本科毕业论文-微分方程稳定性理论在再生资源管理与开发中的应用

内蒙古工业大学本科毕业论文引言可再生自然资源（如生物资源等）是自然资源的重要组成部分,是发展经济,改善和提高人们生活质量的重要物质基础.近年来,可再生资源的利用强度不断增大,出现了资源枯竭、再生能力下降等现象.这类资源虽然可以再生,但也不是“取之不尽,用之不竭”的.所以,可再生资源的持续利用问题已成为当前学术界普遍关注的重要研究课题[1,2].但现有研究多偏重于定性分析,对有关最大可持续利用和最大商业利润下的利用策略的研究较少,所以寻求可再生资源的最大可持续利用量问题也就成为资源科学研究中的一个要点.目前,虽然已有这方面线性利用策略的研究,但利用线性理论还不能更深入的研究这方面内容.所以,我们将利用非线性理论来研究可再生资源的管理与开发.非线性科学作为一门崭新的科学,已经被应用到地学、环境科学、大气科学和管理科学等领域中.它的最大特点是能够量化研究事物之间的的关系和机理.只有深刻了解管理对象（要素）之间的内在动力学关系和演化机制,才能实施科学而有效的管理,从而达到最大限度的合理利用可再生资源的目的.由于资源的分布不合理,利用的方式也不同,实际的利用策略往往并不是线性的.所以本文尝试运用非线性理论来研究在人类对可再生自然资源非线性利用条件下的策略问题.第一章微分方程稳定性理论§1.1线性系统与非线性系统[3]1.1.1系统的基本概念动力学研究的是系统如何随时间而变化的.所谓系统,就是指由一些相互联系(或相互作用)的客体组成的集合.这些客体,既可以是自然科学中的一些物质,如气体、液体、固体、化合物、生物的各部分或其整体,也可以是各种社会事物和组织,如各种群体或财政经济结构以及生产力和知识等较抽象的事物.系统的性质或特征是用一些所谓状态变量(statevariables)所表征的,如粒子的坐标和动量,热力学中的温度、压强和体积,化学反应中各化合物的浓度,以及社会现象中的人口和人口密度、生产力和生产资料,股票行情,等等.当这类状态变量随时间变化,也就是系统处于非平衡态时,此时的系统称为动力(或动态)系统(dynamicalsystem).动力学就是研究动力系统中状态变量如何随时间变化(即系统的运动)的一个学科.状态变化的规律既可能表示为连续形式的微分方程或微分积分方程,也可能用关于状态变量的离散方程表示.对于一个由微分方程表示的动力系统,如果方程中不显含时间,又称其为自治的(autonomous)系统;否则,称其为非自治的(nonautonomous)系统.1.1.2线性系统与非线性系统的概述非线性科学[4]的理论研究重要的一步是建立数学模型,通过建模来较逼真地描写客观动力系统.要做到这一点,最为关键的就是关于相互作用的描述,包括系统内部的相互作用、系统与外部的相互作用,以及系统对这些作用的响应和反馈.关于相互作用的描述通常可分为线性和非线性两类.线性描述的就是所谓的线性模式系统,非线性描述的就是所谓的非线性模式系统.线性模式系统对客观动力系统的描写是近似的,往往只适用于描写系统局部和短时的行为,其特点就是数学上的简单和物理上的一目了然.非线性模式系统对客观动力系统的描写是较客观的和全局性的,不仅可以描述全空域还可以描写全时域的行为.其代价就是模式上的复杂带来了数学求解的困难,大部分的非线性模式是无法求出数学上的解析解的.为了解决这个矛盾,稳定性理论及寻找其近似解的各种方法应运而生.在非线性科学诞生之前,人们多用线性模式来近似研究、处理非线性的客观动力系统.在客观世界里,非线性作用和非线性现象是普遍的,而线性作用和线性现象则是非线性作用和非线性现象在极端条件下的特例,是极不普遍的.1.1.3线性和非线性的数学描述如果空间是均匀的（1.1）（1.2）只要是线性（关于或的一次幂）函数,那么系统（1.2）式就是一线性系统.如果是一非线性函数,那么系统（1.2）式就是一非线性系统.如果空间不均匀,即,则（1.3）即个别变化=局地变化+平流项.如果广义速度是不均匀的,那么是一非线性项,所以不管是否为线性函数,系统（1.2）都是一非线性系统.如果广义速度是均匀的,那么是一线性项.当是线性函数时,系统（1.2）式是一线性系统,如果是一非线性函数,系统（1.2）式则是一非线性系统.1.1.4线性系统和非线性系统的特点线性系统具有以下显著特点：均匀性（空间分布均匀、相互作用等权重）;独立性（代数叠加律）;可逆性.所谓的可逆性指的是当,物理规律或结果仅变号而形式、分布不变,即非线性系统具有以下显著特点：非均匀（空间分布、相互作用的方式、效应、结果随时间、地点条件而变）;相干性（各要素丧失其独立性,遵守矢量叠加原理）;不可逆性（空间不均匀所致,各要素的作用和重要性不同）,如生物进化、天气演变、地球自转等演化行为的不可逆性;存在支配与从属、控制与反馈、策动与响应等对立矛盾的两个方面.§1.2稳定性分析理论1.2.1线性扰动方程所谓的定态指的是在一定参数下不随时间变化的态,也就是在相空间里静止不动的点,即满足以下条件的点:定态的物理意义是指相空间里广义相速度为零的点(一个或多个),因为广义速度为零,系统是静止的(所以叫做“定”).上式是一代数方程组,可以容易求出其解:.定态的另一个物理含义则是指,当时系统将达到的态.状态（定态）的稳定性是指系统不随参数或物理量的微小涨落而远离该态.在非线性科学里,由于非线性微分方程的求解的困难,一般是很难求得系统任意时刻的状态.假设系统的初态为某一定态,现给系统一个扰动,,考察系统是否会远离该定态.扰动后的状态为：（1.4）所谓的稳定性分析就是研究时刻后该扰动是否放大或衰减.如果经过充分长的时间后,扰动,系统将回到原来的初态,则称该定态是稳定的.如果扰动不随时间的增大而衰减并并趋于零反而增大,那么经扰动后的状态将随时间的增加而远离初态.此时,我们称该定态是不稳定的.一般我们利用多项式展开法和Taylor展开法求非线性动力系统的某一定态的扰动方程,下面介绍确定非线性动力系统的某一定态的扰动方程的步骤：（1）求系统的定态解,：单变量系统：令 （1.5）或双变量系统：令（1.6）由（1.5）或（1.6）式可求得系统的（由方程的幂次和维数所决定）个定态：或.（2）分别对每一个定态或计算Jacobi矩阵元,并写出对应的Jacobi矩阵和扰动方程.个定态就有个扰动方程.1.2.2平衡态（系统）的稳定性[5]我们知道,在一维、二维（元）情况下,系统的扰动方程都是线性的,即（1.7）（1.8）对于线性微分方程其解为;,（1.9）二维情况：（1.10）所以,线性扰动方程的解的形式是指数形式的.由于,扰动随时间增大;,扰动随时间减少.所以,的正负决定了系统（定态）的稳定与不稳定.而得实、虚数则决定系统定态的物理性质和空间的拓扑结构.现在,我们来讨论如何确定的取值.将扰动方程的解代入扰动方程（1.10）式,利用可得所以,要使扰动为零解的条件是（1.11）即（1.12）其中是单位对角矩阵由（1.11）得（1.13）其中（1.14）（1.12）式的解,即特征方程的特征值：（1.15）我们把（1.12）式叫做定态（系统）的特征方程,而则为特征方程的特征根.定态的稳定性分析的关键就是对取值的讨论.将特征根写为由（1.15）式可以得出以下的稳定性条件判据：如果,扰动得到放大,平衡态是不稳定的;如果,扰动将得到衰减,平衡态是稳定的;如果,而,平衡态是临界稳定的.1.2.3奇点（平衡态）的分类第一类：此时方程（1.15）式的两个根和为同号、不等的实根,这意味着系统将不会出现振荡（即非周期的曲线或直线）地趋近或远离定态,该定态（奇点）叫做结点.如果,两个实根都是大于零的,扰动将随时间增加而放大,解远离平衡点,奇点为不稳定的结点.如果,两个实根都是小于零的,扰动将随时间增加而减小,最终趋于零,解趋于平衡点,奇点为稳定的结点.第二类：此时特征根是两个异号（一正一负）的实根（奇点不稳定）,即（1.15）式的解有两支,一是趋于平衡点,一是远离平衡点.该奇点称为鞍点,此时相空间已分为四个区,系统的演化轨线为马鞍形.鞍点永远是不稳定的.第三类：此时特征值是两个不等的复根,,而且这两个复数根的实部都不为零..此时解的行为时振荡形的,即做不等振幅的周期运动.我们把该奇点称为焦点.如果,实部大于零,扰动随时间增加而放大,解振荡远离平衡点（振幅不断增加）,奇点为不稳定的焦点.如果,实部小于零,扰动随时间增加而减小,解振荡趋近平衡点（振幅不断衰减）,奇点为稳定的焦点.第四类：此时特征值为纯虚数（）,解为周期振荡,奇点为中心点,中心点是临界稳定的.下面总结在已知数学模型的前提下,对非线性动力系统[6]进行数理分析的步骤：求定态,令：解代数方程组;计算Jacobi矩阵元（用定态值代入）;写出特征根方程一元;求解特征根方程的所有解,…;根据特征值的虚实和正负来判断定态的性质和稳定与否;①为纯虚数时,平衡态是中心（系统作周期运动）;②为虚数时,平衡态是焦点（系统作变振幅的周期运动）;③为一正一负的实数时,平衡态是鞍点（系统作马鞍形运动）;④两值同为正或同为负的实数时,平衡态是结点（系统作非周期曲线或直线运动）;对于一维动力系统,为正或负时,平衡态是结点（系统作直线运动）;⑤如果或,平衡态是不稳定的,反之,或,平衡态是稳定的.§1.3分岔理论[7]1.3.1分岔的定义、条件分岔理论是耗散结构理论、突变理论和混沌理论的基础.所有的耗散结构、突变和混沌现象都必须经过分岔.但分岔未必能够出现耗散结构和混沌现象.所以分岔是耗散结构、突变和混沌的必要条件.分岔的定义：由于参数的变化,系统因原平衡态失稳而进入新的平衡态的过程.分岔点的条件分岔点的必要条件分岔点意味着原来的平衡态失稳而分出新的平衡态,所以,分岔点必定是奇点（平衡态）.因此分岔点的必要条件是：一维（元）（1.16）二维（元）（1.17）分岔点的充分条件分岔意味着从一个态分岔出至少两个态或两个状态分支,所以分岔点必定是临界的.换句话说,分岔点是若干个奇点的一个,故要满足临界定态条件,即：从稳定性分析理论可知,对于动力系统如果是奇点条件,那么则是奇点性质判别条件.当时,平衡态是稳定的;当时,平衡态是不稳定的;当时,平衡态将由稳定的变为不稳定的.所以（1.18）是一维动力系统出现分岔的充分条件（临界定态条件）.对于二维情况,由特征根方程可知,如果这两个根的实部在某参数值的一侧为负,在另一侧为正,而在中间则恰好为零,即,则在处有分支存在.所以,其分岔的充分条件为或（1.19）所以,分岔点的充要条件是和（一维）（1.20）和（二维）（1.21）1.3.2一维离散动力系统的分岔离散动力系统也称映射（迭代）动力系统,一维的映射（迭代）动力系统的数学表达式为（1.22）算子叫做操作,是迭代操作,反映了映射机制和迭代机制.算子相当于函数,是系统本身的性质.的形式不同,所描写的离散动力系统就不同,动力系统的行为也就不一样,整个动力系统的行为取决于操作,这一点与连续动力系统的函数相似.对于确定的系统,操作是确定的,只要知道初值,则可逐步迭代求出以后所有各步（次）的值.离散动力系统的不动点离散动力系统的不动点的物理意义类似于连续动力系统的平衡态,都是描写最终（）的状态,但数学上式有区别的.对于离散动力系统任意次迭代后仍然不变的点为不动点.所以,不动点的方程为（1.23）而连续动力系统的平衡态方程是（1.24）例1.1求的不动点.不动点方程为（）检验：将代入,得该不动点实际就是以下两直线（方程）的交点：例1.2求虫口（Logistic）模式的不动点（）.该模式说明下一代虫口与父母数成正比,与环境容量成正比.其不动点方程为不动点为这两个不动点实际就是以下两方程的两个交点：不动点的稳定性离散动力系统不动点的稳定性是由Floquet（夫洛开）乘子为判据的.这里的Floquet乘子类似于连续动力系统的Jacobi矩阵的特征值,作为判据,其性质类似于.（1.25）对于虫口模式,,当时,系统只有一个解.而且（）是稳定的.当,系统有两个解：;.对于：（）不动点不稳定.对于：,（）不动点是稳定的.所以,当参数从变到时,系统发生分岔,分岔点的参数值为,一个稳定的失稳后分岔出一个稳定的.上面我们介绍了虫口模式一个不动点的情况,是否还有其他的不动点？我们知道离散系统的周期解就是不动点,一个不动点叫周期1,其表达式是.二个不动点叫周期2,其表达式是,即描写了连续两次操作：以此类推,个不动点叫周期,其表达式是,即描写了次连续操作.例1.3对于系统,其连续两次操作结果为系统只有一个不动点.但对于Logistic模式,连续二次操作结果为即系统有4个解（不动点）,（1.26）不动点和是原来的两个不动点,而和才是周期2的新解.由于和是周期2的解（不动点）,则有（1.27）（1.27）式说明了,如果第一年虫口是,第二年就是,第三年又是,第四年又是,…….这是典型的双稳态如野生螃蟹今年是大年捕捞的多,明年是小年少捕捞（捕捞的人也少了）,后年又是大年,…….例如,取,则,,即不同年（代）的虫口只在这两个值上下往返跳动：这就是周期2的物理意义.周期的稳定性判据周期的稳定性也满足（1.25）式,但此时（1.28）对于Logistic模式,由周期1的条件可知：除了是个分岔点,也是一个分岔点,即当参数时,原来稳定的将失稳,但分岔出新的两个态和.当（1.29）即当时,和又将失稳,各将分岔出两个（共是4个）新态,该过程是倍分岔.如时,将分岔出当,,不动点和都是稳定的.对于Logistic模式,其参数取值与分岔过程如下：一个态分岔出2个新的稳定态（）;1～2分岔;和各自分岔出2个新的稳定态,2～4分岔;上述的4个态将分岔出8个新的态,4～8分岔.……周期,,次操作：后,由可知共有个态,其中的个态是新的平衡态.例1.4虫口模式：,其中.,有利于虫口繁衍,,不利于虫口繁衍.当,不动点方程为求得不动点对于,稳定对于,不稳定周期1分岔点的参数约束为所以,当,不动点失稳,分岔出新的不动点（周期2）,它们满足：第二章再生资源管理与开发模型的建立§2.1模型建立的前提[8]在人类有限度的收获（捕捞、收割、采集、砍伐等）下,资源一般具有自我恢复能力,即再生能力.渔业资源是一种典型的再生资源,在陆地资源日渐匮乏的21世纪,渔业这一再生资源尤为重要.所以本文将以渔业为例来说明再生资源的管理与开发,将介绍Scheafer资源开发模型和有关的最大经济效益的收获策略等基本理论和方法,这些理论和方法对任意的可再生资源的管理与开发都适用.对再生资源最重要的就是适度开发,不能为了一时的高产去“竭泽而渔”.人类应该在持续稳产的大前提下,才可以追求最高产量或最优的经济效益.所以,资源开发与资源管理是一对矛盾.所谓的开发就是收获或捕捞,对资源或对虫口（如鱼口）的增长来说,这相当于一个阻力或死亡因素.而所谓的管理,就是捕捞策略.其前提就是必须维持稳定的鱼量或资源量,而后再研究如何控制捕捞或使持续产量最大或使捕捞（收获）的经济效益最大[9].产量和经济效益是两个不同的概念,产量高未必经济效益就好,这与收获的代价和市场的价值有关.§2.2Scheafer模型的建立假设在没有捕捞的情况下,鱼（或任意养殖种群）的数量（鱼口）遵守Logistic的虫口模式：（）（2.1）其中,是物种不受环境和资源的限制的固有增长率,是自然资源和环境条件所能容纳的最大虫口数量（密度）.设捕捞强度为,表示特定的捕捞策略,即要求捕鱼者每天只能捕捞一定的数量,该数量决定了出海的渔船数和吨位数;捕捞系数为,表示单位强度下的捕捞率.则单位时间的捕捞率为：.如果假设单位时间的捕捞量与渔场鱼量成正比,则（2.2）为方便起见,（2.2）式取.由Logistic模型（2.1）式和条件（2.2）式可以容易得到在捕捞情况下渔场鱼量满足的动力方程,即Scheafer模型：()（2.3）这是一个一阶二次非线性方程.系统的分岔点的充要条件为即（2.4）（2.4）式的解为所以,系统的分岔条件是,而分岔点为.另一方面,由平衡点（态）条件或可知Scheafer系统（2.3）式有两个平衡点（态）：平衡点的性质和稳定性讨论如下：对于（2.5）即当,为不稳定结点（适度捕捞,系统将离开0而增长）,而当,为稳定结点（过度捕捞,系统始终为0,灭绝了）.对于平衡态,因为（2.6）（2.6）式说明,当（适度捕捞）时,为稳定结点（永远捕捞不完）;而当（过度捕捞）,为不稳定结点（离开平衡态,向灭绝发展）.综合（2.5）和（2.6）式有以下结论：（1）时,是一临界条件,即分岔条件,而分岔点为;（2）时,适度捕捞,鱼口将从不稳定的向稳定的平衡态发展,这时渔场里的鱼,永远捕捞不完.我们可以获得持续的产量：（2.7）而我们如果进行过度捕捞,即时,鱼口将从稳定的向灭绝态发展.事实上Scheafer系统的含时解可以用初等积分法求得（2.8）其中为初始鱼量.当,时,解渐近地趋于解（稳定态）.说明:只要捕捞适度（）,渔场的鱼群总能自行调节到持续生产水平上去,从而获得持续产量.当,时,解渐近地趋于解(稳定态）.注意,此时的,为负数,是不稳定的,即不现实的态.说明:当捕捞过度时（）,渔场鱼量将减至,当然谈不上获得持续产量了,或持续产量.所以过度捕捞只能以逐日减产的形式维持一段时间,直至鱼量为0后而没有任何的捕捞量,系统才达到真正的平衡.第三章模型的分析与结果讨论在第二章里,我们只考虑资源（鱼量）的可否持续发展（捕捞）的问题,而没有考虑捕捞的经济效应[10].如果每次航海只捕捞几斤的鱼,是没有实际意义的,尽管鱼量不会灭绝.这里包含两个问题：一是每日或每月最多可持续捕捞多少;二是每次捕捞既要保证可持续性,又要保证以最少的捕捞费用得到最大的可持续捕捞鱼量.前一问题是关于最大可持续（收获）捕捞量,而后一问题则是关于如何才能做到渔资源在持续捕捞的条件下为人们提供最大收益的经济问题.§3.1最大持续收获量策略下面先解决第一个问题,即最大持续捕鱼（收获）量的策略[11].从数学上来看,最大持续捕鱼（收获）量的策略就是取某一特定的捕捞策略,使可持续产量（稳定的平衡态）,或持续产量为极值（最大捕捞而不灭绝）.即（3.1）将代入,得（3.2）从而求得最大可持续捕捞量（3.3）而渔场的稳定鱼量,即平衡态（3.4）从以上的讨论可知,是得到最大持续捕鱼（收获）量的策略.如果每天捕的鱼量,则为每天的净增长率;如果每月捕的鱼量,则为每月的净增长率.§3.2最大经济效益[12]的收获（捕捞）策略现在我们来讨论第二个问题,即如何才能在持续捕捞（收获）的条件下为人类提供最大的经济效益.众所周知,当今对（鱼类）资源的开发、利用的目的不是追求最大收（捕捞）量,而是最大经济效益.最简单的经济效益模型就是用从捕捞所得到的收入中扣除开支后的利润来衡量.因此,我们简单的假设：单位捕捞强度（如每条出海渔船）的费用为（常数）,鱼的销售为（常数）,那么单位时间的收入和支出分别为（3.5）单位时间的利润为 （3.6）所谓最大的经济收益就是在使鱼量稳定在（3.7）的约束条件下的（3.8）取极（最大）值.令：,有（3.9）比较（3.2）式最大捕捞下的强度可知,在最大经济效益下,捕捞强度减小了.而最大利润下的渔场稳定鱼量为：（3.10）比最大捕捞量下的鱼量（3.3）式增加了.最大利润下渔场单位时间的持续产量为（3.11）较最大捕捞下的持续产量有所减小.在最大经济效益下的最大可持续净收益[13,14]（3.12）或最大可持续净收益=最大利润下渔场单位时间的持续产量价格即与前一模型相比较可以看出,在最大效益原则下捕捞强度和持续产量均有减少,而渔场的鱼量则有所增加.而且所减少或所增加的比例随着捕捞成本的增长（捕得较少）而变大,随着销售价格的增长（价格贵,则多捕一点）而变小,这显然是符合实际情况的.所以,在固定的成本价格体系中以优化持续利润[15]为目标将会起到保护生物种群的作用,而不会刺激人们对资源进行掠夺式开发.结论本文主要介绍了非线性系统稳定性理论和分岔理论,以及它们在再生资源管理与开发中的应用.本文运用非线性理论,建立了可再生资源（以渔业资源为例）二次非线性收获的动力模式.本文通过理论知识的介绍,进一步熟悉了微分方程稳定性理论和分岔理论的知识,在这些知识的基础上,建立了可再生资源管理与应用的模型,通过对模型的分析与讨论,我得到以下结论：为了保证可再生资源的可持续利用,必须控制收获量,采取合理的周期性收获策略,才能避免可再生资源的过度利用,正确处理好经济发展与可再生资源保护之间的关系.由于自己学习的还不够全面,因此,本文只粗浅的讨论了可再生资源的最大持续收获策略和最大经济效益的收获策略.随着现代社会经济的发展和科学技术的进步,在以后的研究中人们肯定还会利用微分方程的稳定性理论,对再生资源的管理与开