电子工程数学方法-复变函数论绪论及第1章

电子工程数学方法任课教师：陈其科联系方式：

E_mail：qkchen@

办公电话：61830311总学时:

48课时（3学分）教材：梁昆淼，《数学物理方程》（第四版）成绩构成：课堂测验(4次)40%+课程设计10%+平时（出勤，作业）10%+期末考试40%两点期望：

1、按时出勤，请假须有请假条(上课前有效)；课堂测验不定期不预先通知，缺勤1次，直接从总分减10%(请假另计)；

2、自己完成作业，并按时提交；电子科技大学微波工程系电子工程数学方法3（一）课程性质

本课程是一门学科拓展课。其任务是在高等数学的基础上学习在电磁场、信号系统、微波技术及天线中涉及到的复变函数、偏微分方程及其求解方法。（二）课程目标

通过本课程的学习使学生理解和掌握复变函数理论的基本概念、性质和应用；了解定解问题的分类，理解和掌握波动方程、拉氏方程、传导方程的分离变量法、掌握行波方法和格林函数法。课程性质和目标第一部分复变函数论（学时：24学时）5

复变函数论是数学中一个基本的分支学科；研究对象：变量为复数的函数；

主要任务：研究复变函数之间的相互依赖关系，具体地就是复数域上的微积分；应用领域：求解物理学上复杂场分布问题，信号与系统中时-频域变换分析等。复数：实数和虚数的总称。复变函数内容及意义6

复数是十六世纪人们在解代数方程时引进的。为使负数开方有意义，需要再一次扩大数系，使实数域扩大到复数域。但在十八世纪以前，由于对复数的概念及性质了解得不清楚，用它们进行计算又得到一些矛盾，所以，在历史上长时期人们把复数看作不能接受的“虚数”。到十八世纪，J.D’Alembert(1717-1783)与L.Euler(1707-1783)等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，澄清了复数的概念，并且应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题，复数才被人们广泛承认接受，复变函数论才能顺利建立和发展。复变函数论发展历程7

复变函数的理论基础是十九世纪奠定的。

A.L.Cauchy（1789-1866)和K.Weierstrass(1815-1897)分别应用积分和级数研究复变函数，G.F.B.Riemann(1826-1866)研究复变函数的映射性质。他们是这一时期的三位代表人物。经过他们的巨大努力，复变函数形成了非常系统的理论，且渗透到了数学的许多分支，同时，它在热力学、流体力学和电磁学等方面也得到了很多的应用。二十世纪以来，复变函数已被广泛地应用在理论物理、弹性理论和天体力学等方面，与数学中其它分支的联系也日益密切。复变函数论发展历程8复变函数的路径积分方法复变函数核心内容9

复变函数中许多概念、理论、和方法是实变函数在复数域内的推广和发展，它们之间有许多相似之处，但又有不同之处。在学习中要善于比较、区别、特别要注意复数域上特有的那些性质与结果。学习方法101.2复变函数1.3复变函数的导数1.4解析函数§1.1复数与复数运算§1.5单值函数与多值函数第一章复变函数11对于任意两个实数x、y，称为复数。其中：x称为复数的实部，

y称为复数的虚部，

,称为虚单位。（一）复数的概念§1.1复数与复数运算1、复数定义

全体复数在引入复数运算法则后，构成复数域。在复数域中，复数没有大小的概念。注：12

复数几何意义：实部与虚部可与平面坐标内的点建立一一对应关系，所有复数表征的点构成复平面。2、复数的模与幅角复数的模:复数的辐角:复平面复数的三角表示：§1.1复数与复数运算（一）复数的概念注：131）当z=0时，幅角无意义；其中，满足注：关于复数幅角的几点说明：2）根据三角函数周期性，一个复数有无限多个幅角或的幅角称为主幅角，记做：§1.1复数与复数运算（一）复数的概念2、复数的模与幅角143、复数的指数表示欧拉公式：则：—复数的指数表示3）2）4）§1.1复数与复数运算注：1）（一）复数的概念15共轭复数：4、复数的共轭§1.1复数与复数运算注：（一）复数的概念16（二）复数的运算1、复数的加减法1）2）§1.1复数与复数运算注：172、复数的乘法利用复数指数形式进行乘法运算比较简单指数式：§1.1复数与复数运算（二）复数的运算注：183、复数的除法指数式：注：利用复数指数形式进行除法运算比较简单§1.1复数与复数运算（二）复数的运算191）2）3）§1.1复数与复数运算（二）复数的运算注：4)复数的运算满足交换律、结合律、分配律。20例：若，求w。§1.1复数与复数运算解：故的主幅角有n个，即对应有n个值：它们在以坐标原点为中心，半径为的圆周上均匀分布——多值函数。21例：讨论式子在复平面上的意义解：为圆上各点。令§1.1复数与复数运算22例：求方程sinz=2解：设§1.1复数与复数运算23或或（续上例）§1.1复数与复数运算24思考题在复平面上的意义？§1.1复数与复数运算25实变函数复习：

实变函数中关于函数的定义：§1.2复变函数

设X、Y是两个非空实数集合，f为X到Y的一个映射，则称f为定义在数集X上的函数，记做：其中x称为自变量，y称为因变量，X称为函数f的定义域。26（一）区域的概念由确定的平面点集，称为定点z0的

邻域：

内点：若z0及其邻域全含于点集E内，称z0为点集E的内点

外点：若z0及其邻域不含于点集E内，称z0为点集E的外点1、几个基本定义§1.2复变函数

边界点:若z0及其邻域既有含于E内，又有不含于E内的点，称z0为点集E的边界点。

邻域。27内点边界点外点（一）区域的概念§1.2复变函数282、区域A）全由内点组成B）具连通性：点集中任何两点都可以用一条折线连接，且折线上的点属于该点集。

复变函数的宗量z在复平面上的满足下述条件的定义域（点集），称为区域：闭区域：

区域B连同它的边界称为闭区域，表示为表示以原点为圆心半径为1的闭区域（一）区域的概念§1.2复变函数如：293、区域连通性的分类

设D为平面区域,如果D内任一闭曲线所围成的部分都属于D,则称D为平面单连通区域,否则称为复连通区域.复连通区域单连通区域DD（一）区域的概念§1.2复变函数30

若复数平面中存在的点集E，对于E的每一个点（复数），均按照某种规律，有一个或多个复数值与之对应，则称为的复变函数。§1.2复变函数（二）复变函数的定义z称为w的宗量，E称为函数定义域其中：记做：二元实函数注：一个复变函数，包含两个二元实函数。31（三）初等复变函数例

将初等实变函数自变量x变成复变量z，即构成初等复变函数。几个常见初等复变函数定义式：§1.2复变函数指数函数：三角函数：双曲函数：对数函数：指数函数：32常见初等复变函数的周期特性：（三）初等复变函数例§1.2复变函数33（一）复变函数的极限与连续性回顾：实变函数极限的定义§1.3复变函数的导数34（一）复变函数的极限与连续性

设w=f(z)在z0点的某邻域

有定义，对于任意

>0，若存在>0，使得时，有则称w0为z→z0时极限，记为1)z在全平面，z→z0的方式是任意的1、复变函数的极限2)w0是复数.3)若f(z)在处有极限,其极限是唯一的注：§1.3复变函数的导数35若在处连续，则有（一）复变函数的极限与连续性若时，有

，称f(z)在z0点连续2、复变函数的连续性若f(z)在区域D内处处连续，则称f(z)在区域D内连续§1.3复变函数的导数注：36（二）导数定义与求导复习：实变函数导数的定义§1.3复变函数的导数37（二）导数定义与求导设w=f(z)是在z点及其邻域定义的单值函数，如果极限存在，并且与Δz→0的方式无关，则称函数w=f(z)在点z处可导，该极限值称为函数f(z)在点z处的导数，即1、复变函数导数的定义§1.3复变函数的导数38（二）导数定义与求导§1.3复变函数的导数复变函数中的求导公式和法则与实变函数相同。2、复变函数的求导法则39（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数假设A是条件，B是结论（1）由A可以推出B，由B可以推出A，则A是B的充分必要条件(A=B)（2）由A可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的充分不必要条件(A⊆B)（3）由A不可以推出B，由B可以推出A，则A是B的必要不充分条件(B⊆A)（4）由A不可以推出B，由B不可以推出A，则A是B的既不充分也不必要条件(A￠B且B￠A)知识回顾：充要条件定义40（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数实变函数求导：Δx沿实数轴趋近0复变函数求导：Δz沿实平面任一曲线趋近0复变函数可导的要求条件远比实变函数可导严格。注：41（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数1、柯西-黎曼条件（C-R条件）

若函数f(z)在点z可导，则Δz沿实轴(x轴)和虚轴(y轴)趋近于0应相等，即：==沿x轴：沿y轴：柯西-黎曼条件（C-R条件）——必要条件42（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数

柯西-黎曼条件不是复变函数可导的充分条件。例：证明在z=0处满足C.R.条件，但在z=0处不可导。证：满足C.R.条件而令，则随而变，极限不存在。——在z=0处不可导注：43（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数2、复变函数可导的充要条件

函数f(z)在点

z可导的充要条件是：

1）在点z处存在且连续；

2）满足柯西-黎曼条件。证明：44（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数2、复变函数可导的充要条件(续）由C-R条件

该极限为有限值且与Δz->0的方式无关——可导。45（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数3、复变函数导数的计算公式461）可导函数的实部与虚部有密切的联系。当函数可导时，仅由其实部或虚部即可求得导数。（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数2）利用该条件可以判断函数是否可导。注：3）复变函数导数求解步骤：I)判别u(x,y)，v(x,y)偏导数的连续性II)验证C-R条件III)由实部或虚部求导数：3、复变函数导数的计算公式（续）47（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数4、极坐标系中的柯西-黎曼条件

复数的极坐标表示应用广泛，极坐标系中的柯西-黎曼条件也有应用价值。48（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数4、极坐标系中的柯西-黎曼条件（续）49例：判定函数平面上何处可导？（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数解：由柯西-黎曼条件：

可知：在曲线上函数可导。50（一）解析函数及其性质§1.4解析函数1、解析函数的定义若w=f(z)在z0点及其邻域上处处可导，称f(z)在点z0解析若w=f(z)是在区域

B上任意点可导，称f(z)在区域B

解析1）在某个区域上，函数可导与解析是等价的。注：2）函数f(z)在区域B内解析的充要条件是：

a）在区域B内可导且连续；

b）满足柯西-黎曼条件。3）某区域内解析函数在该区域必有任意阶导数51例：判定函数在z平面上何处解析？（三）复变函数可导的充要条件§1.3复变函数的导数解：函数在曲线上可导。在z平面内处处不解析。52例：证明：f(z)=ex(cosy+isiny)在复平面上解析，且f’(z)=f(z)。证：在复平面上均一阶偏导连续且满足C.R.条件——解析（一）解析函数及其性质§1.4解析函数53定义1：在某区域上有连续二阶偏导数，且满足拉普拉斯方程的函数，称为调和函数。（一）解析函数及其性质§1.4解析函数2、解析函数的性质由C.R.条件前一式对x

求导，后式对y

求导，相加同理共轭调和函数定义2：若两调和函数分别为同一复变函数的实部和虚部，则称为共轭调和函数。54（一）解析函数及其性质§1.4解析函数性质一：若函数在区域B上解析，则为区域B上的共轭调和函数。2、解析函数的性质（续）性质二：若函数在区域B上解析，则是相互正交的两组曲线.证：55（二）解析函数的确定§1.4解析函数

问题：若只给定解析函数的实部u(x,y)或虚部v(x,y)，如何确定完整的解析函数？方法：具体步骤：设已知u(x,y)，求v(x,y)全微分式利用C.R.条件，求其共轭调和函数v(x,y)或u(x,y)。56（二）解析函数的确定§1.4解析函数求解方法：方法一：曲线积分法（全微分的积分与路经无关）方法二：凑全微分显式法方法三：不定积分法57例：已知解析函数实部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：故u为调和函数（二）解析函数的确定§1.4解析函数方法一、曲线积分法58例：已知解析函数实部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：（二）解析函数的确定§1.4解析函数方法二、凑全微分显式法59例：已知解析函数实部u(x,y)=x2-y2，求v(x,y)。解：（二）解析函数的确定§1.4解析函数方法三、不定积分法对第二式对y积分，视x为参数，则有：60例：已知解析函数f(z)实部,求v(x,y)解：化为极坐标求解（二）解析函数的确定§1.4解析函数61§1.5单值函数与多值函数单值函数：复数平面上点集E中的每一个点,均按照某种映射关系，与一个复数值对应，单值复变函数。多值函数：复数平面上点集E中的每一个点,均按照某种映射关系，与多个复数值对应，单值复变函数。62§1.5单值函数与多值函数（一）常见初等单值函数1、幂函数

当n是正整数或0时在复平面上解析。2、多项式函数在复平面上解析.3、有理函数在复平面上除使Q(z)=0的点外解析63§1.5单值函数与多值函数（一）常见初等单值函数4、指数函数(ⅰ)ez≠0,因为|ez|=|ex·eiy|=ex>0.(ⅱ)当z=x(y=0)时，与实指数函数的定义一致.(ⅲ)ez1·ez2=ez1+z2.(ⅳ)w=ez在复平面上解析,且(ⅴ)64由欧拉公式:由此可得正弦函数、余弦函数:（一）常见初等单值函数§1.5单值函数与多值函数5、正、余弦函数有:65（一）初等单值函数§1.5单值函数与多值函数性质1:在复平面上解析,且性质2：sinz是奇函数,cosz是偶函数,它们遵从三角公式性质3：sinz及cosz以为周期.正弦函数、余弦函数性质：66性质4：sinz=0必须且只须cosz=0必须且只须（一）初等单值函数§1.5单值函数与多值函数正弦函数、余弦函数性质（续）：性质5：在复数范围内不再能断定

通过sinz,cosz我们可以依照三角函数关系定义正切、余切、正割、余割.67（二）初等多值函数§1.5单值函数与多值函数根式函数、对数函数等均为多值函数。1、根式函数即：多值函数68造成根式函数多值的原因：（二）初等多值函数§1.5单值函数与多值函数考察z的连续变化：(1)z从给定点z0

出发，对应的值w从w0出发；z环绕原点(z=0)转一圈回到原处，辐角变为φ0+2π，而w由w0变为w1，即w从一个单值分支变到另一个单值分支；继续沿逆时针方向绕z=0转一圈，z再次回到原处，辐角变为φ0+4π，而w由w1

变为w0。如路径未包围原点(z=0),则w始终在同一单值分支中变化，不会变化到另一分支z的辐角的多值性，即692、几个概念定义：设函数f(z)在区域D内有定义,且对D内任意不同的两点z1及z2都有f(z1)≠f(z2)，则称函数f(z)在D内是单叶的，并且称区域D为f(z)的单叶性区域。（二）初等多值函数§1.5单值函数与多值函数例如：有两个单叶性区域：

单值分支（单叶区域）703)所有值域分支合起来覆盖整个w平面（值域平面）。（二）初等多值函数§1.5单值函数与多值函数2)单值分支间互不交迭。注：1)自变量z幅角变化2π，对应一个单值分值；2、几个概念

单值分支（单叶区域）71（二）初等多值函数§1.5单值函数与多值函数

如果让z沿闭曲线C绕原点转一周回到z，则z的辐角就从θ变成θ±2π

(其中“+”号对应于逆时针绕行，“-

”

号对应于顺时针绕行)，函数值也就从w1变成w2.

如果z绕其它点转一周，而所沿曲线不包围原点，则z的辐角不变，因而函数值也不变．

可见原点具有特殊地位，这样的点称为多值函数的支点．函数只有一个有限支点z=0．另一个支点为z=∞.2、几个概念

支点72（二）初等多值函数§1.5单值函数与多值函数支点特性:

当z绕任意包围它的路径一周并回到原处时,函数值不复原，多值函数值由一个分支变到另一个分支，具有这种性质的点称为多值函数的支点。

若z绕支点n周后，函数值w复原，则称该支点为n-1阶支点。注：2、几个概念

支点73例：的割缝：其支点为z=0，z=∞（二）初等多值函数§1.5单值函数与多值函数

从z=0出发，沿x轴正方向作一割缝至z=∞。此时，z无论在平面上怎样变化都不可能绕z=0或z=∞转一圈，则辐角的变化范围在2π之内，由此可知，w的值必在一个单值分支之内。

从原点O起到点∞任意引一条射线将z平面割破，该射线称为割线。在割破了的平面上，可认为z在连续变化的过程中不能跨越割缝，即幅角该变量

argz<2

，此时函数值将只在一个单叶区域内，可视作单值函数来研究。2、几个概念

割线74（二）初等多值函数§1.5单值函数与多值函数

中，z的第一圈和第二圈分别在“不同