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文档简介

一.判断题〔正确打√,错误打×〕1.假设都是的解,那么是的一个解.(√)解答:因为都是的解,所以,.于是,所以是的一个解.注:设都是的解,为任意常数,那么当时,是的解;当时,是的解.2.方程组根底解系的个数等于.(×)解答:正确定义:方程组根底解系所含解向量的个数等于.3.假设方程组有非零解,那么方程组必有无穷多解.(×)解答:正确命题:假设方程组有非零解,那么当方程组有解时,必有无穷多解.反例:方程组有非零解,但方程组无解.4.与为同解方程组.(√)解答:设为的解,那么,于是,所以也是的解;反之,如果为的解,那么,记,于是,所以,所以,所以也是的解,所以与为同解方程组.注:此题也说明.5.方程组有无穷多个解的充分必要条件是至少有两个不同的解.(√)解答:方法一如果方程组有无穷多个解,显然至少有两个不同的解.反之,如果方程组至少有两个不同的解,那么,并且都是的解,其中为任意常数,所以有无穷多个解,而有解,所以有无穷多个解.方法二非齐次方程组的解只有三种情形:无解、唯一解、无穷多解,所以有无穷多解的充分必要条件是至少有两个不同的解.二.单项选择题1.设为阶方阵,且,是的两个不同的解向量,为任意常数,那么的通解为(C).〔A〕;〔B〕;〔C〕;〔D〕.解答:因为为阶方阵,,所以的根底解系含个解向量.而是的线性无关解,所以的通解为.注意:(D)错误的原因是假设,那么,不能做根底解系.2.当(D)时,齐次线性方程组一定有非零解.〔A〕;〔B〕;〔C〕;〔D〕.解答:如果,,所以存在非零解.3.方程组的系数矩阵记为,假设存在三阶方阵,使得,那么(A).〔A〕且;〔B〕且;〔C〕且;〔D〕且.解答:记,因为,所以,即都是的解,而,至少存在一个,所以存在非零解,所以系数行列式,所以,此时的系数矩阵为,,所以的根底解系含个解向量,所以线性相关,所以.〔或者,假设那么存在,由可得,矛盾!〕注:意味着矩阵的列向量都是方程组的解向量.4.设为阶奇异方阵,中有一元素的代数余子式,那么方程组的根底解系所含向量个数为(B).〔A〕;〔B〕;〔C〕;〔D〕.解答:因为为奇异方阵,所以,又因为,中有一元素的代数余子式,即中存在非零的阶子式,所以,所以方程组的根底解系所含向量个数为.5.设是的三个解向量,,,,为任意常数,那么的通解为(C).〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕解答:显然方程组有解,并且,所以.因此只要求出的一个非零解即可得到的通解.而,并且,所以的通解为,应选〔C〕.6.〔2023考研题〕设为矩阵,是非齐次线性方程组的3个线性无关的解,为任意常数,那么的通解为(C).〔A〕;〔B〕;〔C〕;〔D〕.解答:由是非齐次线性方程组的3个线性无关的解,知是的根底解系,是的特解,所以选〔C〕.三.填空题1.设四阶方阵且,那么方程组的一个解向量为.解答:因为,所以方程组的一个解向量为.2.方程的通解为.解答:因为系数矩阵,所以,,因此,显然是的一个特解,所以的通解为.或者简单地:方程的通解为,其中为任意实数.3.设方程组有解,那么其增广矩阵的行列式=0.解答:因为方程组有解,所以,所以.或者因为方程组有解,所以向量可由的列向量线性表示,所以.4.是3阶矩阵,,假设的每行元素和都是零,那么方程组的通解为.解答:因为是3阶矩阵,,所以.又因为的每行元素和都是零,所以,于是方程组的通解为.5.方程组无解,那么-1.解答:由于所以当时方程组有唯一解;1.求齐次线性方程组的一个根底解系.解答:方程组的系数矩阵,所以所以一个根底解系为,..解答:因为所以,故方程组只有零解.3.求方程组与的非零公共解.解答:构造方程组,因为方程组系数矩阵,所以两个方程组的非零公共解,其中.4.解矩阵方程.解答:设,由得到两个方程组及,注意到两个方程组的系数矩阵一样,所以记,所以的通解为;的通解为.所以,其中是任意常数.5.设,,.如果是方程组的一个解,求的通解.解答:由题知,得,故(1)假设,那么,,有无穷多解,通解为,为任意常数.〔2〕假设,那么,有无穷多解,通解为,为任意常数.6.,,,,讨论当为何值时:〔1〕可由线性表示,且表示法唯一;〔2〕可由线性表示,但表示法不唯一,并给出表示式;〔3〕不能由线性表示.解答:考虑方程组,因为,所以当时,可由线性表示,且表示法唯一.当时,方程组变为,通解为,所以,其中为任意实数.当时,增广矩阵为,增广矩阵的秩为3,系数矩阵的秩为2,所以不能由线性表示.,.线性方程组存在两个不同的解,〔1〕求;〔2〕求方程组的通解.解答:〔1〕因为方程组存在两个不同的解,所以,所以.当时,,,方程组无解;舍去当时因有解,所以.〔2〕当,时,,通解为,即,为任意实数.五.证明题1.设为矩阵,,为非齐次线性方程组的两个不同解,为对应的齐次线性方程组的一个非零解,证明:〔1〕向量组,线性无关;〔2〕假设,那么向量组,,线性相关.证明〔1〕因为,为非齐次线性方程组的两个不同解,所以为的一个非零解.设,〔1〕〔1〕式两边左乘得,

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