《物理光学》期末复习试题及答案

物理光学作业参考答案

ZTC

[11-1]一个平面电磁波可以表示为£\=0,£\,=2cos[2乃x10目（二一。+—],£=0,

c2

求：（1）该电磁波的频率、波长、振幅和原点的初相位？（2）波的传播方向和

电矢量的振动方向？（3）相应的磁场B的表达式？

解：

（1）由平面电磁波的表达式知，该波的圆频率为。=27X1（）14,速度v=c,

故：

止H缶32^-X1014，八14TT

频率u=一=-------=10I4HZ

2万2万

8

r3xin,

波长2=—=----=3x106m=

v1014

振幅A=2V/m

初相位（p=—rad

2

（2）波沿z轴正方向传播，电矢量沿y轴方向振动

PJ7A7

（3）由二=丫，知8=—=—=------=0.67x10^7（特斯拉=韦伯/米2）

BVc3x108

故，相应的磁场B的表达式为：

B=-0.67x10-8cos[2^x1014（--/）+-],B=0,8一=0

xc2V

[11-2]在玻璃中传播的一个线偏振光可以表示为

E=O,E.=0,£=102coskl0l5（——―/）],试求：（1）光的频率和波长；（2）

'0.65c

玻璃的折射率。

解：

（1）由平面电磁波的表达式知，该波的圆频率为。=乃乂1。15,速度

V=0.65c,故光的：

频率v=—=5X10I4/7Z

2%

油KJV0.65c0.65x3x1()8

彼长A=—=--=------------=0.39x10m=0.39utn

vv5xio14

（2）玻璃的折射率为:

C_C

=1.538571.54

V-0.65c

[11-3]平面电磁波的表示式为

6

E=（-2x0+26％）exp[i2ix10（V3x+y+6x10踪）],

试求该平面波的偏振方向，传播方向，传播速度，振幅，波长和频率。

解：

（1）振动面为x-y平面，偏振方向与x轴夹角：

_21

cosez=/.-=——，所以a=-60°

7（-2）2+（2V3）22

（2）传播方向

,.„.,k=27rx106A/3”，，.

x6

波矢量大小：A，所以攵=4%xlO

6

ky=2^-xlO

kV3

cosa=—x=——

波矢量的方向余弦：k2

cos/=-=—

k2

（3）传播速度

•・・g=12〃xIO14

V=—=3xl08m/5

k

(4)振幅

A=J(-2产+(2扬2=./中

(5)波长

A==——~~-=0.5x106tn=0.5um

k4乃X1()6L

(6)频率

co12%xI。/

V=——=---------------=6xl()H也

2乃2万

[11-4]在与一平行光束垂直的方向上插入一透明薄片，薄片厚度h=0.01mm,折

射率n=1.5,若光波的波长为X=500nm,试计算透明薄片插入前后所引起的光程

和相位的变化。

解：

插入透明薄片后所引起的光程变化为：

A=（7i-l）/z=（1.5-1）x0.01=0.005mm

插入透明薄片后所引起的相位变化为:

24

x0.005mm=227r(rad)

A500x10-6mm

[11-6]写出平面波E=100exp{i[(2x+3y+4z)-16xl0力}的传播方向上的单位

矢量kQ。

解：由题条件，知波矢工=(2,3,4),故其单位矢量：

k(2,3,4)2_3_4_

r°一司一而一用"°+用为+百°

[11-11]电矢量振动方向与入射面成45°角的一束线偏振光入射到两种介质的界

面上，两介质的折射率分别为nl=1.0和n2=1.5。(1)若入射角〃=50°，问反射光

电矢量的方位角(与入射面所成的角)是多少?(2)若入射角4=60°,反射光的方

位角又为多少？

解：(1)4=50°,由折射定律

.-/々Sina]._/sin50。1二皿，

&n=sin------L=sin------=3042

In2)I1.5)

因此：

.=—sin(.二4)=_0335

sin©+%)

，/g©一%)

=0.057

pfg©+%)

入射光中电矢量振动方向与入射面成45°角，故在入射光中电矢量垂直于入射

面分量的振幅As等于平行于入射面分量的振幅Apo但在反射光中，由

于,所以反射光中两个分量的振幅As，和Ap，并不相等。它们的数值分别

是：

A；=GA=-0.335A

Ap=rpAp=0.057Ap

A=Ap

因此，合振幅与入射面的夹角a由下式决定：

0.335

=—5.877

40.057

a=—80020'

(2)若入射角4=60°

_/sin。]、sin60°

0=sinsin=35°14'

21.5

n27

1=-0.421

rp=-0.042

此时，反射光的方位角：

A—0.4211nno/I

tga=—r=---------=10.024

Ap-0.042

a=84。18'

［11-12］光束入射到平行平面玻璃板上，如果在上表面反射时发生全偏振，试证明

折射光在下表面反射时亦发生全偏振。

证明：

如上图所示，由题意知，光束入射到平行平面玻璃板在上表面反射时发生

全偏振，则：仇+%=］，即此时入射角用是布儒斯特角。

因为因02,a2=Oi,所以：/+%=］，因此折射光在下表面反射时入

射角a,也是布儒斯特角，故折射光在下表面反射时亦发生全偏振。

［11-13］光束垂直入射到45°直角棱镜的一个侧面，并经斜面反射后由第二个侧面

射出（见图），若入射光强为/。，求从棱镜透过的出射光强/?设棱镜的折射率为

1.52,且不考虑棱镜的吸收。

入射光在斜面上发生全反射，在两端面上的透射比均为：

4〃=4〃心=4x1x1.52

(〃+1尸(勺+%)2(1+1.52)2

所以，从棱镜透过的出射光强/：

2

I=IOTT=0.9574/()=0.9166/0«0.9270

[11-14]一个光学系统由两片分离透镜组成，两透镜的折射率分别为1.5和1.7,

求此系统的反射光能损失。如透镜表面镀上增透膜，使表面反射比降为0.01,问

此系统的光能损失又为多少?设光束以接近正入射通过各反射面。

解：

(1)此光学系统包括四个反射面，假设光束是接近正入射情形下通过各个反

射面，因而各面的反射比分别为：

如果入射到系统的光能为皿，则相继通过各面的光能为:

叱=(1—8)W=(1—0.040)W=0.960W

%=0-£)叱=(0.960)2w=o922W

明=(1-P3)%=0.933x0.922IV=0.860W

%=(1-0双=0.933x0.860W=0.802W

w-ww-0.802w

4=0.198。20%

故光能损失为:Ww

⑵若各面的反射比均降为0=0=0=04=0。，那么

44

u；=(1-A)w=(1-0.01)W=0.960W

2^=_^^=O.O4=4%

故光能损失为：卬卬

[11-15]下图所示为某三片分离型照相物镜的光学系统示意图，其各片透镜的折

射率分别为勺=1.6140、n2=1.6745、=1.6140。求此系统的反射光能损失(以

百分比表示，其小数位保留两位)。

解:该系统由6个反射面组成，各面的反射比(率)为:

Pi=夕，=|--------=0.0552==26

12(1.6140+U56

4分

p.6745-1Y

2311.6745+J=0.0636

设入射光能为%,则经该系统后出射光能为:

w

w=(1-尸(1-a>o=0.6986w04分

所以，此系统的反射光能损失是：

“广吗=]_0.6986=0.3014=30.14%,2分

%

[11-24]利用波的复数表达式求两个波E二^^^^也了+勿丹和马二-^^^^也了一0)的

合成波。

解：

两个波的复数表达式分别为：

巴=aeKkx+M)

M

E2=_ae

则两个波的合成波为：

E=耳+当=aei{kx+M)-aei(kx'M)

^aeikx(eiM-e-iM)

=2azsincote'kx

所以，合成波的实数形式为：

E=一勿sinLxsin0f

[11-37]氟同位素Kf放电管发出的波长2=605.7〃机的红光是单色性很好的光

波，其波列长度约为700mm,试求该光波的波长宽度和频率宽度。

解：

已知2L=700mm,几=605.7〃加，则

团勺72

光波的波长宽度△%=—=---:~-=5.2x104

2L700xlO6

光波的频率宽度：

A/lc-A23x10'x5.2xl()Txio-

-----y—----------=---------------------------------------=4.3X108/7Z

222(605.7xlO-9)2

或

1C3xIO®

Av=4.3x10sHz

△t2L700x103

物理光学作业参考答案

[12-1]双缝间距为1mm,离观察屏1m,用钠光灯做光源，它发出两种波长的单

色光4=589.0〃加和4=589.6〃加，问两种单色光的第10级亮条纹之间的间距是

多少？

解：

杨氏双缝干涉场中亮条纹的位置由确定：x=—m

d

因此，两种单色光的第10级亮条纹之间的间距：

A2£>(X,—4)。(589.6-589.0)xlx103,八,

--------m=-----!——m=----------------------------x10=6x10mm

dd1

[12-2]在杨氏实验中，两小孔距离为1mm,观察屏离小孔的距离为50cm,当用

一片折射率为1.58的透明薄片贴住其中一个小孔时（见图），发现屏上的条纹系统

移动了0.5cm,试决定试件厚度。

解：

已知条纹系统移动量为Ar=5mm

未贴薄片时，对应第m级亮纹处两相干光间的光程差：

40（X）=5='X=/"X-----（1）

贴薄片后，对应第m级亮纹处两相干光间的光程差：

△=（〃-1）〃+△（）（尤+Ax）=m2

a*、1

即：A=（n-l）A+万(zx+Zkr)=mA-----

由式（2）-（1）,得:

,d

h=------------Ax=-------------x5=-1.7

(1.58-1)x500

式中负号表示条纹移动的方向。因此试件厚度为1.72x10°/加

[12-3]一个长30mm的充以空气的气室置于杨氏装置中的一个小孔前，在观察屏

上观察到稳定的干涉条纹系。继后抽去气室中的空气，注入某种气体，发现条纹

系移动了25个条纹，已知照明光波波长；1=656.28〃加，空气折射率

«0=1.000276o试求注入气室中气体的折射率。

解：

设气室长度为h,当充以空气时，第m级条纹对应的光程差：

△()=mA---------(1)

注入某种气体后，条纹系移动后对应的光程差：

△=(〃一+金=(加+25)4----------(2)

由式(2)-(1),得注入气室中气体的折射率:

25/125x656.28x10

〃=+---1.000276+=1.000823

h30

[12-4]垂直入射的平面波通过折射率为n的玻璃板，透射光经透镜会聚到焦点

上。玻璃板的厚度沿着C点且垂直于图面(见图)的直线发生光波波长量级的突变

d,问d为多少时，焦点光强是玻璃板无突变时光强的一半。

解：

可将此问题等效为等光强双光束的干涉问题，当有突变时，C点两侧光束间的光

程差为:

A=(n-V)d

焦点光强为：

222

1-4/0cos：=4/0cos(-7-A)=4/()cos

根据题意，有方程：

/=4/°cos2K(〃-1)0=2/。

/L

一(〃一l)d=(jn+—)71

24

,2/1

d=----：(机+:)

n-\4

其中，m=0,1,2,

[12-6]若光波的波长为/I,波长宽度为A2,相应的频率和频率宽度记为v和Au,

证明：—=|-^|»对于4=632.8〃/〃的氮岚激光，波长宽度△2=2x10-8〃/〃，求

频率宽度和相干长度。

证明：

(1)因为4=VT=E,其中V是光波的速度，为常数。所以：Av=V,对

此式微分，有：

/lAv+vA/l=0

所以：

AvAA

v

(2)对于4=6328〃加的氢颊激光,波长宽度△2=2x10-8〃,“，则:

频率宽度：

A2AA_2xl0-8xl0~9

Av=——v=与Cx3xlO8=1.5X104HZ

A2-(632.8xl0-9)2

相干长度:

矛(632.8x10-9)2

«2x104/M

豆-2x10-8*io"

[12-8]在等倾干涉实验中，若照明光波的波长4=600%?,平板的厚度h=2mm,

折射率n=1.5,其下表面涂上某种高折射率介质(n“>L5),问(1)在反射光方向观察

到的圆条纹中心是暗还是亮?(2)由中心向外计算，第10个亮纹的半径是多少?(观

察望远镜物镜的焦距为20cm)(3)第10个亮环处的条纹间距是多少？

解：

本题考察的干涉条纹为平行平板产生的等倾圆条纹，两相干光束间的光程差

为：(由题意知无附加程差)

A—2rlhcosu

1)对于圆条纹系的中心窗对应的干涉级：

9=2也=空@q=]04(为整数)

“XX600x10-6

故中心为亮点，且q=0

2)由中心向外第10个亮纹的干涉序数N=ll,因此第10个亮纹的角半径为：

a。=7住JN—1+q=；J；：；/"-"。=6,7x102md

第10个亮纹的半径为：

r=.=200x6.7x1013.4mm

3）第10个亮纹处条纹角间距

nA_n2

\0=

2

2n01h2噩。

第10个亮纹处条纹间距为:

…八…1.5x600xlO”…

△Ae=/•A。=200x---------------；----=0.67mm

2x6.7x10-2x2

［12-9］用氢筑激光照明迈克耳逊干涉仪，通过望远镜看到视场内有20个暗环，

且中心是暗斑。然后移动反射镜Mi,看到环条纹收缩，并且一一在中心消失了

20环，此时视场内只有10个暗环，试求（l）Mi移动前中心暗斑的干涉级次（设干

涉仪分光板Gt不镀膜）；（2）Mi移动后第5个暗环的角半径。

解：

1）由题意知迈克尔逊干涉仪中两相干光间的光程差为：A=2/zcose+g

动镜Mi未移动时，视场中心为暗点，且有20个暗环，因此视场中心：2

即：一

2h=m1A（］）

视场边缘处：

21

2/zcos^+—=（町-20+—）2

即：一一

2/zcos6=（町一20）4（2）

动镜Mi移动后，暗环向中心收缩20个，中心仍为暗点，但视场中仅有10个暗

环，因此视场中心：

2h+--（加+—）/1

22

1h=m}A------------(3)

视场边缘处：

2I

2〃cos6+]=(/〃；-10+—)2

即：2〃'cos。=(/〃；-10)2(4)

由方程(1)〜(4)得到：

m.m,-20

-4^—,___________(5)

mtm]-10

另外由题意知：

mx=叫一20(6)

由方程（5）〜（6）解得：仍=40

因此动镜移动前中心暗斑的干涉级次为：

m（）=^+—=40.5

2）Mi移动后，第5个暗环的角半径为：

1=0.707rad

所以:仇

[12-10]在等倾干涉实验中，若平板的厚度和折射率分别是h=3mm和n=L5,望

远镜的视场角为6。，光波长4=450〃加，问通过望远镜能看到几个亮纹？

解：

等倾干涉场中心点处干涉级为：

f,

2nh12xl.5x3xl04

~T+2~450+-=2X10+0.5

2

所以自干涉场中心向外第1个亮环的干涉级是:

加।=2xl04=20000

视场边缘处干涉级满足：

+—=mA

22

且sing=nsin^2

所以，

=2OOOoJl-(-^sin30)2+0.5

=19987.8+0.5

=19988.3

因此视场边缘处亮环的干涉级是

mN=19989

所以，通过望远镜能看到的亮纹数为：

\N=m,-mN+\=20000-19989+1=12

[12-13]试根据干涉条纹清晰度的条件（对应于光源中心点和边缘点，观察点的光

程差之差必必须小于4/4),证明在楔板表面观察等厚条纹时，光源的许可角度

为(图中两虚线之夹角)：

e」叵

pnVh

其中，h是观察点处楔板厚度，n和n'是板内外折射率。

证明：

光源中心点发出的光经透镜L准直后照射楔板，到达干涉场中考查点P

时两相干光间的光程差为：

△o=2nh+-

光源边缘点S'发出的光经透镜L准直后照射楔板，到达干涉场中考查点

P时两相干光间的光程差为：

A=247cos%+—

式中。2是光源边缘点S'发出的光经透镜Li后在楔板表面上入射角寸相应的折

射角。根据干涉条纹清晰度的条件:

△。-△弓

有：

2

2〃力(1-cosa)—

即：

2/i/z-2sin2—<—

24

Q

由于角度较小，取近似sin”。，又据折射定律：〃'彳=〃仇,所以,

2nh-=nh0；=nh-(—3V<-

22np4

nA

故有:0—

nh

[12-15]假设照明迈克耳逊干涉仪的光源发出波长为儿和友的两个单色光波,

A2=/L,+A2,且这样，当平面镜Ml移动时，干涉条纹呈周期性地消

失和再现，从而使条纹可见度作周期性变化，（1）试求条纹可见度随光程差的变

化规律；（2）相继两次条纹消失时，平面镜Mi移动的距离△〃；（3）对于钠灯，设4=

589.0nm和42=589.6nm均为单色光，求A/z值。

解：

1）设迈克尔逊干涉仪的分光板Gi镀膜，因此两相干光间的光程差为：

△=2/zcos8

视场中某点处（6角）两单色光的强度分别为:

27r

Z1=2Z0[l+cos（—A）]

4

24

/2=2Z0[l+cos（—A）]

因此，考察点处总的光强度为：

必).cos(必)]

/=/,+/2=4/0[1+cos4+4

44

A/1=丸，一4,4九2=分,％=-12—j

Z=4Z0[l+cosA)-cos(yA)]

所以，有：

IM=4/0[l+cosA)]

jAjrjA、1

I”,cos号-△)]

根据定义，条纹可见度为:

2）条纹消失，即K=0也即:

-^A=(2m+1)-

对于视场中心附近：A=2〃

AAc7小1

——2/z—(2一+1)—

对此式等号两边微分，令Am=l得:

44

A/z

2AA2A2

3)对于钠灯，4=589.0nm和％2=589.6nm,所以:

589.0x589.6

=0.289x106nm=0.289iron

2x(589.6-589.0)

[12-16]图是用泰曼干涉仪测量气体折射率的示意图，其中Di和D2是两个长度

为10cm的真空气室，端面分别与光束I和H垂直。在观察到单色光照明(入

=589.3nm)产生的干涉条纹后，缓慢向气室D2充氧气，最后发现条纹移动了92

个，(1)计算氧气的折射率；(2)若测量条纹精度为1/10条纹，求折射率的测量

精度。

解：(1)

向气室D2充氧气后，条纹移动了92个，说明两束光间的光程差变化了92/1。

而光程差的变化等于2(n-l)L,n是氧气的折射率，L是气室的长度，因子2是考

虑到光线两次通过气室的结果。因此：

必=2(〃—1)L=Am-A=92A

589.3x10-9

所以:〃=1+\m——=1+92x=1.000271

2L2x10x10-2

(2)如果条纹变化的测量误差为&V,显然有:

2L-An=A2V-A.

所以折射率的测量精度为：

589.3x10-9

—\Nx—=2.9xl0-7

2L2x10x10210

[12-18]将一个波长稍小于600nm的光波与一个波长为600nm的光波在F—P干

涉仪上比较，当F—P干涉仪两镜面间距改变1.5mm时，两光波的条纹就重合一

次，试求未知光波的波长。

解:

考察F-P干涉仪干涉场中心附近某处，对应于两个波长的干涉级差为：

Am=g-恤=("+马-律+4=网上A1

/Lj71A-f71A|

当=1时条纹重合，此时有：

2〃(灰_4)=]_______⑴

当Am=2时条纹又重合一次，此时有：

2(〃+△/?)(4—4)0”、

4丸2

由方程(2)-(1),得：

A2224%矛(600)2

Az=/t-A,=-----=-----«-----------=0A2nm

9-2-AA2-AA2xl.5xl06

所以，未知光波的波长：

4=A2-A2=600-0.12=599.88/?m

或,

.2劭(4-4)2Sh,

d(A/7?)=-----=----=AA/1

44矛

1222

"砺久△矶。"2=前

[12-19]F—P标准具的间隔为2.5mm,问对于波长500nm的光，条纹系中心的干

涉级是多少?如果照明光波包含波长500nm和稍小于500nm的两种光波，它们的

环条纹距离为1/100条纹间距，问未知光波的波长是多少？

解：

(1)条纹系中心的干涉级是：

2h2x2.5xl067

=—=----------=10

°2500

(2)两种光波的波长差：

△eI215002

-4

-------------------------X-----------------=----5---x---l-0nm

e2h1002x2.5xl06

所以，未知光波的波长是:

4=4—△4=500—0.0005=499.9995nm

[12-20]F—P标准具两镜面的间隔为0.25mm,它产生的4谱线的干涉环系中的

第2环和第5环的半径分别是2mm和3.8mm,乙谱系的干涉环系中第2环和第

5环的半径分别是2.1mm和3.85mm。两谱线的平均波长为500nm,求两谱线波

长差。

解：

F-P标准具中相邻光束间的位相差为：3=』2/zcos6+20

2

因此，相邻光束间的光程差为：A=2/icos8+t/l

71

设对于4谱线的干涉环系中心的干涉级为mO,则有:

2/z+幺4=/4=（叫+%）4

(1)

71

自中心向外第N个亮环满足方程：

2/zCOS'Y+—4—（班—N+1）4⑵

'7T

由以上两式⑴-（2）得：

印=g（N-1+/）

h

由题设条件知第5环与第2环亮纹的半径平方之比：

-J"、）？5-1+-4+劣

]一（网2—2-1+0.1+1

4,”片4x22-3.82

所以,・为一厂”］一3U-22一°」49

同理,可求出相应于4谱线干涉环系中心干涉级的小数部分:

华M=4X2.1：-3.85；O27

2片—石23.85?-2.F

再考察视场中心，两波长环系中心干涉级分别满足：

2/z+—4=（//Z1+劣）4■(3)

71

2/zH—4—(叫+%)4----(4)

由方程(3)和(4),得:

%-“("+幺)-("+幺)=2叱-32悟

212

4兀4%442

所以，两谱线波长差:

A2=—(^-(/.)=―~-(0.27-0.149)

2h2'2xO.25xlO6

=6xl0~2nm-0.06zim

[12-22]在玻璃基片上（%=L52）涂镀硫化锌薄膜（〃=2.38）,入射光波长为

A=500nm,求正入射时给出最大反射比和最小反射比的膜厚及相应的反射比。

解：

（1）由题设条件知题中涉及的是单层增反膜，当其光学厚度nh满足下面条

件时可获得最大反射比：

,2

nn=—

4

即当膜厚：力」=500=52.52一时，

4〃4x2.38

2.38?丫

给出最大反射比:1.52=0.3328233%

2.38

1.52

（2）而当光学厚度：

,2

nn=—

2

即当膜厚：/I=2=IO5〃加时,

2n

给出最小反射比:

[12-23]在玻璃基片上镀两层光学厚度为4/4的介质薄膜，如果第一层的折射率

为1.35,问为达到在正入射下膜系对％全增透的目的，第二层薄膜的折射率应

为多少?（玻璃基片折射率〃G=L6）

解：双层膜全增透的条件为:

=n,=1.35xj—=1.7076»1.7

'Vovi.o

物理光学作业参考答案

[13-2]波长;I=500〃〃?的单色光垂直入射到边长3cm的方孔，在光轴(它通过孔中心并垂

直孔平面)附近离孔z处观察衍射，试求出夫琅和费衍射区的大致范围。

解：夫琅和费衍射条件为：

2z

262

即：z>>(^^1)max=(15xl0)H15xl0^)^09xl0%m=90()ffl

2500

[13-4]平行光斜入射到单缝上，证明：(1)单缝夫琅和费衍射强度公式为

(、2

兀a

sin[——(sin-sinz)]

i~---------------

mi

y(sin^-sinz)

式中，/。是中央亮纹中心强度；。是缝宽；。是衍射角，，是入射角(见图)。

证明：(1)建立如图所示坐标系，则入射光的波矢：v

-xjAAI

k-Zr(sini,0,cosz)

一

缝上任意点Q的位矢：>=(5，加0)

单逢上光场的复振幅为：

E(x^=Ae^=Aeiksini'x'

X•八、

因此，观察面上的夫琅和费衍射场为：(其中：一asin夕)

4

~1阳Zi+壬),％~-ik^-Xi(=Ae""+2zJj%sinsin

5工)=工月3王”&0xx

iAz{J-%

7777

2A"(z+上)sin[7(sin。一sini)]

_AJJ+2Z]r%”永(sinO-siniMaY=_

一gJ-%1-;

4(sinsinz)

所以，观察面上的光强分布为：

sin产(sin。-sin，)]

>1__________________}2

1=瓦x)E(x)*=zo{-

；(sin。-sini)

A)2

式中：/0=(—a)

（2）第一暗点位置:

子（sin。-sini）=兀

2

，sin。-sini=

7

••・2c°s”sin0-i_A

22a

A

A。=0—i=

acosi

[13-5]在不透明细丝的夫琅和费衍射图样中，测得喑条纹的间距为1.5mm,所用透镜的焦距

为30mm,光波波长为632.8nm。问细丝直径是多少？

解：

根据互补屏衍射原理，不透明细丝的夫琅和费衍射图样与相同宽度单缝的夫琅和费衍

射图样除中心点之外是相同的,而衍射图样中暗条纹的间距等于中央亮纹宽度的一半，因此,

有：

2

\x=\6-f=-f

a

2r632.8x106।IC-2ncii

a--f-------------------x30=1.2656x10mm«0.013/72/?/

限1.5

即细丝直径是0.013mm.

[13-7]导出外径和内径分别为a和b的圆环（见图）的夫琅和费衍射强度公式,并求出当b=a/2

时，（1）圆环衍射与半径为a的圆孔衍射图样的中心强度之比；（2）圆环衍射图样第一个暗

环的角半径。（注：4=3.144）

解：半径为a的圆孔在衍射场P点产生的振幅为:

2"版。）_22Jx{ka6}

匕八—七c=ca

kaOkaO

其中C为比例系数，因为场中心振幅心正比于圆孔的面积加2。圆孔中的圆屏使P点的振

幅减小:

24（kb。）

Eb=cb2

kbO

因此，圆环在P点产生的振幅为:

a1（kaff）/4（加6）

Eh=E“-Eb=2c[

ka6kbO-

圆环在P点产生的强度为:

2

_2a2b2，亿|)J1亿2)

4=E：=4c2-+b44©)

Z\z?

z2

式中，4=&z，,Z2=幼夕。对于衍射场中心，Z,=Z2=0,相应的强度为:

卜4212A

区)。=4c2已+.-除卜面十)2

当b=a/2时,

(1)(4)0=°2/一=看2/

所以，圆环衍射与半径为a的圆孔衍射图样的中心强度之比:

924

(U1TL2

(/")。c2a&16

(2)圆环衍射强度的第一个零值满足：

a1J[ka0^b?J《kb。)

-----x------------------=0

kaOkbO

即aJ}(如6)=bJ](人心。)=?，(；ka6)

利用贝塞耳函数表解上方程，得到：

Z,=h。=3.144

因此，圆环衍射强度的第一个零点的角半径为：

6>=3.144—=0.51-

2mxa

[13-8]不透明屏幕上有一孔径2,用一个向P点会聚的球面波照明，P点位于孔径后面与孔

径相距z的平行平面上，如图所示。

(1)求出孔径平面上入射球面波的傍轴近似，设P点分别位于Z轴上和轴外(0,yl)点两

种情形。

(2)假设孔径面到观察面之间为菲涅耳衍射区，证明在上述两种情形下，观察到的强度

分布是孔径Z的夫琅和费衍射，且分布中心在P点。

解：

(1)孔径Z平面上任意考察点(O,yO,z)处光场的复振幅分布为:

E(y)=--ikr^-e-ikr