入有功功率方程式，求出修正方程式中的有功不平衡量，得到

4）解有功功率电压相角修正方程式，求各节点电压相角的修正量。

5）求各节点电压相角新的初值，即修正后值。

3.7类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法(13)6）将初值代入无功功率方程式，求出修正方程式中的无功不平衡量。7）解无功功率电压幅值修正方程式，求各节点电压模值的修正量。8）求各节点电压模值新的初值，即修正后值。

3.7类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法(14)9）检查是否已经收敛。利用事先给定的收敛标准判断收敛与否。

或10）如不收敛，将各节点电压迭代值作为新的初始值自第三步开始进入下一次迭代。11）计算收敛后，计算各线路中的功率分布及平衡节点注入功率，PV节点注入无功。

3.7类牛顿拉夫逊的快速解耦潮流算法(15)

与牛顿拉夫逊法相比，快速解耦潮流算法的修正方程用两个常数阵、代替原来变化的高阶的雅可比矩阵J，不需每次迭代后修改；可以进行P，Q解耦计算；系数矩阵、为对称阵。因此可以提高计算速度，降低