整理解排列组合应用问题的十种思考方法p

PAGEPAGE4“解排列、组合应用问题”的思维方法一、优先考虑：对有特殊元素（即被限制的元素）或特殊位置（被限制的位置）的排列，通常是先排特殊元素或特殊位置，再考虑其它的元素或其它的位置。例1．（1）由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。由1、2、3、4、5组成没有重复数字的五位数，其中小于50000的偶数共有个。5个人排成一排，其中甲不排在两端也不和乙相邻排列的排列共有种。二、“捆”在一起：有要求元素相邻（即连排）的排列问题，可以先将相邻的元素看作一个“整体”与其它元素排列，然后“整体”内部再进行排列。例2．（1）有3位老师、4名学生排成一排照相，其中老师必须在一起的排法共有种。（2）有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有种。三、插空档：有要求元素不相邻（即间隔排）的排列问题，可以制造空档插空。例3．（1）五种不同的收音机和四种不同的电视机陈列一排，任两台电视机不靠在一起，有种陈列方法。（2）6名男生6名女生排成一排，要求男女相间的排法有种。四、减去特殊情况（即逆向思考）：先算暂时不考虑限制条件的排列或组合种数，然后再从中减去所有不符合条件的排列或组合数。例4．（1）以正方体的顶点为顶点的四面体共有个。（2）由0、1、2、3、4、可以组成个无重复数字的三位数。（3）集合有8个元素，集合有7个元素，有4个元素，集合有3个元素且满足下列条件：的集合有几个。（4）从6名短跑运动员中选4人参加4100米五、先组后排：排列、组合综合题，通常都是先考虑组合后考虑排列。例5（1）用1、2、3、9这九个数字，能组成由3个奇数数字、2个偶数数字的不重复的五位数有个。（2）有8本不同的书，从中取出6本，奖给5位数学优胜者，规定第一名（仅一人）得2本，其它每人一本，则共有种不同的奖法。（3）有五项工作，四个人来完成且每人至少做一项，共有种分配方法。六、除以排列数：对某些元素有顺序限制的排列，可以先不考虑顺序限制排列后，再除去规定顺序元素个数的全排列。例6（1）有4名学生和3位老师排成一排照相，规定两端不排老师且老师顺序固定不变，那么不同的排法有种。（2）由0、1、2、3、4、5组成没有重复数字的六位数，其中个位数字小于十位数字，十位数字小于百位数字，则这样的数共有个。（3）书架上放有5本书（1~5册），现在要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有种放法。七、对象互调：有些排列或组合题直接就题论题很难入手，但换个角度去考虑便顺利求得结果又易理解。例7．（1）一部电影在四个单位轮放，每单位放映一场，可以有种放映次序。（2）一排有8个座位，3人去坐，要求每人左右两边都有空位的坐法有种。（3）有6个座位3人去坐，要求恰好有两个空位相连的不同坐法有种。八、分情况研究：分情况研究（即分类计算）复杂的排列、组合综合题，常常通过画简图、按元素的性质“分类”；按事件发生的连续过程“分步”等方法。分情况研究求得结果，尤其对含数字“0”的排列，常分“有0”及“无0”两种情况研究，在“有0”时，排列的“首位”又是“特殊”位置要优先考虑。例8．（1）从编号为了1、2、39的九个球中任取4个球，使它们的编号之和为奇数，再把这四个球排成一排，共有多少种不同的排法？（2）用0、1、2、39这十个数字组成五位数，其中含有三个奇数字与两个偶数字的五位数有多少个？（3）用0、1、2、3、4五个数字组成的无重复的五位数中，若按从小到大的顺序排列23140是第几个数？排列与组合(思考方法1～8训练)一．优先考虑1．现有6名同学站成一排：（1）甲不站排头也不站排尾有多少种不同的排法？（2）甲不站排头，且乙不站排尾有多少种不同的排法？2．用，5组成无重复数字的5位数，共可以组成多少个？二．插空3．有6名同学站成一排：甲、乙、丙不相邻有多少种不同的排法？4．有4男4女排成一排，要求（1）女的互不相邻有种排法；（2）男女相间有种排法。三．捆在一起5．由1、2、3、4、5组成一个无重复数字的5位数，其中2、3必须排在一起，4、5不能排在一起，则不同的5位数共有_________个。6．有2位老师和6名学生排成一排，使两位老师之间有三名学生，这样的排法共有种。四．逆向思考7．某小组有6名同学，现从中选出3人去参观展览，至少有1名女生入选时的不同选法有16种，则小组中的女生数为________。8．6名同学站成一排乙不站排尾有多少种不同的排法？五．先组后排9．有4名学生参加3相不同的小组活动，每组至少一人，有种参加方式。10．从两个集合和中各取两个元素组成一个四位数，可组成个数。六．除以排列数11．书架上放有6本书，现在要再插入3本书，保持原有的相对顺序不变，有种放法。12．9人（个子长短不同）排队照相，要求中间的最高，两旁依次从高到矮共有种排法。七．对象互调：13．某人射击8枪命中4枪，这4枪中恰有3枪连在一起的不同种数是。14．三个人坐在一排7个座位上，（1）若3个人中间没有空位，有种坐法。（2）若4个空位中恰有3个空位连在一起，有种坐法。八．分情况（即分类）15．用组成无重复数字的5位数，若按从小到大的顺序排列，则数12340是第_____个数。16．某车间有8名会车工或钳工的工人，其中6人会车工，5人会钳工，现从这些工人中选出2人分别干车工和钳工，问不同的选法有多少种？九．和、整除、倍数、约数问题。例9．和：（1）用0、1、2、3、4、5、6这七个数字可以组成多少个没有重复数字的三位数？这些三位数的和是多少？整除：（2）用0、1、2、3、4、5组成无重复数字的五位数，其中Ⅰ、能被5整除的数有多少个？Ⅱ、能被3整除的数有多少个？Ⅲ、能被6整除的数有多少个？倍数：（3）在1、2、3100这100个自然数中，每次取不等的两数相乘，使它们的积是7的倍数，这样的取法共有多少种？（取7,11与取11,7认为是同一种取法）（4）在1、2、330这三十个数中，每取两两不等的三个数，使它们的和是3的倍数，共有多少种不同的取法？约数：（5）数2160共有多少个正约数（包括1和本身在内）？其中共有多少个正的偶约数？十、分配、分组问题：解题时要注意“均匀”与“非均匀”的区别、分配与分组（分堆）的区别。例10．（1）将12本不同的书Ⅰ、分给甲、乙、丙三人，每人各得4本有种分法。Ⅱ、平均分成三堆，有种分法。（2）7本不同的书Ⅰ、全部分给6个人，每人至少一本，共有种不同的分法。Ⅱ、全部分给5个人，每人至少一本，共有种不同的分法。（3）六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，问各有多少种分法？a、甲一本、乙二本、丙三本；有种分法。b、一人一本、一人二本、一人三本；有种分法。c、甲一本、乙一本、丙四本；有种分法。d、一人一本、一人一本、一人四本；有种分法。排列与组合(思考方法全训练)一～八：1．5名男生和2名女生站成一列，男生甲必须站在正中间，2名女生必须站在甲前面，不同的站法共有种(用数字作答)。2．8人排成一排,其中甲、乙、丙三人中有2人相邻,但这3人不同时相邻的排法有______种.3．现有6张同排连座号的电影票,分给3名老师与3名学生,要求师生相间而坐,则不同的分法数为________.4．在200件产品中有3件是次品，现在从中任意抽取5件，其中至少有2件次品的抽法有种。5．现从某校5名学生干部中选出4人分别参加上海市“资源”、“生态”、和“环保”三个夏令营，要求每个夏令营活动至少有选出的一人参加，且每人只参加一个夏令营活动，则不同的参加方案的种数是___________.(写出具体数字)6．将A、B、C、D、E、排成一排，其中按A、B、C顺序（即A在B前，C在B后）的排列总数为。1234123458．（1）如图，一个地区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻地区不得使用同一颜色，现有4种颜色可供选择，则不同的着色方法共有种。（以数字作答）（2）同室人各写了一张贺年卡先集中起来，然后每人从中取回一张别人送出的贺卡，这张贺年卡不同的分配方式有__________种。九．和、整除、倍数、约数问题17．(1)由2、3、4、5组成无重复数字的四位数，求：①这些数的数字之和；②这些数的和。（2）由0、2、5、7、9这5个数字可组成多少个无重复数字且能被3整除的四位数？18．（1）在1、2、3、4、…、50这50个自然数中，每次取出2个（无论先后），使他们的积是13的倍数，这样的取法有多少种？（2）①420共有多少个正约数？②14175共有多少个正约数？十．分配、分组问题：19．六本不同的书，分给甲、乙、丙三人，若按下列分配方法，问各有多少种分法？①甲一本、乙二本、丙三本；有种分法。②一人一本、一人二本、一人三本；有种分法。③甲一本、乙一本、丙四本；有种分法。④一人一本、一人一本、一人四本；有种分法。20．一般地，现有本不同的书，①分给甲、乙、丙三人，甲得本、乙得本、丙得本，则有种分法。②分给三人，一人得本、一人得本、另一人得本，则有种分法。③分给三人，甲、乙各得本、丙得本，则有种分法。④分给三人，其中二人各得本，另一人得本，则有种分法。⑤分成三堆，一堆本、一堆本、一堆本，则有种分法。⑥分成三堆，有二堆各本，还有一堆本，则有种分法。排列与组合(思考方法1～8训练)参考答案一．优先考虑：1．（1）法一：（先考虑特殊元素甲）种；法二：（先考虑特殊位置头尾）种；（2）法一：(甲在尾)+(甲不在尾)=120+384=504；(或法二：种)；2．先考虑首位再其它：。二．插空：3．；4．（1）；（2）。三．捆在一起：5．；6．。四．逆向思考：7．令小组中的女生数为，则：；8．。五．先组后排：9．；10．。六．除以排列数：11．（即）；12．。七．对象互调：13．；14．（1）；（2）。八．分情况（即分类）：15．；16．。排列与组合(思考方法全训练)参考答案一～八：1．）即：先前，再后）；2．；3．72；4．；5．（即：先组，再捆，后排）；6．120；7．56；8．（1）；（2）9．九．和、整除、倍数、约数问题17．（1）①由2、3、4、5组成无重复数字的四位数有个，而每一个数的各位数字之和都是，所以所有四位数的数字之和是。②如2在个，十，百，千位上的情况各有次，同理