2023人教版新教材高中数学必修第一册同步练习-42指数函数的图象和性质

2023人教版新教材高中数学必修第一册

4.2.2指数函数的图象和性质

基础过关练

题组一指数函数的图象特征

1.函数y=-2x与y=2、的图象（）

A.关于x轴对称B.关于y轴对称

C.关于原点对称D,关于直线y=x对称

2.（2021河北衡水武邑中学期中）当a>l时,函数y=a*和y=（a-L）x2的图象只可能

是（）

V愕IT9

JiJLJL£

rr7IVW

ABCD

3.（2020北京丰台期中联考）函数的图象是（

AB

fy4V

-2-io|I2X-2-iO\~

CD

4.（2022北京H■•一学校期中）已知函数丫=或、y=b\y=c\y=d*的大致图象如下图

所示,则下列不等式一定成立的是（）

A.b+d>a+cB.b+d<a+c

C.a+d>b+cD.a+d<b+c

5.(2022山西太原期中)函数f(x)=ai-l(a〉O,aWl)的图象必经过的点是()

A.(1,0)B.(1,-1)

C.(0,0)D.(0,-1)

6.已知函数f(x)=ax(a>0且aWl),g(x)=-(x>0),函数f(x)的图象经过点(2,16).

X

⑴写出函数f(x)的解析式；

(2)在同一个坐标下用描点法作出函数f(x),g(x)的图象,并求出当f(x)<g(16)时,

自变量x的取值范围；

⑶当x>0时，用N(x)表示f(x),g(x)中的最小者,记N(x)=min{f(x),g(x)}(例

如,min{3,9}=3),求函数N(x)的值域.

题组二指数函数的单调性及其应用

313

7.若a=O,b=O,c=(J,则a,b,c的大小关系是()

A.a>b>cB.>ba>c

C.b>c>aD.>cb>a

8.(2020广东珠海期末)已知f(x+l)的定义域是[0,31),则f(2x)的定义域是

()

A.[1,32)B.[-1,30)

C.[0,5)D.(-8,30]

9.(2021山东济宁期中)不等式({J>(0的解集为.

8—2-X2

10.函数y=(1)的单调递增区间为.

11.(2022广东实验中学期中)已知函数f(x)=[g-a)j。“<L在R上单调递增,

则a的取值范围是.

12.(2022北京清华大学附属中学期中)已知函数f(x)=a-2x+b的图象过原点,且

f⑴=1.

(1)求实数a,b的值；

(2)判断并用定义证明函数g(x)=^在区间(0,+8)上的单调性.

题组三指数函数性质的综合应用

13.(2022湖南长沙第一中学期中)函数f(x)=2书在定义域R上是()

A.增函数B.减函数C.奇函数D.偶函数

14.(多选)下列函数中，最小值为2的是()

A.f(X)=X2+2X+3B.晨x)=2*+2一*

C.h(x)=3x+2D.m(x)=2x+1

15.(2020浙江杭州高级中学期末)函数y=(J的单调递增区间为;

此函数是(填“奇函数”“偶函数”或“非奇非偶函数”).

16.已知函数flxha-/是奇函数.

(1)求实数a的值；

⑵求函数f(x)的值域.

17.(2020山东临沂期末素养水平监测)已知f(x)是定义在R上的奇函数，当x>0

时，f(x)=l-2x.

(1)求当x<0时一，f(x)的解析式；

⑵求不等式f(x)〈l的解集.

能力提升练

题组一指数函数的图象及其应用

1.(2021湖北武汉部分重点高中期中)函数f(x)=2'+S的图象大致是()

2.(多选)(2021山东威海期中)设函数f(x)的定义域为R,对于给定的正数k,定义

函数fk(x)=?吗乂若函数f(x)=2RJ()

Ik,f(x)<k.

A.f2(-2)=-4B.f2(x)在(-8,—i)上单调递减

C.fz(x)为偶函数D.f2(x)的最大值为2

题组二指数函数的单调性及其应用

3.若函数y=a(a>0,且a#l)在［1,2］上的最大值与最小值的差为a则a的值

为.

4.若实数x,y满足2020-2020y<2021-202「，则xy(填“>”“<”

或).

5.(2020黑龙江大庆实验中学月考)已知函数f(x)=ba，(其中a,b为常数,a>0,且

aWl)的图象经过A(l,6),B(2,18)两点.若不等式仁?

+Q)X-m^0在x£(-8,1］上恒成立,则实数m的最大值为.

题组三指数函数性质的综合应用

6.(2022河北辛集一中月考)函数f(x)=|^的值域为()

A.(0,1)B.(0,1］C.(0,2)D.(1,2)

7.(多选)(2022广东广州一中期中)已知函数f(x)=a0"+b(a,b£R),则下列结

论正确的有()

A.存在实数a,b使得函数f(x)为奇函数

B.若函数f(x)的图象经过原点,且无限接近于直线y=2,则b=2

C若函数f(x)在区间[0,句上单调递减，则a>0

D.当ae[-1,1]时,若Vx£[-1,1],函数f(x)W1恒成立,则b的取值范围为b<l

8.(2021浙江杭州学军中学期中)已知函数f(x)=x；g(x)=Q)、m,若

Vx,e[-1,3],3x2e[0,2],使得f(X1)Vg(x?)成立,则实数m的取值范围

是.

9.已知函数f(x)=4x-2vl-3,g(x)=x2-4mx-2m(m1),若对于任意XiG[0,1],总存在

x2e[0,1],使得f(x)=g(x2)成立，则实数m的取值范围为.

10.(2022浙江嘉兴期中)已知函数f(x)=匕兽二(a〉0且aWl)是奇函数.

(1)求实数k的值；

⑵若g(x)=a2x+a-2x-2mf(x),当a=2时,g(x)在[0,1]上的最小值为1,求实数m的

值.

答案全解全析

基础过关练

1.C令f(x)=2;则-f(-x)=-2二

・「y=f(x)与y=-f(-x)的图象关于原点对称，

/.y=-2x与y=2'的图象关于原点对称.

故选C.

2.A当a>l时,函数y=a'是增函数,y=(a-1”?的图象开口向上，所以两个函数的

图象只可能是A中图象.故选A.

仗『

•XT<2X,x<0.

因此，当x20时一，y=Q)%的图象与y=Q”的图象相同；当x<。时一,y=Q)%的图象

与y=2'的图象相同，故选D.

4.B如图，作出直线x=l,其与各函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为

故c>d>a>b,所以b+d〈a+c.故选B.

5.A由于指数函数y=a'的图象过定点(0,1),

因此在f(x)=ae-l(a>0,aWl)中，

令x-l=0,则x=l,故f(l)=a°-l=0,

故此函数的图象必经过点(1,0),故选A.

6.解析(l)：f(x)的图象经过点(2,16),

f(2)=a?=16,解得a=±4,又a>0,.，.a=4,f(x)=4，,x£R.

(2)列表:

11

X01

22

1

f(X)124

2

11

X—12

32

1

g(x)321

2

描点作图:

令f(x)〈g(16),得4,弓,即4%4二又y=4*在区间(-8,+8)上单调递增，「.xy,

16

故X的取值范围是{x|x<-2}.

(3)由⑵及题意可得N(x)的图象如下：

由图可知,N(x)的值域为(0,2].

7.C在R上是减函数,

13

••・(»(丁>0=若

•••y=G)”在R上是减函数,

133

MA(丁吗)3

即b>c>a,故选C.

8.C・••f(x+l)的定义域是［0,31),即0W即31,，lWx+l<32,，f(x)的定义域是

［1,32),

•••若f(2')有意义,贝!J1W2<32,

解得0Wx〈5.

9.答案(-|,1)

解析:G)"2'G)4",y=C)”在R上是减函数，

.,.2x2-K4-3x,解得-"x〈L

故不等式的解集为(-1,1)

10.答案［-1,+8)

解析设t=8-2x-x；则y=Q)：易知y=({f在R上单调递减，

又t=8-2Xf2在(-8,—1］上单调递增，在［-1,+8)上单调递减，

所以由y=Q)与t=8-2x-x2复合而成的函数y=C)的单调递增区间为

［-1,+°°).

11.答案［2,3)

解析因为函数f&)=17刃：。L%<L在R上单调递增，

(ax,x>1

,3-a>0,

所以卜>1,解得2Wa<3,

3-a+1<a,

即a的取值范围是［2,3).

12.解析(1)•.•函数f(x)=a♦2x+b的图象过原点，(0)=0,即a+b=0,

XVf(l)=l,.,.2a+b=l,.#.a=l,b=-l.

(2)由⑴可得f(x)=2'T,，g(x)忌谷,

f(X)2X~1

函数8&)=六在区间(0,+8)上是减函数.

J\X)

证明：任取Xi,X2G(0,+8),且Xi<x2,

mil/\11_(2X2-1)-(2X1-1)_2%2-2XI

5

人」g(Xi)-g(X2)-2X1_1~2x2_1(2xi-i)(2X2-i)(2^1-1)(2^2-1)

X2X2X1

V0<x1<x2,2>1,2-2>0,

.*.g(xi)-g(x2)>0,

.*.g(xi)>g(x2),

/.g(x)=泵在区间(0,+8)上是减函数.

f(x)

13.D易知函数f(x)的定义域为R,关于原点对称,又f(-x)=2、*=++2、=f(x),

所以函数f(x)为偶函数.

f(x)=2，+2可看作由函数y=u+2(u>0)与函数u=2x复合所得，

2Xu

其中u=2"是R上的增函数,y=u+2(u〉0)在(0,1)上单调递减,在(1,+8)上单调递

U

增，

所以f(X)在(―,o)上单调递减,在(0,+8)上单调递增.故选D.

14.ABD对于A:f(X)=X2+2X+3=(X+1)2+2^2,当x=T时,等号成立，故A正确;

对于B:g(x)=2x+2^2x+^^2,当且仅当x=0时,等号成立,故B正确；

2人

对于C:h(x)=3*+2,由于3x>0,所以h(x)>2,故C错误；

对于D:m(x)=2叫1220+1=2,当且仅当x=0时，等号成立，故D正确.故选ABD.

15.答案［0,+8);偶函数

解析设u=-1x|+1,则y=Q).

易知u=-|x|+l的单调递减区间为［0,+8),y=C)是R上的减函数，

/八一%+1

...y=Q)的单调递增区间为［0,+8).

易知f(x)的定义域为R,又f(-x)=(，l।=(T1=f(x),

.♦.f(x)是偶函数.

16.解析(1)由题意矢口fQx)+f(x)=a—六+a—京=2a+咨一2=2a+2=0,解得

33"-13X-13X-1

a=-l.经检验,a=-l时,满足题意.

(2)由(1)知f(x)=-1一京=一1+,,

3人一11一3人

易知3x>0且3VI,

当0<3x<l时，0〈1-3<1,<〉2,所以f(x)>l;

X

当3>1时，1-3<0,74H0,所以f(x)<-1.

综上，f(x)的值域是(-8,T)U(I,+8).

17.解析⑴当x>0时,f(x)=l-2x,

当x<0时，-x>0,(-x)=l-2r.

又f(x)是定义在R上的奇函数,

:.f(-X)=-f(x).

Af(x)=-f(-x)=-(1-2x)=2'-l,即x<0时，f(x)=2-*-l.

⑵当x>0时,不等式f(x)G即1-2X1,

.•.2*>0,显然成立;

当x=0时，由当x)是奇函数,得f(0)=0<1,成立;

当x<0时,不等式f(x)<l即2-K1,.-.2X<2,

.,.-l<x<0.

综上可知,不等式f(x)<l的解集为(T,+8).

能力提升练

。f(x)=2，+膏2'+1高，

易知函数的定义域为{x|xWT},当x<-l时,f(x)>l,排除A和B;

当X无限增大时，f(X)无限趋近于2X+1,呈指数增长,排除C,故选D.

-2

2.BC对于选项A:f(-2)=2=4>2,

fz(-2)=4,故选项A错误;

对于选项B:f(x)=2x的图象如图所示,

所以f2(x)的大致图象如图所示.

由图象可知，f2(x)在(―,-1)上单调递减,故选项B正确;

对于选项C:由f2(x)的图象可知，图象关于y轴对称,所以函数f2(x)是偶函数,故

选项C正确；

对于选项D:由fz(x)的图象可知，fz(x)的最小值为2,无最大值,故选项D错误.

故选BC.

13

答案

3或

--

22

解析当a>l时，函数y=a*在［1,2］上单调递增,y的最大值为a,最小值为a,

故有a2-a=p解得a=|或a=0(舍去);

当0<a<l时,函数y=a'在［1,2］上单调递减,y的最大值为a,最小值为a2,

故有a-a2=p解得或a=0(舍去).

综上,a=|或a=|.

4.答案<

解析不等式2020-2020y2解析-202「可化为2020-2解析<

2020-2021

Vf(x)=2020-2021”是R上的增函数，.•.x〈y.

5.答案；

6

解析由已知可得tX6；解得｛"2

VuCL—lo,I。一乙，

则不等式(I)+6)-meo在x£(-8,1］上恒成立，设g(x)=(|)+©)-m,xWl,

显然函数8&)=《)久+0”-111在(-8,1］上单调递减，

g(x)g(1)=|+1-m=1-m,

326

故Z-m20,即mW］

66

实数m的最大值为：.

6

6.Cf(x)=掌上空"=2-1一，

2X+12X+12X+1

V2x>0,.,.2X+1>1.\0<—<1,

)2X+1

.,.-l<--£1-<0,2.,.0<2--£2-<2,

2X+12X+12X+1

...函数f(x)="的值域为(0,2).故选C.

2人+1

7.ABC在选项A中，当a=b=0时,f(x)=0(x£R),此时f(x)为奇函数,故选项A

正确.

在选项B中，易知y=g)%为偶函数,在区间[0,+<-)上为减函数，图象过点(0,1),

IX|

©+b的图象经过原点，且无限接近于直线y=2,

则a=-2,b=2,故选项B正确.

\x\

©为偶函数,在区间[0,+8)上为减函数,故若函数

f(x)=a(|)'+b在区间[0,耳]上单调递减,则a>0,故选项C正确.

在选项D中，当a£(0,1]时,Vx£[T,1],有]+bWf(x)Wa+b,若f(x)Wl在[-1,1]

上恒成立，则a+bWl,即bW-a,而0^1-a<l,故bWO;

当a=0时,f(x)=b，若Vx£[T,1],f(x)W1恒成立，则bWl;

当a£[-1,0)时,VxG[-1,1],有a+bWf(x)带+b,若f(x)W1在[-1,1]上恒成立,

则]+bWl,即而1<1一衿|,故b<L

综上,b的取值范围为bWO.故选项D不正确.故选ABC.

8.答案：,+8)

解析若VX1£[-1,3],3x2G[0,2],使得f(Xl)》g(x2)成立,则f(x)min2g(x)min.

,.,f(x)=x；-lWxW3,.WO,

•••g(x)=(1)X-m在[0,2]上单调递减，

g(x)min=g(2)=0—

因此,解得m2；,

44

故m的取值范围是E，+8).

9.答案[1.|]

解析设f(x)=4'-2"|-3,xe[0,1]的值域为A.

令t=2x,te[1,2],则f(x)=4x-2x+1-3可化为y=t2-2t-3=(t-l)2-4,易知其在

2=_2_

tG[1,2]上单调递增,所以ymax=(2-l)-4=-3,yrain(ll)4=-4,即A=[-4,-3].

设g(x)=x2-4mx-2m(m^l),