实际问题与与二次函数

PAGE《实际问题与与二次函数》练习1.某商品的进价为每件40元，售价为每件50元，每个月可卖出210件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于65元）．设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）每件商品的售价定为多少元时，每个月的利润恰为2200元？根据以上结论，请你直接写出售价在什么范围时，每个月的利润不低于2200元？2.（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）当每件商品的售价高于60元时，定价为多少元使得每个月的利润恰为2250元？3.某公司经销一种绿茶，每千克成本为50元，市场调查发现在一段时间内，销售量w（千克）随销售单价x（元/千克）的变化而变化，具体关系式为：w=﹣2x+240．（1）请写出这种绿茶在这段时间内的销售利润y(元)与销售单价x（元/千克）之间的函数关系式．（2）当销售单价x（元/千克）定为多少时能使销售利润最大？最大利润是多少？（3）如果物价部门规定这种绿茶的销售单价不得高于90元/千克，公司想要在这段时间内获得2250元的销售利润，销售单价应定为多少元？

4.施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM为12米．现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系（如图1所示）．（1）求出这条抛物线的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；（2）隧道下的公路是双向行车道(正中间是一条宽1米的隔离带)，其中的一条行车道能否行驶宽2.5米、高5米的特种车辆？请通过计算说明；（3）施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB，使A、D点在抛物线上。B、C点在地面OM线上（如图2所示）．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB、AD、DC的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下.DyDyPxOMABC图25.某汽车城销售某种型号的汽车，每辆进价为25万元，市场调研表明：当销售价为29万元时，平均每周能售出8辆，而当销售价每降低0.5万元时，平均每周能多售出4辆，如果设每辆汽车降价万元，平均每周的销售利润为万元。（1）（2）销售部经理说通过降价促销，可以使每周最大利润突破50万元，他的说法对吗？（3）要使每周的销售利润不低于48万元，那么销售单价应该定在哪个范围内？

6.星光中学课外活动小组准备围建一个矩形生物苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为30米的篱笆围成。已知墙长为18米（如图所示），设这个苗圃园垂直于墙的一边的长为x米。（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及其自变量x的取值范围；（2）垂直于墙的一边的长为多少米时，这个苗圃园的面积最大，并求出这个最大值；（3）当这个苗圃园的面积不小于88平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围。7.如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED=16米，AE=8米，抛物线的顶点C到ED的距离是11米，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．（1）求抛物线的解析式；（2）已知从某时刻开始的40小时内，水面与河底ED的距离h（单位：米）随时间t（单位：时）的变化满足函数关系h=﹣（t﹣19）2+8（0≤t≤40），且当水面到顶点C的距离不大于5米时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？

8.要修建一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根2.25m的水管，在水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为1m处达到最高，高度为3m．（1）建立适当的平面直角坐标系，使水管顶端的坐标为（0，2.25），水柱的最高点的坐标为（1，3），求出此坐标系中抛物形水柱对应的函数关系式（不要求写取值范围）；（2）如图，在水池底面上有一些同心圆轨道，每条轨道上安装排水地漏，相邻轨道之间的宽度为0.3m，最内轨道的半径为m，其上每0.3m的弧长上安装一个地漏，其它轨道上的个数相同，水柱落地处为最外轨道，其上不安装地漏．求当为多少时池中安装的地漏的个数最多？9.某外商李经理按市场价格10元/千克收购了2000千克香菇存放入冷库中．据预测，香菇的市场价格每天每千克将上涨0.5元，但冷库存放这批香菇时每天需要支出各种费用合计340元，而且香菇在冷库中最多保存110天，同时，平均每天有6千克的香菇损坏不能出售．（1）若存放x天后，将这批香菇一次性出售，设这批香菇的销售总金额为y元，试写出y与x之间的函数关系式（并写出自变量x的范围）．（2）李经理想获得利润22500元，需将这批香菇存放多少天后出售？（利润＝销售总金额－收购成本－各种费用）（3）李经理将这批香菇存放多少天后出售可获得最大利润？最大利润是多少？

10.如图1，一座拱桥的轮廓是抛物线型，拱高6m，跨度20m，相邻两支柱间的距离均为5m．（1）如图2，将抛物线放在所给的直角坐标系中，求该抛物线的解析式（不需要写出自变量x的取值范围）；（2）求支柱EF的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道（正中间是一条宽2m的隔离带），其中的一条行车道能否并排行驶宽2m、高3m的三辆汽车（汽车间的间隔忽略不计）？请说明你的理由．11.某小区为了改善居住环境，准备修建一个矩形花园ABCD，为了节约材料并种植不同类花，决定花园一边靠墙，三边用栅栏围住，中间用一段垂直于墙的栅栏隔成两块，已知所用栅栏的总长为60米，墙长为30米（如图），设花园垂直于墙的一边的长为x米。（1）若平行于墙的一边长为y米，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）当x为何值时，这个矩形花园的面积最大？最大值是多少？（栅栏占地面积忽略不计）；（3）当这个花园的面积不小288平方米时，试结合函数图象，直接写出x的取值范围。AABCD30m

12.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元时，每个月可卖出100件；如果每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件．设每件商品的售价为x元（x为正整数），每个月的销售利润为y元．（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围；（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？（3）当售价的范围是多少时，使得每件商品的利润率不超过80%且每个月的利润不低于2250元？13.某跳水运动员进行10米跳台跳水训练时，身体（看成一点）在空中的运动路线是如图所示坐标系下经过原点O的一条抛物线（图中标出的数据为已知条件）.在跳某个规定动作时，正常情况下，该运动员在空中的最高处距水面米，入水处距池边的距离为4米，运动员在距水面高度为5米以前，必须完成规定的翻腾动作，并调整好入水姿势，否则就会出现失误．（1）求这条抛物线的解析式；O（2）在某次试跳中，测得运动员在空中的运动路线是（1）中的抛物线，且运动员在空中完成规定的翻腾动作并调整好入水姿势时，距池边的水平距离为米，问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由．O

14（1）若不进行开发，求5年所获利润的最大值是多少？（2）若按规划实施，求5年所获利润（扣除修路后）的最大值是多少？（3）根据（1）、（2），该方案是否具有实施价值？15.某科技开发公司研制出一种新型的产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元，在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．（1）商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元？（2）设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获得的利润为y元，求y（元）与x（件）之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．（3）该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获得的利润反而减少这一情况．为使商家一次购买的数量越多，公司所获得的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元？（其它销售条件不变）

16.某公司生产的一种健身产品在市场上受到普遍欢迎，每年可在国内、国外市场上全部售完．该公司的年产量为6千件，若在国内市场销售，平均每件产品的利润y1（元）与国内销售量x（千件）的关系为：y1=若在国外销售，平均每件产品的利润y2（元）与国外的销售数量t（千件）的关系为（1）用x的代数式表示t为：t=_________；当0＜x≤4时，y2与x的函数关系为：y2=_________；当_________＜x＜_________时y2=100；（2）求每年该公司销售这种健身产品的总利润w（千元）与国内销售数量x（千件）的函数关系式，并指出x的取值范围；（3）该公司每年国内、国外的销售量各为多少时，可使公司每年的总利润最大？最大值为多少？

1.解：（1）（且为整数）；（2）．，当时，有最大值2402.5．，且为整数，当时，，（元），当时，，（元）当售价定为每件55或56元，每个月的利润最大，最大的月利润是2400元．（3）当时，，解得：．当时，，当时，．当售价定为每件51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51或60元，每个月的利润为2200元．当售价不低于51元且不高于60元且为整数时，每个月的利润不低于2200元（或当售价分别为51，52，53，54，55，56，57，58，59，60元时，每个月的利润不低于2200元）．2.解：（1）当50≤x≤60时，y=（x﹣40）（100+60﹣x）=﹣x2+200x﹣6400；当60＜x≤80时，y=（x﹣40）（100﹣2x+120）=﹣2x2+300x﹣8800；∴y=﹣x2+200x﹣6400（50≤x≤60且x为整数）y=﹣2x2+300x﹣8800（60＜x≤80且x为整数）（2）当50≤x≤60时，y=﹣（x﹣100）2+3600；∵a=﹣1＜0，且x的取值在对称轴的左侧，∴y随x的增大而增大，∴当x=60时，y有最大值2000；当60＜x≤80时，y=﹣2（x﹣75）2+2450；∵a=﹣2＜0，∴当x=75时，y有最大值2450．综上所述每件商品的售价定为75元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是2450元．（3）当60＜x≤80时，y=﹣2（x﹣75）2+2450．当y=2250元时，﹣2（x﹣75）2+2450=2250，解得：x1=65，x2=85；其中，x2=85不符合题意，舍去．∴当每件商品的售价为65元时，每个月的利润恰为2250元．3.解：（1）y=（x﹣50）•w=（x﹣50）•（﹣2x+240）=﹣2x2+340x﹣12000，∴y与x的关系式为：y=﹣2x2+340x﹣12000．）（2）y=﹣2x2+340x﹣12000=﹣2（x﹣85）2+2450，∴当x=85时，y的值最大值是2450．（3）当y=2250时，可得方程﹣2（x﹣85）2+2450=2250解这个方程，得x1=75，x2=95根据题意，x2=95不合题意应舍去∴当销售单价为75元时，可获得销售利润2250元．4.解:∵M（12，0），P（6，6）．∴设这条抛物线的函数解析式为y=a（x-6）2+6，∵抛物线过O（0，0），∴a（0-6）2+6=0，解得a=-，∴这条抛物线的函数解析式为y=-（x-6）2+6，即y=-x2+2x．（2）当x=6-0.5-2.5=3(或x=6+0.5+2.5=9)时y=4.5＜5∴不能行驶宽2.5米、高5米的特种车辆（3）设点A的坐标为（m，-m2+2m），∴OB=m，AB=DC=-m2+2m根据抛物线的轴对称，可得：OB=CM=m，∴BC=12-2m，即AD=12-2m∴L=AB+AD+DC=-m2+2m+12-2m-m2+2m=-m2+2m+12=-（m-3）2+15．∴当m=3，即OB=3米时，三根木杆长度之和L的最大值为15米．5.⑴⑵不对，，故当降价1.5万元时，每周利润最大为50万元，不能突破50万元。⑶当时，，解得（图略）观察图形知，当时，即销售价格在27万元至28万元之间时（含27万、28万元）该汽车城平均每周的利润不低于48万元。6.解：（１）设ｙ＝３０－２ｘ（６≤ｘ＜１５）（２）设矩形苗圃园的面积为Ｓ，则Ｓ=ｘｙ＝ｘ（３０－２ｘ）＝－２ｘ＋３０ｘ∴Ｓ=-２(Ｘ-７．５)＋１１２．５由（１）知，６≤ｘ＜１５∴当ｘ＝７．５时，Ｓ最大值＝１１２．５即当矩形苗圃园垂直于墙的一边的长为７．５米时，这个苗圃园的面积最大，这个最大值为１１２．５．7.解：（1）设抛物线的为y=ax2+11，由题意得B（8，8），∴64a+11=8，解得a=﹣，∴y=﹣x2+11；（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，∴6=﹣（t﹣19）2+8，解得t1=35，t2=3，∴35﹣3=32（小时）．答：需32小时禁止船只通行．8.解：（1）如图，依题意建立平面直角坐标系，∵点（1，3）为抛物形水柱的顶点，∴设抛物线解析式为y=a（x﹣1）2+3，将点（0，2.25）代入，得2.25=a（0﹣1）2+3，解得a=﹣，因此，抛物形水柱对应的函数关系式为：y=﹣（x﹣1）2+3；（2）当y=0时，﹣（x﹣1）2+3=0，解得x1=﹣1，x2=3，根据实际，x=﹣1舍去，所以，x=3，即水柱落地点离池中心3m，设池中安装地漏m个，依题意得m=•，即m=（3r﹣r2）=﹣（r﹣）2+50π，所以，当r=1.5时，池中安装的地漏的个数最多．9.（1）（（2）（3）10.解（1）设抛物线为y=ax2+6，过点B（10，0），∴100a+6=0，a=x2+6（2）对于抛物线，当x=5时，，∴EF=10－m，（3）2×3+1=7，对于抛物线，当x=7时，y=3.06，∵3.06m＞3m答：能并排行驶过宽2m，高3m的三辆汽车11.（1）y=-3x+60(10≤x＜20)（2）S=,当x=10时，S有最大值300平方米；（3）12.解：y=[100﹣2（x﹣60）]（x﹣40）=﹣2x2+300x﹣8800；（60≤x≤110且x为正整数）（2）y=﹣2（x﹣75）2+2450，当x=75时，y有最大值为2450元；（3）当y=2250时，﹣2（x﹣75）2+2450=2250，解得x1=65，x2=85∵a=﹣2＜0，开口向下，当y≥2250时，65≤x≤85∵每件商品的利润率不超过80%，则≤80%，则x≤72则65≤x≤72．13.（1）解：如图所示，在给定的平面直角坐标系中，设最高点为A，入水点为B．∵A点距水面米，跳台支柱10米，∴A点的纵坐标为，∴O（0，0）B（2，-10）．设该抛物线的关系式为，(为常数)过点O（0，0），B（2，-10），且函数的最大值为，则有：eq\b\lc\{(\a\al(c＝0，,4a＋2b＋c＝﹣10，,\f(4ac－b2,4a)＝\f(2,3)．))解得：∴所求抛物线的关系式为．（2）解：试跳会出现失误.∵当x＝时，y＝．此时，运动员距水面的高为10＝＜5，∴试跳会出现失误．14.（1）∵每投入x万元，可获得利润P=﹣（x﹣60）2+41（万元），∴当x=60时，所获利润最大，最大值为41万元，∴若不进行开发，5年所获利润的最大值是：41×5=205（万元）；（2）前两年：0≤x≤50，此时因为P随x的增大而增大，所以x=50时，P值最大，即这两年的获利最大为：2×[﹣（50﹣60）2+41]=80（万元），后三年：设每年获利y，设当地投资额为a，则外地投资额为100﹣a，∴Q=﹣[100﹣（100﹣a）]2+[100﹣（100﹣a）]+160=﹣a2+a+160，∴y=P+Q=[﹣（a﹣60）2+41]+[﹣a2+a+160]=﹣a2+60a+165=﹣（a﹣30）2+1065，∴当a=30时，y最大且为1065，∴这三年的获利最大为1065×3=3195（万元），∴5年所获利润（扣除修路后）的最大值是：80+3195﹣50×2=3175（万元）．（3）有很大的实施价值．规划后5年总利润