新教材同步辅导2023年高中数学第七章随机变量及其分布章末复习课新人教A版选择性必修第三册

章末复习课回顾本章学习过程,建构“基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”之间的联系.要点训练一条件概率与全概率公式(1)求事件概率的关键是将事件分解为若干个小事件,然后利用概率的加法公式和乘法公式来求解.(2)求条件概率可通过两种方法求解:①先求事件A包含的样本点数n(A),再求在事件A发生的条件下事件B包含的样本点数n(AB),得P(B|A)=n(②利用定义,分别计算出P(A)和P(AB),得P(B|A)=P((3)一般地,设A1,A2,…,An是一组两两互斥的事件,A1∪A2∪…∪An=Ω,且P(Ai)>0,i=1,2,…,n,则对任意的事件B⊆Ω,有P(B)=∑i=1nP(Ai)P(B|A1.小明的妈妈为小明煮了5个粽子,其中2个腊肉馅,3个豆沙馅,小明随机取出2个,设事件A为“取到的2个为同一种馅”,事件B为“取到的2个都是豆沙馅”,则P(B|A)=()A.14B.34C.1解析:由题意,得P(A)=C22+P(AB)=C32C所以P(B|A)=P(AB)答案:B2.某教师准备对一天的五节课进行课程安排,要求语文、数学、外语、物理、化学每科分别要排一节课,则在数学不排第一节、物理不排最后一节的情况下,化学排第四节的概率是()A.320B.313C.7解析:设事件A为“数学不排第一节,物理不排最后一节”;事件B为“化学排第四节”.P(A)=A44+P(AB)=A33+故所求概率P(B|A)=P(AB)答案:C3.甲、乙二人争夺一场围棋比赛的冠军,若比赛为“三局两胜”制,甲在每局比赛中获胜的概率均为34,且各局比赛结果相互独立,则在甲获得冠军的情况下,比赛进行了三局的概率为(A.13B.25C.2解析:记事件A:甲获得冠军;事件B:比赛进行了三局;事件AB:甲获得冠军,且比赛进行了三局.则第三局甲胜,前两局甲胜了一局,所以P(AB)=C21×34×14×事件A包含两种情况:前两局甲胜和事件AB,所以P(A)=342+932所以P(BA)=P(AB)P(A)=932答案:A4.据报道,某地居民患肺癌的概率约为0.1%,其中有20%是吸烟者,他们患肺癌的概率约为0.4%,则不吸烟者患肺癌的概率是0.00025.

解析:记患肺癌为事件C,吸烟为事件A.由题意,得P(C)=0.001,P(A)=0.2,P(C|A)=0.004.由全概率公式,得P(C)=P(C|A)P(A)+P(C|A)P(A),将数据代入,得0.001=0.004×0.2+P(C|A)×0.8,解得P(C|A)=0.00025.所以不吸烟者患肺癌的概率为0.00025.5.某校从学生会宣传部6名成员(其中男生4人,女生2人)中,任选3人参加演讲比赛.(1)设所选3人中女生人数为X,求X的分布列;(2)求男生甲或女生乙被选中的概率;(3)设“男生甲被选中”为事件A,“女生乙被选中”为事件B,求P(B)和P(B|A).解:(1)由题意,得X的所有可能取值为0,1,2.P(X=0)=C43CP(X=1)=C42CP(X=2)=C41C所以X的分布列为X012P131(2)设“男生甲、女生乙都不被选中”为事件C,则P(C)=C43C63所以所求概率为P(C)=1-P(C)=1-15=4(3)P(B)=C52C63P(B|A)=C41C52要点训练二离散型随机变量的分布列(1)求离散型随机变量的分布列,首先要确定随机变量X的所有可能取值以及取每一个值所代表的意义.(2)要根据概率的相关知识,求出每一个取值所对应事件的概率.(3)分布列可以用解析式表示,也可用表格表示.1.已知随机变量X的分布列为X-2-10123P111111若P(X2<x)=1112,则实数x的取值范围是(A.4<x≤9B.4≤x<9C.x<4或x≥9D.x≤4或x>9解析:由随机变量X的分布列,可知X2的所有可能取值为0,1,4,9,P(X2=0)=13,P(X2=1)=14+112P(X2=4)=112+16=14,P(X2因为P(X2<x)=1112所以实数x的取值范围是4<x≤9.答案:A2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=k10,k=1,2,3,4,则P(X<3)=3解析:因为P(X=k)=k10(k所以P(X=1)=110,P(X=2)=210=所以P(X<3)=110+15=3.一个盒子里装有7张卡片,其中有红色卡片4张,编号分别为1,2,3,4;白色卡片3张,编号分别为2,3,4.从盒子中任取4张卡片(假设取到任何一张卡片的可能性相同).(1)求取出的4张卡片中,含有编号为3的卡片的概率.(2)在取出的4张卡片中,红色卡片编号的最大值设为X,求随机变量X的分布列.解:(1)取出的4张卡片中,不含编号为3的卡片的概率为P1=C54C74=535=17,故所求概率(2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4.P(X=1)=1C74P(X=2)=C43CP(X=3)=C53CP(X=4)=C63C故随机变量X的分布列为X1234P1424要点训练三离散型随机变量的数字特征(1)求离散型随机变量的均值与方差的关键:①确定随机变量的所有可能取值;②写出随机变量的分布列;③正确运用均值、方差公式进行计算.(2)求离散型随机变量X的均值与方差的步骤:①理解X的意义,写出X的所有可能取值;②求X取每个值的概率;③写出X的分布列;④由均值的定义求E(X);⑤由方差的定义求D(X).1.已知随机变量X满足E(2X+3)=7,D(2X+3)=16,则下列选项正确的是()A.E(X)=72,D(X)=B.E(X)=2,D(X)=4C.E(X)=2,D(X)=8D.E(X)=72,D(X)=解析:E(2X+3)=2E(X)+3=7,D(2X+3)=4D(X)=16.故E(X)=2,D(X)=4.答案:B2.随机变量X的分布列如表所示,若E(X)=13,则D(3X-2)=(X-101P1abA.59B.5解析:因为E(X)=13所以由随机变量X的分布列,得16+所以D(X)=-1-132×16+0-13所以D(3X-2)=9D(X)=9×59=5答案:C3.已知5台机器中有2台存在故障,现需要通过逐台检测直至区分出2台故障机器为止.若检测一台机器的费用为1000元,则所需检测费的均值为3500.

解析:设检测机器所需的费用为X,则X的所有可能取值为2000,3000,4000.P(X=2000)=A22AP(X=3000)=C31CP(X=4000)=1-110-310=所以所需检测费的均值为2000×110+3000×310+4000×34.某企业甲、乙两个研发小组研发新产品成功的概率分别为23和35,现安排甲组研发新产品M,乙组研发新产品N.(1)求至少有一种新产品研发成功的概率;(2)若新产品M研发成功,则企业可获得利润120万元,若新产品N研发成功,则企业可获得利润100万元,求该企业可获得利润的分布列和均值.解:(1)设“至少有一种新产品研发成功”为事件A,且事件B为事件A的对立事件,则事件B为“新产品M,N都没有研发成功”.因为甲、乙两组研发新产品成功的概率分别为23,3所以P(B)=1-23×1-35=所以P(A)=1-P(B)=1315所以至少有一种新产品研发成功的概率为1315(2)设该企业可获得的利润为X(单位:万元),则X的可能取值为0,100,120,220.P(X=0)=1-23×1P(X=100)=1-23×3P(X=120)=23×1-3P(X=220)=23×35=所以X的分布列为X0100120220P2142则E(X)=0×215+100×15+120×415+220×要点训练四二项分布与超几何分布1.求解二项分布问题的注意事项(1)首先要判断随机变量是否服从二项分布.判断方法:①看是否为n重伯努利试验;②看随机变量是否为n重伯努利试验中某事件发生的次数.(2)建立二项分布模型,求出随机变量取值时对应事件的概率.2.求解超几何分布问题的注意事项(1)在产品抽样中,若采用的是不放回抽样,则抽到的次品数服从超几何分布.(2)如果随机变量服从超几何分布,那么只要代入公式就可求得相应的概率,关键是明确随机变量的所有取值.1.已知X~B5,13,则P3A.80243B.40243C.40解析:P32≤X≤72=P(=C52×132×233=4081答案:C2.有8件产品,其中4件是次品,从中有放回地取3次,每次取1件,若X表示取得次品的次数,则P(X≤2)=()A.38B.1314C.4解析:因为是有放回地取产品,所以每次取到次品的概率为48=1从中取3次,X为取得次品的次数,则X~B3,P(X≤2)=P(X=2)+P(X=1)+P(X=0)=C32×122×12+C31×=78答案:D3.某地7个村中有3个村是旅游示范村,现从这7个村中任意选3个村,下列事件中概率等于67的是(A.至少有1个旅游示范村B.有1个或2个旅游示范村C.有2个或3个旅游示范村D.恰有2个旅游示范村解析:用X表示所选3个村中旅游示范村数,X服从超几何分布,故P(X=k)=C3所以P(X=0)=C30CP(X=1)=C31CP(X=2)=C32CP(X=3)=C33C因为P(X=1)+P(X=2)=67所以所选3个村中有1个或2个旅游示范村的概率为67答案:B4.某种水果按照果径大小可分为四类:标准果、优质果、精品果、礼品果.某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个,利用水果的等级分类标准得到的数据如下:等级标准果优质果精品果礼品果个数10304020(1)若用频率估计概率,从这100个水果中有放回地随机抽取4个,求恰好有2个水果是礼品果的概率(结果用分数表示).(2)用样本估计总体,果园老板提出两种方案给采购商参考.方案1:不分类卖出,单价为20元/kg.方案2:分类卖出,分类后的水果售价如下:等级标准果优质果精品果礼品果售价/(元/kg)16182224从采购商的角度考虑,应该采用哪种方案?(3)用分层随机抽样的方法从这100个水果中抽取10个,再从抽取的10个水果中随机抽取3个,Y表示抽取的是精品果的数量,求Y的分布列及均值E(Y).解:(1)设“从这100个水果中随机抽取1个,抽到礼品果”为事件A,则P(A)=20100=1现有放回地随机抽取4个,设抽到礼品果的个数为X,则X~B4,所以恰好抽到2个礼品果的概率为P(X=2)=C42×152×(2)设方案2的售价为Z,则售价的均值为E(Z)=16×110+18×310+22×410+24×210=16+54+88+48因为E(Z)>20,所以从采购商的角度考虑,应该采用方案1.(3)用分层随机抽样的方法从100个水果中抽取10个,其中精品果有4个,非精品果有6个.现从中随机抽取3个,则精品果的数量Y服从超几何分布,Y的所有可能的取值为0,1,2,3.则P(Y=0)=C63CP(Y=1)=C62CP(Y=2)=C61CP(Y=3)=C43C所以Y的分布列为Y0123P1131所以E(Y)=0×16+1×12+2×310+3×1要点训练五正态分布的概率(1)解题时注意3σ原则,记住随机变量在三个区间内取值的概率.(2)注意数形结合,根据正态曲线的对称性结合图象解决某一区间内的概率问题.1.若随机变量X服从正态分布N(2,σ2),X在区间(4,+∞)上取值的概率是0.2,则X在区间[0,2]上取值的概率是()A.0.3B.0.4C.0.6D.0.8解析:根据题意分析知,随机变量X服从正态分布N(2,σ2),且P(X>4)=0.2.根据对称性可得P(X<0)=0.2,所求概率P(0≤X≤2)=1-2P(答案:A2.某校约有1000人参加模块考试,其数学考试成绩Y服从正态分布N(90,σ2)(σ>0),统计结果显示数学考试成绩在70分到110分之间的人数约为总人数的60%,则此次数学考试成绩不低于110分的学生人数约为()A.600B.400C.300D.200解析:根据正态分布知,其均值为90分.又因为70分到110分之间的人数约为总人数的60%,所以根据对称性知90分到110分之间的人数约为总人数的30%,所以不低于110分的人数约为总人数的50%-30%=20%,故大约有1000×20%=200(人).答案:D3.若X~N(2,σ2),P(1.6<X<2.4)=0.6,P(2.4≤X≤2.8)=0.1,则P(X<1.2)=()A.0.1B.0.3C.0.4D.0.6解析:由题意,得μ=2,P(2≤X≤2.8)=12P(1.6<X<2.4)+P(2.4≤X≤2.8)=0.所以P(X<1.2)=P(X>2.8)=0.5-P(2≤X≤2.8)=0.1.答案:A要点训练六求解条件概率的方法1.用定义法求条件概率P(B|A)先分析题意,弄清概率模型,再计算P(A),P(AB),最后代入公式P(B|A)=P(AB2.利用缩小样本空间计算条件概率将原来的样本空间Ω缩小为已知的事件A,原来的事件B缩小为事件AB.在缩小的样本空间上利用古典概型公式计算条件概率,即P(B|A)=n(AB)n(3.用条件概率的性质解题对于比较复杂的事件的概率,一般先把它分解成两个(或若干个)互斥的较简单的事件之和,求出这些简单事件的概率,再利用概率加法公式即得所求的复杂事件的概率.1.已知一种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,若一个这种元件使用到1年时还未破损,则这个元件使用寿命超过2年的概率为()A.0.75B.0.6C.0.52D.0.48解析:因为这种元件的使用寿命超过1年的概率为0.8,超过2年的概率为0.6,所以在一个这种元件使用到1年时还未破损的前提下,这个元件使用寿命超过2年的概率P=0.60.8=0答案:A2.已知甲在上班途中要经过两个路口,在第一个路口遇到红灯的概率为0.5,两个路口连续遇到红灯的概率为0.4,则甲在第一个路口遇到红灯的条件下,第二个路口遇到红灯的概率为()A.0.6B.0.7C.0.8D.0.9解析:设“第一个路口遇到红灯”为事件A,“第二个路口遇到红灯”为事件B,则P(A)=0.5,P(AB)=0.4,则P(B|A)=P(AB)故选C.答案:C要点训练七方程思想方程思想是一种重要的数学思想,用方程思想解题的关键是利用已知条件或公式、定理中的已知结论构造方程(组).这种思想在代数、几何及生活实际中有着广泛的应用.1.设X是一个离散型随机变量,其分布列如下表,则q=()X-101P12q-1qA.112B.712C.12解析:由分布列的性质,可得0≤2q-1答案:B2.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=a2k,k=1,2,3,则P(X=3)=(A.17B.27C.47解析:因为随机变量X的分布列为P(X=k)=a2k(所以a12+14+1所以P(X=3)=87×18=17.答案:A要点训练八转化思想转化思想是解决数学问题的重要思想,数学解题的本质就是转化.如:将实际问题与数学问题互相转化.1.多选题已知随机变量X~N(0.4,σ12),Y~N(0.8,σ22),其正态曲线如图所示,A.P(X≥0.4)=P(Y≥0.8)B.P(X≥0)=P(Y≥0)C.X的取值比Y的取值更集中于平均值左右D.两条正态曲线与x轴之间的区域的面积均为1解析:由已知,得μ1=0.4,μ2=0.8,σ1<σ2.故P(X≥0.4)=P(Y≥0.8)=0.5,故A项正确.由题图可知,在y轴的左侧,随机变量X~N(0.4,σ12)的图象在Y~N(0.8,σ2故P(X≥0)>P(Y≥0).故B项错误.随机变量X~N(0.4,σ12)的图象比Y~N(0.8,σ22)的图象更“瘦高”,故X的取值比Y的取值更集中于平均值左右,显然,两条正态曲线与x轴之间的区域的面积均为1,故D项正确.故选ACD.答案:ACD2.如图所示,曲线C为正态分布N(2,1)的正态曲线的一部分,在正方形中随机投掷1000个点,则落入阴影部分的点的个数的估计值是()参考数据:若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤X≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)≈0.9545.A.136 B.159C.341D.477解析:由题意可知,正态分布N(2,1)在区间[0,1]上取值的概率是题图中阴影部分的面积,则S阴=12×[P(μ-2σ≤X≤μ+2σ)-P(μ-σ≤X≤μ+σ)]≈12×(0.9545-00.1359,故落入阴影部分的点的个数的估计值是1000×0.1359=135.9≈136.故选A.答案:A3.若随机变量X~N(μ,σ2),且P(X>5)=P(X<-1)=0.2,则P(2≤X≤5)=0.3.解析:因为随机变量X~N(μ,σ2),且P(X>5)=P(X<-1)=0.2,所以μ=5+(-1)2=2.所以正态曲线关于直线所以P(-1≤X≤5)=2P(2≤X≤5)=1-0.2-0.2=0.6,所以P(2≤X≤5)=0.3.4.江先生的单位实行的是“朝九晚五”的工作时间,他上班通常乘坐公交或地铁加步行.已知从家到最近的公交站或地铁站都需步行5min,乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1(单位:min)服从正态分布N(33,42),下车后步行再到单位需要12min;乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2(单位:min)服从正态分布N(44,22),下地铁后再步行到单位需要5min.现有下列说法:①若8:00出门,则乘坐公交一定不会迟到;②若8:02出门,则乘坐公交和乘坐地铁上班不迟到的可能性相同;③若8:06出门,则乘坐公交比乘坐地铁上班迟到的可能性大;④若8:12出门,则乘坐地铁比乘坐公交上班迟到的可能性大.则以上说法中正确的序号是②④.参考数据:若Z~N(μ,σ2),则P(μ-σ≤Z≤μ+σ)≈0.6827,P(μ-2σ≤Z≤μ+2σ)≈0.9545,P(μ-3σ≤Z≤μ+3σ)≈0.9973.解析:若8:00出门,江先生乘坐公交,从家到公交站需要5min,下车后再步行到单位需要12min,乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N(33,42),故P(Z1>45)=1-P(21≤Z所以江先生仍有可能迟到,只不过概率很小,故①错误.若8:02出门,江先生乘坐公交.因为从家到公交站需要5min,下车后再步行到单位需要12min,乘坐公交到离单位最近的公交站所需时间Z1服从正态分布N(33,42),故当满足P(Z1≤41)=1-P(25≤Z1≤41)2+若8:02出门,江先生乘坐地铁.因为从家到地铁站需要5min,下地铁后再步行到单位需要5min,乘坐地铁到离单位最近的地铁站所需时间Z2服从正态分布N(44,22),故当满足P(Z2≤48)=1-P(40≤Z2≤48)2+此时两种上班方式江先生不迟到的概率相等,故②正确.类似可得,若8:06出门,则乘坐公交比乘坐地铁上班迟到的可能性小,故③错误.若8:12出门,则乘坐地铁比乘坐公交上班迟到的可能性大,故④正确.故答案为②④.随机变量及其分布的综合问题改革开放以来,人们的支付方式发生了巨大转变.近年来,移动支付已成为主要支付方式之一.为了解某校学生上个月A,B两种移动支付方式的使用情况,从全校学生中随机抽取了100人,发现样本中A,B两种支付方式都不使用的有5人,样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下:支付方式支付金额/元(0,1000](1000,2000]大于2000仅使用A18人9人3人仅使用B10人14人1人(1)从全校学生中随机抽取1人,估计该学生上个月A,B两种支付方式都使用的概率.(2)从样本仅使用A和仅使用B的学生中各随机抽取1人,以X表示这2人中上个月支付金额大于1000元的人数,求X的分布列和均值.(3)已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化.现从样本仅使用A的学生中,随机抽查3人,发现他们本月的支付金额都大于2000元.根据抽查结果,能否认为样本仅使用A的学生中本月支付金额大于2000元的人数有变化?说明理由.解:(1)由题意,得从全校所有学生中随机抽取的100人中,A,B两种支付方式都不使用的有5人,仅使用A的有30人,仅使用B的有25人,所以A,B两种支付方式都使用的人数为100-5-30-25=40①, ………1分所以从全校学生中随机抽取1人,该学生上个月A,B两种支付方式都使