第三章-3.4-第1课时

2023/12/26第三章3.4第1课时学习目标1.理解基本不等式的内容及证明.2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小.3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一算术平均数与几何平均数思考如图，AB是圆O的直径，点Q是AB上任一点，AQ＝a，BQ＝b，过点Q作PQ垂直于AB且交圆O于点P，连接AP，PB.如何用a，b表示PO，PQ的长度？算术几何知识点二基本不等式及其常见推论[思考辨析判断正误]√××题型探究例1

证明不等式a2＋b2≥2ab(a，b∈R).类型一常见推论的证明证明证明∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，∴a2＋b2≥2ab.证明证明由例1，得a2＋b2≥2ab，∴2(a2＋b2)≥a2＋b2＋2ab，反思与感悟作差法与不等式性质是证明中常用的方法.跟踪训练1

已知a，b，c为任意的实数，求证：a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.证明证明∵a2＋b2≥2ab；b2＋c2≥2bc；c2＋a2≥2ca，∴2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)，即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.类型二用基本不等式证明不等式证明证明∵x，y都是正数，当且仅当x＝y时，等号成立.证明证明∵x，y都是正数，∴(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)(2)(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3.即(x＋y)(x2＋y2)(x3＋y3)≥8x3y3，当且仅当x＝y时，等号成立.反思与感悟利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.(2)注意事项：①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；③对不能直接使用基本不等式的证明可重新组合，形成基本不等式模型，再使用.跟踪训练2

已知a，b，c都是正实数，求证：(a＋b)(b＋c)·(c＋a)≥8abc.证明证明∵a，b，c都是正实数，即(a＋b)(b＋c)(c＋a)≥8abc，当且仅当a＝b＝c时，等号成立.类型三用基本不等式比较大小例3某工厂生产某种产品，第一年产量为A，第二年的增长率为a，第三年的增长率为b，这两年的平均增长率为x(a，b，x均大于零)，则答案√解析解析第二年产量为A＋A·a＝A(1＋a)，第三年产量为A(1＋a)＋A(1＋a)·b＝A(1＋a)(1＋b).若平均增长率为x，则第三年产量为A(1＋x)2.依题意有A(1＋x)2＝A(1＋a)(1＋b)，∵a＞0，b＞0，x＞0，答案解析√解析∵a＞b＞1，∴lga＞lgb＞0，综合①②，有P<Q<R.达标检测答案1234√5解析答案解析12345√解析对于A，当x≤0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不成立；对于D，当x<0时，不成立；1234答案解析5√解析因为a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又因为a，b，c，d均大于0且不相等，1234答案解析54.lg9×lg11与1的大小关系是A.lg9×lg11>1 B.lg9×lg11＝1C.lg9×lg11<1 D.不能确定√解析∵lg9>0