高数级数习题课

高数级数理论部分练习10．5．28一．填空1．级数的和为。2．把函数展开成的幂级数到：。3．级数的和为。4．设是以为周期的周期函数，在上的表达式为，则在处的傅里叶级数收敛于。5．幂级数的收敛区间为。6．若幂级数在时收敛，则幂级数在时是否绝对收敛？7．若，则级数收敛，对么？（）8．若在上是以为周期的按段光滑函数，则=9．，当=时收敛。10．级数的部分和数列有界，则级数收敛。（）11．若级数与都发散，则也发散。（）12．若级数发散，则。（）13．若级数收敛，那么它的更序级数一定收敛。（）14．若在上收敛于且每个都在上连续，则也在上连续。（）二．选择题1．下列级数中收敛的是（）（A）（B）（C）（D）。2．若级数收敛，则下列级数中（）收敛。（A）（B）（C）（D）。3．设，则下列级数中和不是1的为（）（A）（B）（C）（D）4．将函数展开成的幂级数得到（）（A）（B）（C）（D）5．下列级数条件收敛的是（）（A）（B）（C）（D）6．（）A、绝对收敛B、条件收敛C、发散D、可收敛也可能发散7．的收敛域为（）A、B、C、D、8．下列级数中条件收敛的是（）A、B、C、D、9．若级数和都发散，则（）A、必发散；B、发散；C、必发散D以上说法都不对10．是级数收敛的。必要条件；B、充分条件；C、充要条件；D、既非充分又非必要。11．下列命题正确的是．若与都发散，则也发散．若收敛，而发散，则必发散．若…且绝对收敛，则必收敛．级数收敛的充分必要条件是它的部分和数列有界．12．下列命题正确的是．(A)绝对收敛级数的更序级数一定收敛．(B)若为条件收敛级数，则一定发散．(C)若发散，则．(D)若收敛，则也收敛．三．计算与证明1．求幂级数的收敛区间及和函数。2．讨论在时的敛散性。3．设的傅里叶级数为，求系数。4．求幂级数的收敛区间与收敛半径。5．求幂级数的收敛区间和收敛半径。6判别级数敛散性。7．求幂级数的收敛区间与和函数。8．求幂级数的收敛区间及和函数。9．求级数的收敛域，并求出它的和函数，由此求出的和。10．将，在上展开成余弦级数，并求出它的和函数。11．确定级数的收敛域，并求和函数。12．求级数在其收敛域中的和函数。13．求级数的收敛半径及和函数14.求的和函数。15．将函数在上展开为正弦级数、余弦级数。16．求幂级数的和函数。参考答案填空1．2.3、04、35、6、绝对收敛7．×8．9、；10．×；11×12×13√14×二．选择1、C2、B3、C4、B5、A6.B；7．B；8.B；9、C；10、A；11．B12．A三．计算与证明1.当时，级数成为发散，所以收敛区间为。。2.当时，,所以级数发散。当时，，所以级数发散。当时，，而在时收敛，所以时收敛。3.。4.，当和时级数收敛，所以收敛区间为。收敛半径为。5.，当时，收敛，当时，发散，所以收敛区间为，收敛半径为。6.因为，且当时，，而收敛，所以收敛。7.，收敛区间为。。8.，而当时，级数都收敛，所以收敛区间为。令=，,则，于是，当x=0时，和函数为0；当x=1时，和函数为1。9．∴收敛域为令10．~11、收敛域为：12.===令， ，则= =13.公比，一般项；……10分14.从而收敛域为设 当时，有15．将函数在上展开为余弦级数。解：要把在上展开为余弦级数，先将延拓成上的偶函数，再延