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文档简介
2024届河北省五个一联盟数学高三上期末学业质量监测试题考生请注意:1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内,不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后,需将答案写在试卷指定的括号内,第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.已知正方体的棱长为,,,分别是棱,,的中点,给出下列四个命题:①;②直线与直线所成角为;③过,,三点的平面截该正方体所得的截面为六边形;④三棱锥的体积为.其中,正确命题的个数为()A. B. C. D.2.设全集U=R,集合,则()A.{x|-1<x<4} B.{x|-4<x<1} C.{x|-1≤x≤4} D.{x|-4≤x≤1}3.若函数有且只有4个不同的零点,则实数的取值范围是()A. B. C. D.4.已知分别为圆与的直径,则的取值范围为()A. B. C. D.5.定义在R上的函数,,若在区间上为增函数,且存在,使得.则下列不等式不一定成立的是()A. B.C. D.6.设函数在上可导,其导函数为,若函数在处取得极大值,则函数的图象可能是()A. B.C. D.7.如图是国家统计局于2020年1月9日发布的2018年12月到2019年12月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图.(注:同比是指本期与同期作对比;环比是指本期与上期作对比.如:2019年2月与2018年2月相比较称同比,2019年2月与2019年1月相比较称环比)根据该折线图,下列结论错误的是()A.2019年12月份,全国居民消费价格环比持平B.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格环比均上涨C.2018年12月至2019年12月全国居民消费价格同比均上涨D.2018年11月的全国居民消费价格高于2017年12月的全国居民消费价格8.已知整数满足,记点的坐标为,则点满足的概率为()A. B. C. D.9.已知函数的图象向左平移个单位后得到函数的图象,则的最小值为()A. B. C. D.10.设,,,则,,三数的大小关系是A. B.C. D.11.已知椭圆(a>b>0)与双曲线(a>0,b>0)的焦点相同,则双曲线渐近线方程为()A. B.C. D.12.如图所示的程序框图,若输入,,则输出的结果是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.在回归分析的问题中,我们可以通过对数变换把非线性回归方程,()转化为线性回归方程,即两边取对数,令,得到.受其启发,可求得函数()的值域是_________.14.设向量,,且,则_________.15.如图,某地一天从时的温度变化曲线近似满足函数,则这段曲线的函数解析式为______________.16.有以下四个命题:①在中,的充要条件是;②函数在区间上存在零点的充要条件是;③对于函数,若,则必不是奇函数;④函数与的图象关于直线对称.其中正确命题的序号为______.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)如图,在中,已知,,,为线段的中点,是由绕直线旋转而成,记二面角的大小为.(1)当平面平面时,求的值;(2)当时,求二面角的余弦值.18.(12分)联合国粮农组织对某地区最近10年的粮食需求量部分统计数据如下表:年份20102012201420162018需求量(万吨)236246257276286(1)由所给数据可知,年需求量与年份之间具有线性相关关系,我们以“年份—2014”为横坐标,“需求量”为纵坐标,请完成如下数据处理表格:年份—20140需求量—2570(2)根据回归直线方程分析,2020年联合国粮农组织计划向该地区投放粮食300万吨,问是否能够满足该地区的粮食需求?参考公式:对于一组数据,,…,,其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为:,.19.(12分)选修4-5:不等式选讲已知函数的最大值为3,其中.(1)求的值;(2)若,,,求证:20.(12分)已知x∈R,设,,记函数.(1)求函数取最小值时x的取值范围;(2)设△ABC的角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若,,求△ABC的面积S的最大值.21.(12分)已知函数(1)解不等式;(2)若函数,若对于任意的,都存在,使得成立,求实数的取值范围.22.(10分)已知椭圆的左、右焦点分别为,离心率为,为椭圆上一动点(异于左右顶点),面积的最大值为.(1)求椭圆的方程;(2)若直线与椭圆相交于点两点,问轴上是否存在点,使得是以为直角顶点的等腰直角三角形?若存在,求点的坐标;若不存在,请说明理由.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
画出几何体的图形,然后转化判断四个命题的真假即可.【详解】如图;连接相关点的线段,为的中点,连接,因为是中点,可知,,可知平面,即可证明,所以①正确;直线与直线所成角就是直线与直线所成角为;正确;过,,三点的平面截该正方体所得的截面为五边形;如图:是五边形.所以③不正确;如图:三棱锥的体积为:由条件易知F是GM中点,所以,而,.所以三棱锥的体积为,④正确;故选:.【点睛】本题考查命题的真假的判断与应用,涉及空间几何体的体积,直线与平面的位置关系的应用,平面的基本性质,是中档题.2、C【解析】
解一元二次不等式求得集合,由此求得【详解】由,解得或.因为或,所以.故选:C【点睛】本小题主要考查一元二次不等式的解法,考查集合补集的概念和运算,属于基础题.3、B【解析】
由是偶函数,则只需在上有且只有两个零点即可.【详解】解:显然是偶函数所以只需时,有且只有2个零点即可令,则令,递减,且递增,且时,有且只有2个零点,只需故选:B【点睛】考查函数性质的应用以及根据零点个数确定参数的取值范围,基础题.4、A【解析】
由题先画出基本图形,结合向量加法和点乘运算化简可得,结合的范围即可求解【详解】如图,其中,所以.故选:A【点睛】本题考查向量的线性运算在几何中的应用,数形结合思想,属于中档题5、D【解析】
根据题意判断出函数的单调性,从而根据单调性对选项逐个判断即可.【详解】由条件可得函数关于直线对称;在,上单调递增,且在时使得;又,,所以选项成立;,比离对称轴远,可得,选项成立;,,可知比离对称轴远,选项成立;,符号不定,,无法比较大小,不一定成立.故选:.【点睛】本题考查了函数的基本性质及其应用,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.6、B【解析】
由题意首先确定导函数的符号,然后结合题意确定函数在区间和处函数的特征即可确定函数图像.【详解】函数在上可导,其导函数为,且函数在处取得极大值,当时,;当时,;当时,.时,,时,,当或时,;当时,.故选:【点睛】根据函数取得极大值,判断导函数在极值点附近左侧为正,右侧为负,由正负情况讨论图像可能成立的选项,是判断图像问题常见方法,有一定难度.7、D【解析】
先对图表数据的分析处理,再结简单的合情推理一一检验即可【详解】由折线图易知A、C正确;2019年3月份及6月份的全国居民消费价格环比是负的,所以B错误;设2018年12月份,2018年11月份,2017年12月份的全国居民消费价格分别为,由题意可知,,,则有,所以D正确.故选:D【点睛】此题考查了对图表数据的分析处理能力及进行简单的合情推理,属于中档题.8、D【解析】
列出所有圆内的整数点共有37个,满足条件的有7个,相除得到概率.【详解】因为是整数,所以所有满足条件的点是位于圆(含边界)内的整数点,满足条件的整数点有共37个,满足的整数点有7个,则所求概率为.故选:.【点睛】本题考查了古典概率的计算,意在考查学生的应用能力.9、A【解析】
首先求得平移后的函数,再根据求的最小值.【详解】根据题意,的图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数,所以,所以.又,所以的最小值为.故选:A【点睛】本题考查三角函数的图象变换,诱导公式,意在考查平移变换,属于基础题型.10、C【解析】
利用对数函数,指数函数以及正弦函数的性质和计算公式,将a,b,c与,比较即可.【详解】由,,,所以有.选C.【点睛】本题考查对数值,指数值和正弦值大小的比较,是基础题,解题时选择合适的中间值比较是关键,注意合理地进行等价转化.11、A【解析】
由题意可得,即,代入双曲线的渐近线方程可得答案.【详解】依题意椭圆与双曲线即的焦点相同,可得:,即,∴,可得,双曲线的渐近线方程为:,故选:A.【点睛】本题考查椭圆和双曲线的方程和性质,考查渐近线方程的求法,考查方程思想和运算能力,属于基础题.12、B【解析】
列举出循环的每一步,可得出输出结果.【详解】,,不成立,,;不成立,,;不成立,,;成立,输出的值为.故选:B.【点睛】本题考查利用程序框图计算输出结果,一般要将算法的每一步列举出来,考查计算能力,属于基础题.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
转化()为,即得解.【详解】由题意:().故答案为:【点睛】本题考查类比法求函数的值域,考查了学生逻辑推理,转化划归,数学运算的能力,属于中档题.14、【解析】
根据向量的数量积的计算,以及向量的平方,简单计算,可得结果.【详解】由题可知:且由所以故答案为:【点睛】本题考查向量的坐标计算,主要考查计算,属基础题.15、,【解析】
根据图象得出该函数的最大值和最小值,可得,,结合图象求得该函数的最小正周期,可得出,再将点代入函数解析式,求出的值,即可求得该函数的解析式.【详解】由图象可知,,,,,从题图中可以看出,从时是函数的半个周期,则,.又,,得,取,所以,.故答案为:,.【点睛】本题考查由图象求函数解析式,考查计算能力,属于中等题.16、①【解析】
由三角形的正弦定理和边角关系可判断①;由零点存在定理和二次函数的图象可判断②;由,结合奇函数的定义,可判断③;由函数图象对称的特点可判断④.【详解】解:①在中,,故①正确;②函数在区间上存在零点,比如在存在零点,但是,故②错误;③对于函数,若,满足,但可能为奇函数,故③错误;④函数与的图象,可令,即,即有和的图象关于直线对称,即对称,故④错误.故答案为:①.【点睛】本题主要考查函数的零点存在定理和对称性、奇偶性的判断,考查判断能力和推理能力,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1);(2).【解析】
(1)平面平面,建立坐标系,根据法向量互相垂直求得;(2)求两个平面的法向量的夹角.【详解】(1)如图,以为原点,在平面内垂直于的直线为轴所在的直线分别为轴,轴,建立空间直角坐标系,则,设为平面的一个法向量,由得,取,则因为平面的一个法向量为由平面平面,得所以即.(2)设二面角的大小为,当平面的一个法向量为,综上,二面角的余弦值为.【点睛】本题考查用空间向量求平面间的夹角,平面与平面垂直的判定,二面角的平面角及求法,难度一般.18、(1)见解析;(2)能够满足.【解析】
(1)根据表中数据,结合以“年份—2014”为横坐标,“需求量”为纵坐标的要求即可完成表格;(2)根据表中及所给公式可求得线性回归方程,由线性回归方程预测2020年的粮食需求量,即可作出判断.【详解】(1)由所给数据和已知条件,对数据处理表格如下:年份—2014024需求量—25701929(2)由题意可知,变量与之间具有线性相关关系,由(1)中表格可得,,,,.由上述计算结果可知,所求回归直线方程为,利用回归直线方程,可预测2020年的粮食需求量为:(万吨),因为,故能够满足该地区的粮食需求.【点睛】本题考查了线性回归直线的求法及预测应用,属于基础题.19、(1)(2)见解析【解析】
(1)分三种情况去绝对值,求出最大值与已知最大值相等列式可解得;(2)将所证不等式转化为2ab≥1,再构造函数利用导数判断单调性求出最小值可证.【详解】(1)∵,∴.∴当时,取得最大值.∴.(2)由(Ⅰ),得,.∵,当且仅当时等号成立,∴.令,.则在上单调递减.∴.∴当时,.∴.【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法,属中档题.本题主要考查了绝对值不等式的求解,以及不等式的恒成立问题,其中解答中根据绝对值的定义,合理去掉绝对值号,及合理转化恒成立问题是解答本题的关键,着重考查分析问题和解答问题的能力,以及转化思想的应用.20、(1);(2)【解析】
(1)先根据向量的数量积的运算,以及二倍角公式和两角和的正弦公式化简得到f(x)=,再根据正弦函数的性质即可求出答案;(2)先求出C的大小,再根据余弦定理和基本不等式,即可求出,根据三角形的面积公式即可求出答案.【详解】(1).令,k∈Z,即时,,取最小值,所以,所求的取值集合是;(2)由,得,因为,所以
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