本科毕业论文-矩阵思想的形成与发展

琼州学院本科毕业论文矩阵思想的形成与发展摘要矩阵形式解方程组在中国古代数学著作《九章算术》中已相当成熟，但这部著作并没有建立起独立的矩阵理论，而仅把矩阵看作一种排列形式来解决实际问题.从18世纪末到19世纪中叶，这种排列形式在求解线性方程组和行列形式来解决实际问题，本文通过对矩阵理论发展过程中的众多数学家工作的考察，揭示了矩阵思想从萌芽\早期发展到成熟以及进一步完善的全过程.关键词：矩阵西尔维斯特凯莱矩阵思想矩阵理论ABSTRACTTheTotalprobabilityformulaandbayesianformulaareimportantformulaintheprobabilitytheory,canplayaveryimportantroleinprobabilitycalculate.thistextcarriesoncarefulanalysistotheTotalprobabilityformula,explainitsuseandsuitprobabilitymodelthroughexample;Inordertoresolvearealityproblem,thistextcarriesonseveralpopularizationtoTotalprobabilityformula,throughexample,PopulartheTotalprobabilityformulaandbayesianformulaareextensiverthanordinarytheTotalprobabilityformulaandbayesianformulaonrealityapplication.Usingtheprobabilityandthebayesianformulaandtheirpromotion.Knowaboutclearlythatthemutualinfluencebetweenthesequenceofeventsinacompletesetproperlyandevents.Andunderstandthetwoprobabilityforlifeandproductionprovidesvaluableinformation.Keywords：Exhaustiveevents;Completeprobabilityformula;prove;Popularize;bayesianformula;application.致谢16目录前言 1页全概率公式的应用及其推广 2页2.1完备事件组 2页2.2全概率公式 2页2.3全概率公式的应用 2页2.3.1全概率公式在摸球模型中的应用 2页2.3.2全概率公式在实际比赛中的应用 3页2.3.3全概率公式在医疗诊断中的应用 3页2.4全概率公式的推广 4页2.4.1全概率公式的推广定理1及其应用 4页2.4.2全概率公式的推广定理2及其应用 4页2.4.3全概率公式的推广定理3及其应用 5页2.4.4全概率公式的推广定理4及其应用 6页第三章贝叶斯公式的应用及其推广 8页3.1贝叶斯公式以及它与全概率公式的联系 8页3.2贝叶斯公式的应用 8页3.2.1贝叶斯公式在工厂产品检查中的应用 8页3.2.2贝叶斯公式在医疗诊断中的应用 9页3.2.3贝叶斯公式在统计决策中的应用 9页3.3贝叶斯公式的推广 11页3.3.1贝叶斯公式的推广定理1 11页3.3.2贝叶斯公式的推广定理1的应用 11页全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 13页4.1全概率公式与贝叶斯公式的综合应用 13页第五章小结 14页参考文献 15页致谢 16页第一章矩阵思想的萌芽历史悠久，早在公元一世纪中国的《九章算术》就已经用到类似于矩阵的名词，《九章算术》方程术中线性联立方程组的普遍乘直除算法，用算筹将系数和常数项排列成一个长方阵，这就是矩阵最早雏形，魏晋时期的数学家刘徽又在《九章算术》中进一步完善，给出了完整的演算程序及刘徽演算程序，矩阵演变的筹算过程就是现今矩阵的行初等变换，现金矩阵变换中的一些性质在方程术及刘徽注中都可追溯到理论渊源，矩阵在中国古代的萌芽，蕴含了丰富的矩阵算法与程序化等思想，矩阵概念产生并发展于19世纪的欧洲，欧洲的社会环境与文化背景为矩阵的早期发展提供了适宜的舞台，一大批矩阵理论的奠基者做了大量的工作，是矩阵从零散的知识发展为系统完善的理论体系，为矩阵理论的形成与发展做出了重要的贡献.第二章矩阵思想的早期孕育2.1矩阵思想的早期孕育《九章算术》中的解线性方程组是用矩阵的雏形来解决问题，没有建立起独立完善的矩阵理论，从18世纪中叶开始，矩阵的这种阵列形式在不同的领域中应用日益广泛，行列式、代数性等理论的发展为其提供了发展的条件，矩阵的思想得到了进一步的孕育与形成，矩阵早期的一些重要概念及思想，是独立与矩阵理论自身，从不同领域及思想的研究发展而来，并最终包含在矩阵理论之中.2.2二次性理论研究中孕育的矩阵思想18世纪中期，数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题，即二次型的化简，在这一问题的研究中，数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和结论.1748年，瑞士数学家欧拉再见三个变数的二次型化为标准型时隐含地给出了特征方程的概念，他在化三个变数的二次型到它们的主轴上去的著作隐含地出现特征方程的概念.三个变数的二次型在当时通常写成，也就是现在的其系数矩阵为，特征方程为＝0，满足这个方程的值称为特征根，由这些值能得到主轴的长度.1773年，法国数学家高斯，在《算术研究》中，将欧拉与拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广，给出了两个线性变换的复合，而这个复合的新变换其系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积，另外，高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念，在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念.1801年高斯在《算术研究》中将瑞士数学家欧拉、拉格朗日的二次型理论进行了系统的推广.过程如下：一整数n如果表示成整数a\b\x\y的形式称为用型表出.如果设，令则F变换成一个新的形式其中,的系数依赖于F的系数和变换本身.高斯指出如果通过另一个变换变成，那么这两个变换的复合就是一个把F变成的新的变换这个新的变换的系数矩阵是原来的两个变换的系数矩阵的乘积.这实际上给出了两个线性变换的复合，而这个复合的新变换的系数矩阵是原来两个变换的系数矩阵的乘积.随后，在第六部分，高斯又研究了三元二次型的一个类似的计算过程，这实际上给出了33矩阵相乘的法则.在这里实质上已孕育了矩阵的乘法思想.高斯尽管把变换的系数写成矩阵阵列的形式，甚至用单个的字母S指代一个特殊的变换，但是没有明确指出这种复合的思想就是乘法.1826年，柯西在《微积分在几何中的应用教程》中讨论了二次型束的特征根使束的行列式为零的情况，证明了当其中一个二次姓对变数的所有非零实数值是正定的时，束的特征根全为实数.从18世纪中期到19世纪初，数学家们在研究二次型的过程中涉及到大量的线性变换，得到了许多重要概念和结论.由于二次型和线性变换均可以使用矩阵来表示，所以这些概念和结论就可以自然而然的移植到矩阵理论之中.因此二次性理论是矩阵思想得以孕育的重要源泉之一.2、行列式计算中孕育的矩阵思想“从逻辑上来说，矩阵的概念应先于行列式的概念，但在历史上却正好相反”.18世纪中叶，数学家们开始用行列式的法则.解线性方程组，在大量关于行列式的计算中用到矩阵的一些基本性质，1815年，柯西在一篇关于行列式理论的基础性论文中用缩写的记号（a1,n）代表被其称之为“对称组”的矩阵.另外，在柯西有关行列式的工作中，还涉及到正定矩阵|对阵矩阵以及相似变换等问题，在相似行列式的研究中，可惜证明了相似变换有相同的特征根.1827年，德国数学家雅可比得出结论“斜对阵矩阵的秩是偶数”.1843年，德国数学家艾森斯坦用明确的符号ST来表示两个变换S和T的复合，并在1844年的一篇论文中针对这种变换的复合写道：“顺便地，在它的基础上可以建立一个算法，其中包括把乘除法以及乘幂的一般运算规则应用到两个线方程组的符号方程上.正确的符号方程总是可以得到，它思考的中心问题是因子的顺序，即方程组复合的顺序往往不可以改变.”很明显，爱森斯坦这里所说的变换的一般运算规则实际上就是矩阵的运算法则，并指出矩阵运算不符合交换律.由此看出，矩阵的概念还没有明确给出，在行列式的计算中，矩阵作为一种工具就已经开始自由地使用了.但那时的矩阵仅作为行列式的排列形式，在行列式的计算中遵循了矩阵的运算法则，因此伴随线性方程组的求解而产生的行列式理论是矩阵思想的另一个重要源泉.3、微分方程研究中孕育的矩阵思想18世纪，物理问题促进了微分方程的研究，微分方程成为一门独立的学科.18世纪中期，微分方程的求解成为微分方程课题的主要研究目标，在求解的过程中孕育了大量的矩阵思想.1743－1758年，法国数学家达朗贝尔在研究二阶微分方程组是引入了矩阵的特征值和特征向量.1762－1765年，拉格朗日在关于线性微分方程的著作中明确地出现了特征方程|特征根的概念，1772年，法国数学家拉普拉斯在同一领域的著作中易出现了特征方程的概念.1815年，法国数学家柯西在研究微分方程问题是证明了所有对角矩阵的特征向量（至少在不等的情况下）都是实的，得出矩阵可以通过正交变换而对角化，并于1829－1830年间第一次证明了实对称矩阵的特征根是实数，其中孕育了对称矩阵、特征方程、正交变换等矩阵的一些基本概念.1840年，特征方程的术语第一次出现在柯西的文章《分析与数学物理演习》中.第三章矩阵理论的创立二、矩阵理论的创立4.1西尔维斯特的矩阵思想詹姆斯.约瑟夫.西尔维斯特出生于英国伦敦的一个犹太人家庭.1829年西尔维斯特进入埋设在利物浦的皇家学会学校学习,他学习努力,成绩突出.1831年10月西尔维斯特进入内殿法学协会,并于1850年取得律师资格,在这期间他和同时进入林肯法律学会的凯莱建立起了甚好的友谊.1878年西尔维斯特在巴尔的摩创办了美国历史上第一个数学杂志－《美国数学杂志》，并为这本杂志写了30篇论文，对美国大学的数学研究有很大的影响，推动了美国纯数学的发展.西尔维斯特一生致力于纯数学的研究，他和凯莱.哈密顿等人一起开创了自牛顿一来英国纯粹数学的繁荣局面，西尔维斯特在代数方面做出了重要贡献，在不同的领域里孕育了丰富的矩阵思想.西尔维斯特引进了有关矩阵的许多数学名词，给出了矩阵的一些重要概念与结论.1850年，西尔维斯特在研究方程的个数与未知量的个数不相同的线性方程组时，由于无法使用行列式，所以引入了“矩阵”－一词来表示“一项有m行n列元素组成的矩阵行列”，这是矩阵一词的最早使用，1851年，西尔维斯特在研究二次曲线和二次曲面切触和相交时，需要考虑二次曲线和二次曲面束的分类，他的分类方法引进了初等因子、不等因子的概念，西尔维斯特还证明了初等因子与不变因子的结论：如果|A+B|的任一阶的全部子式有一个公共因子+,则当A和B经过一个线性变换同时变换以后，这个因子仍将是同阶子式组的公共因子.如果全部i阶子式有因子(+),(i+h)阶子式将包含因子(+),对每个i,i阶子式的最大公因子中所出现的各线性因子的方幂是的或任何一般行列式A的初等因子.对每个i,被所除的商称为的不变因子.也是在1851年,西尔维斯特对于矩阵的等价得出结论:如果矩阵A与B等阶,那么B的i行子式的行列式的每一个最大公因子与A的i行子式的每一个最大公因子是相等的.西尔维斯特得出了与矩阵有关的著名定理.1852年,西尔维斯特对于矩阵的合同发现著名的“惯性定律”：“对角矩阵G=与H=合同，则g>0的个数与h>0的个数相同.”雅可比于1857年重新发现了该结论.在研究二次曲线和二次曲面切触和相交时，需要考虑二次曲线和二次曲面束写成的形式，这里他考察了行列式.的行列式的元素是的多项式，西尔维斯特证明了“如果的任意阶的全部子式有一个公共因子，则当A和B经过一个线性变换同时变换以后，这个因子仍将是同阶子式组的公共因子.”“如果全部i阶子式有因子，阶子式将包含因子.对每个i，i阶子式的最大公因子中所出现的各线性因子的方幂是的或任何一般行列式A的初等因子.对每个i，被所除的商称为的不变因子.”西尔维斯特在矩阵思想的形成与发展中,特别是矩阵的早期发展中作了重大贡献,他的工作不仅体现在对矩阵理论内容上的发展,即从不同领域的研究中发展出来的有关矩阵的概念与结论,而且还有其更深刻的一面,一方面他的工作使得当时比较零散的矩阵知识趋于系统化|理论化为凯莱创立矩阵理论提供了有利条件,另一方面,西尔维斯特的行列式和矩阵思想,为代数不变量理论的创立奠定了重要基础.2、凯莱的矩阵思想凯莱出生于英国的萨里郡里士满,1839年入剑桥大学三一学院学习,期间他广泛阅读高斯\拉格朗日等数学大师的著作,利用了大量的时间研究数学,在数学上的成绩远远超出了其他人,1842年,以剑桥大学数学荣誉学位考试一等的身份毕业,获得了史密斯金考试的第一名,被选为三一学院的研究员和助教.1846年,进入林肯法律协会学习并于1849年成为律师,期间他和西尔维斯特开始了长期的友谊与合作.1883年,凯莱被任命为英国科学促进会主席.凯莱是英国纯数学的近代学派带头人,一生发表了影响深渊的数学理论数千篇,他的数学论文几乎涉及纯粹数学的所有领域,收集在《椭圆函数专论》一书.在矩阵术语创用以前，凯莱对于矩阵的有关概念及其性质就有所研究，1843年，凯莱即以研究三阶以上高阶矩阵的行列式理论.1846年，凯莱定义了转置矩阵、对阵矩阵、斜对称矩阵等概念，由于这时没有给出矩阵名词，及其确切定义，因此有关矩阵得知是零散地渗透于行列式等理论之中.1855年，凯莱注意到用矩阵形式表示线性方程组以及线性变换非常方便，因而引进矩阵以简化记号.并且他注意到在线性方程组中使用矩阵式非常方便的.因而引进矩阵以简化记号.它使用矩阵形式来表示方程组，凯莱“对矩阵的发展全然是从行列式的概念而来，或是作为表达一个变换的方便而来的”，这使得矩阵脱离行列式与线性变换而成为一个独立的数学概念.1858年，凯莱发表了重要文章《矩阵论的研究报告》，系统地阐述了矩阵的基本理论，在该文中，他用单个的字母表示矩阵，定义了零矩阵、单位矩阵等特殊矩阵，定义了两个矩阵相等、相加:以及数乘矩阵、指出了矩阵加法的可交换性与可结合型、数与矩阵的数乘等运算和算律.在该文中，凯莱从两个变换的复合给出了两个矩阵乘积的定义，由变换与的出新变换这个新变换的系数矩阵是变换与的系数矩阵的乘积.并且他用新的简化记号表示两个矩阵的乘积，即另一方面，如果改变两个变换与相乘的顺序，则，这个新变换的稀疏矩阵就是变换与的系数矩阵的乘积，即，由此得出矩阵乘法一般不满足交换律.凯莱还定义了两个矩阵的乘积，乘积中元素是左边因子的第i行元素和右边因子的第j列元素乘积之和，并着重强调，矩阵乘法是可结合的.利用一般的代数运算和矩阵运算的相似性得出矩阵的一些结论，他把方程组的解用矩阵的逆来表示给出“当时逆矩阵的概念就没有了”，即当行列式为零时矩阵不可逆，并把这一结论称为“当时矩阵是不定的”.文章中凯莱还用矩阵的简化记法推出了方阵的特征方程和特征根的重要结论：“每一个矩阵都满足它的特征方程”，这是“矩阵理论中最重要的理论之一”.凯莱对于二、三阶矩阵的情况给出证明，并且说明没有必要去验证一般的矩阵，由于爱尔兰数学家哈密顿的四元数理论涉及到的一个线性变换满足他的特征方程，所以该结论被称为“凯莱－哈密顿定理”.凯莱的这一结论遵循矩阵乘法的特殊规则以及不满足交换律的特征，具有四元素理论所不具备的将复数当作矩阵看待的思想，为进一步将矩阵论与超出复数相联系来研究超复数提供的新工具.凯莱的《矩阵论的研究报告》的公开发表标志着矩阵理论作为一个独立数学分支的诞生，作为矩阵理论的创造者，凯莱在矩阵理论的创立与发展中做了开创性的工作，他是第一个把矩阵作为独立的概念提出来，并作为独立的理论加以研究的数学家.从矩阵概念的引入、相关概念的定义、运算的定性与求法到矩阵的一些重要结论的建立，凯莱关于这个课题发表了一系列研究成果，使得矩阵从零散的知识发展为系统完善的理论体系.3、西尔维斯特与凯莱矩阵思想的来源分析西尔维斯特在矩阵理论的早期发展中作了重要贡献，他引进了有关矩阵的许多数学名词，给出了矩阵的一些重要概念与结论，得出了与矩阵有关的若干著名定理，这些成就为凯莱创立矩阵理论奠定了很好的基础.作为矩阵理论重要奠基人的数学家西尔维斯特，分析其在矩阵理论方面的工作，我们可以得出如下结论：矩阵思想孕育的三条线索：代数性理论的研究，行列式的计算以及微分方程的研究，是西尔维斯特矩阵理论思想来源的三条主要途径.从18世纪到19世纪上半叶，虽然还没有明确提出矩阵的研究，但众多的数学家们在这些问题的研究中都讨论了线性变换这一概念，并用术语“矩形阵列”来代表线性变换的系数矩阵，同时还给出了有关线性的许多概念和大量结论，而且这些概念和结论大都可以直接移植到矩阵理论中，这无疑为西尔维斯特研究矩阵理论提供了充足德素材和研究方法;其次，和同时代数学家们广泛交流研究成果也是西尔维斯特在矩阵理论方面取得突出成就的一个重要因素.西尔维斯特愿意传播自己的思想，愿意交流数学研究的成果，他和德摩根、凯莱、施泰纳、克里斯托弗尔以及克利福德等许多著名数学家都有密切联系，在交流研究成果的同时，西尔维斯特也很自然从其他数学家那里获得许多系的思想方法，这为他的矩阵理论研究和他创用的矩阵一词的广泛使用提供了十分有利的条件.当然，矩阵思想孕育的三条线索也是凯莱矩阵思想的来源，特别是行列式理论和二次理论是凯莱矩阵思想的主要来源.凯莱前期有关矩阵的大部分工作都是渗透在行列式和二次型的研究工作之中；另外，与同时代数学家们的交流，特别是与好友西尔维斯特之间数学研究成果的交流是凯莱矩阵思想的另一个重要源泉.西尔维斯特早期的矩阵工作已经使得当时零散的矩阵知识趋于系统化、理论化，二者之间的学术交流无疑为凯莱创立矩阵理论奠定了良好的基础.时代已经为一个新理论的诞生做好了准备.凯莱真是在这样的时刻出场的它顺应时代的需要、凭借个人的才识、完成了这个新理论成立中的最后也是最关键的一步，虽然开来的《矩阵论的研究报告》是一篇总结性的论文，并没有囊括当时已有的所有的矩阵知识，其中的成果也并非全是他凯莱一人的工作，但他对矩阵的一些基本概念、基本运算、基本性质以及一些重要结论进行了论述，是第一篇有关矩阵研究的专题论文，也是第一篇系统÷全面地介绍矩阵知识的公开发表的著述.单从这一层面上，我们说凯莱是矩阵理论的创立者，他也是当之无愧的.凯莱和西尔维斯特等人一起发展了行列式和矩阵的理论，共同奠定了不变量的理论基础.他们对矩阵理论的贡献，与其个人出众的才华、超强的预见力、勤奋好学坚持不懈的精神以及他们所处的文化背景、前人的思想、数学家团体的内聚力，还有国家重视鼓励学术的政策，都有密不可分的关系.第四章矩阵思想的发展与影响三、矩阵思想的发展与影响1、矩阵思想的发展凯莱创立矩阵理论之后，数学家们并没有停止对矩阵的研究，在19世纪下半叶，许多数学家在不同的数学领域进一步研究和发展着矩阵理论.其中西尔维斯特÷弗罗伯纽斯和约当等就是他们中的重要代表.1884年，西尔维斯特提出了对角矩阵和数量矩阵的概念，并且由矩阵加法定义和乘法定义得出对角矩阵和数量矩阵的加法与乘法运算规则.由此进一步得到“由数量矩阵构成的线性系统，是数环K为具有单位元素的交换环，并且对于中任意矩阵X都有AX=XA，则称A是数量矩阵.”并给出证明.同年，西尔维斯特给出了“零性”的概念和“零性律”：如果A是一个阶矩阵，秩就是A中非零子式的最大阶数，如果A是n阶方阵，把矩阵的阶数与秩的差叫做矩阵的零性.两个（而且可以推广为任意有限数目）矩阵乘积的零性不能比任意因子的零性小，也不能比组成这一乘积的因子的零性之和大.这是矩阵理论中的重要发现，是现代矩阵理论中关于矩阵乘积的秩的一个著名定理.继凯莱在1858年解决了方程中A为2阶和3阶的情况之后，西尔维斯特于1882年研究了和的解的情况.1883年，西尔维斯特建立差值公式第一次试图解释矩阵的解析函数有截然不同的征根.1884年，西尔维斯特几次试图确定矩阵方程在特殊情形下解的个数.同年，西尔维斯特否定了英国数学家克利福德1875年试图证明的结论“每一个与A可换的矩阵是A的多项式”，然后对方程AX=BX进行了研究，给出该方程有非零解的充要条件是A与B有相同的特征根，并指出的解X的每一个特征根都是的根，其中的矩阵都是2阶矩阵.在矩阵论的发展史上，弗罗伯纽斯的贡献是不可磨灭的.他在矩阵的特征方程÷特征根、矩阵的秩、正交矩阵、矩阵方程等方面做了大量的工作.1878年，弗罗伯纽斯引进了西尔维斯特矩阵的行列式因子、不变因子和初等因子等概念，给出了正交矩阵、相似矩阵、合同矩阵等概念，指出了各种不同类型的矩阵的关系，讨论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质.1879年，弗罗伯纽斯引进了矩阵的秩的概念给出了复数域上矩阵不变因子的伴随矩阵、等价的两个斜对称矩阵合同、偶数阶的斜对称矩阵的子式的最大公因式是完全平方数等结论，弗罗伯纽斯于1878年到1880年期间引入了符号矩阵代数，论证了在初等因子观点下的矩阵代数具有的优点.1896年，弗罗伯纽斯给出凯莱－哈密顿定理的第一个一般性证明，得出并证明了关于特征根的一般结论，给出了关于对称矩阵、特征方程、矩阵的秩等方面的大量结论.约当在矩阵理论方面的工作主要在矩阵的标准型方面，1870年，它证明了举证可变到标准型，这也就是我们现在所谓的矩阵的约当标准化问题.2、矩阵理论的影响凯莱创立的矩阵理论，发展到19世纪末已经包含了众多数学家们的思想，也深深影响着数学的许多研究领域以及物理学等其他学科.例如，弗罗伯纽斯引入的符号矩阵代数，论证了在初等因子观点下的矩阵代数具有的优点，创立了我们现代意义下的矩阵理论，在矩阵理论的发展史上具有深远的影响：基灵用初等因子理论作为工具，给出了维尔斯特拉斯理论的集合解释，为克莱因进一步发展李代数结构理论起了基础性的作用；凯莱把超附属当作矩阵看待的思想，将矩阵理论与超复数等线性结合代数联系起来，为进一步研究超复数代数提供了新的工具，等等.另外，矩阵论给出的矩阵乘法的特殊规则以及不满足交换律的特征，在代数不变量理论中成为重要而基本的内容.19世纪末不变量理论同意了数学的很多领域，并通过微分不变量对物理学产生影响，泰特评价矩阵理论的创造是“凯莱正在为未来的一代物理学家锻造武器”.20世纪初，矩阵理论得到了进一步的发展，现在矩阵已由最初作为一种工具而发展成为一门独立的数学分支——矩阵论，而矩阵论又可分为矩阵方程、矩阵分解论和广义逆矩阵论等矩阵的现代理论，矩阵及其理论现已广泛地应用于现代科技的各个领域，在物理学、控制论、机器人理论、生物学、经济学等学科有大岭的应用.矩阵在其他领域中的应用四、矩阵在其他领域中的应用18世纪，数学与力学紧密结合.进入20世纪，随着物理科学家的发展，数学相机应用于相对论、量子理学等方面.从1904年到1910年Hilbert连续在文章中应用矩阵来研究积分方程，然后又将积分方程应用到数学物理问题中.1925年，海森堡的无穷矩阵理论被应用到量子论上，矩阵力学形成.1927年，希尔伯特等人开始用积分方程等分析工具研究量子理论，在抽象希尔伯特空间中研究量子力学特征值等问题.20世纪40年代，由于电子计算机的应用，数学向其他科学领域广泛渗透，.现代数学在向外渗透的过程中，数学的核心领域越来