大学物理答案第15章

第十五章机械振动15-1一简谐振动的振幅，周期T=0.5s,初相．试写出振动方程；并作出该振动的ｘ-t，v-t，a-t曲线．分析振动方程的根本形式为．通过作曲线,进一步了解v、a表达式的意义以及x、v、a间的相位关系．解振动方程为v/10-2m/s8π.....t/s.00.250.5-8π〔b〕x/10-2m.....t/s.00.250.5-2〔a〕ｘ-t，v-t，a-t曲线分别如图15-1〔a〕、〔b〕和〔c〕所示．a/10-2m/s232π2......t/s.00.250.5-32π2〔c〕图15-115-2一弹簧支持的椅子构成在太空测量人体失重状态下质量的装置——人体称重器．飞船进入空间轨道时，宇航员坐在椅子上测出振动周期．(1)如为宇航员的质量，m为人体称重器中的有效质量(如椅子等)，试证明其中T是振动周期，k是弹簧的劲度系数；(2)现k=605.6N/m，椅子空着时的振动周期T=0.9015s,求有效质量m；(3)在太空，宇航员坐在椅子上,测出振动周期为2.299s,求宇航员在失重状态下的质量．分析当宇宙飞船在空间轨道上绕地球旋转自由运行时，地球对飞船及飞船上所有物体的引力就是使它们作圆周轨道运动的向心力，于是飞船及飞船上所有物体如果处于相对静止状态，相互之间就不存在作用力，就不能用地面上通常使用的质量或重量测量仪器进行测量．考虑到无外力作用时，弹簧振子振动周期决定于弹簧劲度系数以及物体质量，如果弹簧劲度系数，通过测量振动周期可测出物体质量．解(1)弹簧振子系统振动周期为(1)宇航员的质量为(2)椅子空着时，，由(1)式得(3)15-3一质量为0.20kg的质点作简谐振动，其振动方程为x=0.60cos(5t-π/2),其中x以m为单位,t以s为单位．求：(1)质点的初速度；(2)质点在正向位移一半处所受的力．分析物体振动速度,物体所受恢复力,方向指向平衡位置.解(1)据，得当t=0时，得v0=3m/s(2)正向最大位移一半处，x=0.30m，所受的力为方向指向平衡位置.15-4一物体沿x轴作简谐振动,振幅为0.12m,周期为2s,当t=0时,位移为0.06m,且向x轴正方向运动.求(1)该物体的振动方程;(2)t=0.5s时,物体的位置、速度、加速度；〔3〕在x=-0.06m处,且向x轴负方向运动时,物体的速度、加速度，以及物体从这一位置回到平衡位置所需的时间.分析求解振动方程的难点是确定振动物体的初相．初相取决于计时起点t=0时物体的位置和速度．确定初相可用三角函数法或旋转矢量法．解(1)振幅为A=0.12m，角频率为rad/s，t=0时初始位置和初速度分别为x0=Acos=0.06〔1〕v0=>0〔2〕从(1)式得Ox图15-4得从〔2〕式得，所以应取此外，由t=0时初始位置和初速度可以确定其旋转矢量如图15-4所示，即．振动方程为(2)t=0.5s时，x==0.104mv(3)在=-0.06m处，物体向x轴负向运动时，设，那么m(3)v1<0(4)从(3)式得解得〔n=0,1,2…〕又从(4)式得应取〔n=0,1,2…〕故设回到平衡位置时,那么(5)v2>0(6)从(5)式得或(n=1,2…)从(6)式得<0应取(n=1,2…)回到平衡位置所需时间t0AA-0.12Ox图15-515-5一个质点作简谐振动,其振动方程为x=0.24cos(πt/2+π/3)m，其中x以m计,t以s计．试用旋转矢量法求出质点由初始状态运动到x=-0.12m,v<0状态所需的最短时间.分析根据振动方程,初相为，即当=0时旋转矢量A与Ox轴夹角为,当处于x=-0.12m,v<0状态时，A与Ox轴夹角为，如图15-5所示．因此，A沿逆时针方向从位置转到新位置偏转过的最小角度为，转过此角度所需时间即为所求．解如图15-5所示,时刻的相位为A沿逆时针方向从位置转过角度所需的时间为15-6作简谐振动的单摆在一个周期内的几个运动状态如图15-6所示.(1)假设以(a)图所示的状态为计时起点；(2)假设以(b)图所示的状态为计时起点，问单摆的初相位和其它各图所示状态的相位各为何值?分析应从此题得出的结论是:初相与计时起点(即初始条件)有关;相位与与计时起点无关而与振动物体的瞬时状态有关.解(1)以图(a)状态为计时起点，t=0时得，因此对图(b)有(1)(2)从(1)式得从(2)式得>0所以图(b)的相位应取同理，对图(c)对图(d)(a)(b)(c)(d)θ最大,θ=0,为负最大θ为负最大,θ=0,最大图15-6(2)以图(b)状态为计时起点，t=0时，有(3)(4)(3)式(4)式联立,解得同理，对图(c)对图(d)对图(a)15-7一物块在水平面上作简谐振动，振幅为0.1m，在距平衡位置0.06m处速度为0.4m/s，(1)求振动周期；(2)当速度为0.12m/s时,位移为多少?(3)假设有另一物体置于该振动物块之上，当物块运动至端点时正好滑动，问摩擦系数为多大?分析当所讨论问题涉及物体正好要滑动的条件时，由于物体尚未滑动，所受摩擦力仍为静摩擦力，静摩擦力方向与物体运动趋势方向相反．解(1)设物块的振动方程为物块位于m时,速度v1=0.4m/s,即x1=A=0.06m(1)v1==0.4m/s(2)以上两式平方相加,代入A=0.1m，解得rad/ss(2)由v2==±0.12得那么位移为x2=0.1=±9.7×10-2mFmaxFf.Oxmx图15-7(3)物块运动至端点时正好物体开始滑动，即最大恢复力等于最大静摩擦力，物块受力如图15-7所示，因最大静摩擦力，最大恢复力，得15-8一个轻弹簧在60N的拉力作用下可伸长30cm,将一物体悬挂在弹簧下端,并在它上面放一小物体,它们的总质量为4kg,待其静止后再把物体向下拉10cm,然后释放.问(1)此小物体是停在振动物体上还是离开它?(2)如果使放在振动物体上的小物体与振动物体别离,那么振幅A需满足什么条件?二者在何位置开始别离?FNxmg图15-8分析根据胡克定律，由弹簧在外力作用下的形变量可以求出弹簧的劲度系数．当两物体脱离接触时,它们之间的正压力等于零，以此为条件可以判断小物体是否停在振动物体上．解(1)根据胡克定律，得由定义得弹簧、物体和小物体组成一个弹簧振子系统，把物体下拉10cm后释放，故该弹簧振子的振幅为A=0.1m．设小物体质量为m，小物体随系统一起运动，最大加速度为，小物体受力情况如图15-8所示，当达最高点时，所受物体的正压力有最小值，即(1)当A=0.1m时，得即FN>0,因而小物体仍停留在振动物体上．(2)两物体脱离接触条件为，代入(1)式得即振幅大于0.196m，两物体将在平衡位置上方别离，别离的位置即在0.196m处．15-9如图15-9〔a〕所示，在一个倾角为θ的光滑斜面上，固连一原长为L，劲度系数为k，质量忽略不计的弹簧，弹簧与质量为m的重物相连，求重物作简谐振动的平衡位置和周期．分析平衡位置是系统所受合外力为零的位置.在建立振动方程时，一般都把取平衡位置为坐标原点．放在斜面上的弹簧振子处于静止状态时，物体所受弹簧的弹性力与重力沿斜面向下的分量大小相等，方向相反．kFNFmmg(a)(b)图15-9解弹簧和物体组成一个弹簧振子系统．物体受力情况如图15-9〔b〕所示.设在平衡位置弹簧的伸长量为，有解得即处于平衡位置时弹簧长度为.根据定义，弹簧振子系统作简谐振动的角频率为周期为15-10如图15-10(a)所示，密度计玻璃管的直径为d，浮在密度为ρ的液体中．假设在竖直方向轻轻推一下，任其自由振动，试证明：假设不计液体的沾滞阻力，密度计的运动是简谐振动；设密度计的质量为m,试求振动周期．分析假设物体运动为简谐振动，应该具有如下特征：物体所受合外力与位移成正比而方向相反，即加速度与位移成正比而方向相反；或者位移是时间的余弦函数或正弦函数．dFBmgx(a)(b)图15-10解密度计受力分析如图15-10(b)所示．设密度计截面积为S,当处于平衡状态时，设浸入水中局部高度为h,浮力那么为，有(1)取平衡位置为坐标原点，向下为x轴正向，当密度计向下位移为x时，有(2)由(1)和(2)式得即加速度与位移成正比而方向相反，因此运动为简谐振动，且有15-11如图15-11，劲度系数为k的轻弹簧上端与质量为m的平板相连，下端与地固连．另一质量为的物体，从h高处自由落下，与平板发生完全非弹性碰撞后一起运动.假设以平板开始运动为计时起点，取向下为坐标正向，求振动的周期，振幅和初相位．分析与m发生完全非弹性碰撞后一起运动，与轻弹簧组成振动系统，平衡位置是(+m)所受合外力为零的位置，并选取为坐标原点．以发生碰撞后平板开始运动为计时起点，此时平板m的坐标就是系统的初位移，碰后(+m)的共同速度v0就是系统的初速度，而且可以依据碰撞中动量守恒求出．解自由下落,以的速度与m发生完全非弹性碰撞，设碰后+m的共同速度为v0，方向向下，应用动量守恒定律，得mˊhmOx图15-11v0v0、m和弹簧组成振动系统，设+m所受合外力为零时，弹簧的压缩量为，此位置是系统的平衡位置，那么有(1)取系统的平衡位置为坐标原点，向下为x轴正向，当+m位移为x时，有(2)由(1)和(2)式得且有取与m相碰的瞬间为振动的初始时刻t=0，有即(3)(4)(3)与(4)式联立，得振动的周期和初相位分别为又因在第三象限,那么15-12弹簧下端挂一物体后,弹簧伸长量为m,假设令物体上下振动,(1)求振动周期;(2)使其在平衡位置上方0.1m处由静止开始运动,求振幅、初相及振动方程.(3)使其在平衡位置以0.8m/s向上的初速度开始运动,求振幅、初相及振动方程.分析计算结果说明，同一系统在不同初始条件下的振动方程不同．解(1)设挂上物体达平衡时弹簧的伸长量为,根据胡克定律和平衡条件有由定义得rad/ss(2)如图15-12所示，取平衡位置为坐标原点,向上为x轴正向.初始条件为：t=0时,x0=0.1mv0=0，即〔1〕〔2〕x图15-12由(1)和(2)式联立解得振动方程为m(3)初始条件为：t=0时，x0=0v0=0.8，即〔3〕〔4〕由(3)和(4)式联立解得A=0.08m从(3)式得或从(4)式得所以取振动方程为m15-13如图15-13〔a〕所示的弹簧,其一端固定在天花板上,另一端挂着质量都是1.0kg的两个物体A和B.当物体静止时,弹簧伸长量为m,如果物体B突然脱落掉下,不计弹簧质量,(1)求物体A的振动周期；(2)假设从物体B脱落时开始计时,求物体A的振幅、初相和振动方程.分析虽然弹簧下悬挂着两物体,但由于物体B脱落，振动系统实为弹簧和物体A组成.据题意,物体B脱落之时ｔ＝0，因此物体A的位置为系统的初始位置，且物体B从静止状态脱落，系统初速度为0.解物体B脱落之前，两个物体A和B处于重力和弹簧的弹性力作用下的平衡状态，弹簧伸长量为，那么AAxB(a)(b)图15-13物体B脱落后，物体A和弹簧组成弹簧振子系统，设平衡位置处弹簧伸长量为，那么(1)取平衡位置为坐标原点，向下为x轴正向，如图15-13〔b〕所示，当物体A位移x时，应用牛顿第二定律，得(2)由(1)和(2)式得由定义得时，物体B脱落，有即(3)(4)(3)和(4)式联立解得m从(3)式,满足(4)式,所以振动方程为m讨论:(1)我们现在是取向下为x轴正向，如果取向上为正，那么初相为，振动方程有所不同．这就是解题中强调要给出坐标取向的理由.(2)如果A、B质量不等，例如，会有不同的值，那么初始条件不同，将导致振动特征参量的改变．15-14如图15-14〔a〕所示,一质量可忽略的盘挂在劲度系数为k的轻弹簧之下，一质量为m的物体自h高处自由下落至盘中，并与盘粘在一起作简谐振动.设m=0.1kg，k=4.9N/m，h=0.3m，假设以物体刚落至盘中时为计时起点，求系统的振动方程．解如图15-14(b),弹簧、质量为m的物体和盘组成振动系统．取平衡位置为坐标原点,向上为x轴正向．平衡时弹簧伸长为，平衡方程为(1)当盘的位移为x时，应用牛顿第二定律，得(2)xmhm(a)(b)图15-14由(1)和(2)式，得由定义得rad/s质量为m的物体与盘相碰时,t=0，弹簧伸长量为相碰时，物体下落速度为，忽略盘质量，应用动量守恒定律，碰后物与盘的共同速度方向向下，大小为即x0==0.2m(3)<0(4)(3)和(4)式联立解得=0.4m从(3)式得，．从(4)式得，所以应取振动方程为m15-15单摆长为,小球质量为m,带有电荷+q,悬挂在场强大小为E、方向由左向右的均匀电场中，如图15-15〔a〕所示.(1)求小球处在平衡位置时悬线与竖直向下方向所成的角；(2)假设单摆对平衡位置的偏角很小,求单摆的周期.分析由于带电小球受到均匀电场的电场力作用，合外力为零的平衡位置将与铅垂位置有一偏角．解(1)如图15-15〔b〕所示,小球受重力mg、静电力和张力FT作用，设平衡位置偏角为，那么FTqEmg〔a〕〔b〕图15-15(1)(2)当摆线从平衡位置偏离角时,与铅垂位置偏角为，应用牛顿第二定律，得小球切向运动微分方程为(2)由(1)式可得代入(2)式，得应用三角函数公式，得当很小时，，得说明角加速度与角位移成正比，且方向相反，因此小球作简谐振动，并得15-16劲度系数分别为和的两根弹簧串在一起,竖直地悬挂着,下面挂一质量为m的小球,作成一个在竖直方向振动的弹簧振子.试求其振动周期.k2k1x1k1xmgm图15-16分析这是两根弹簧串联(首尾相连)的问题．处理这类连接体问题仍要用隔离物体法．当两弹簧质量均可忽略时，无论处于运动或静止状态，两弹簧中的弹性力相等，并等于相互作用力．解两根串联弹簧和小球组成振动系统.隔离物体,对小球作受力分析如图15-16所示．取平衡位置为坐标原点，向下为轴正向．设平衡时弹簧1的伸长量为，弹簧2的伸长量为，小球受力平衡方程为(1)两弹簧连接处相互作用力等大而反向，即(2)小球相对于平衡位置下移x时，设弹簧1伸长量为，弹簧2伸长量为，应用牛顿第二定律，得(3)两弹簧连接处相互作用力等大而反向，即，因，得代入(3)式得(4)由(1)和(4)式，得说明加速度与位移成正比，且方向相反，因此小球作简谐振动，并得15-17两弹簧劲度系数分别为=1N/m,=3N/m.在光滑的水平面上将此二弹簧分别连接到质量为m=0.1kg的物体的两端，弹簧的其余两端分别固定在支柱及上,如图15-17所示.今使物体有一向右初位移,向右初速度,(1)试证物体作简谐振动;(2)求振动方程(设物体在振动中,两弹簧始终处于被拉伸状态).分析当物体运动时，两弹簧的形变量大小相同，并等于物体的位移量．P1k1mk2P2x图15-17解以物体为研究对象,受力如图15-17所示.设平衡时两弹簧伸长量分别为、，有(1)取平衡位置为坐标原点，向右为x轴正向．当物体向右位移为x时，应用牛顿第二定律，得(2)由(1)和(2)式得由定义，得t=0时，即=(3)v0=>0(4)(3)和(2)式联立，解得=2×10-2m从(3)式得，，从(4)式得<0，那么应取所以振动方程为15-18某简谐振动的振动曲线如图15-18(a)，试求此简谐振动的振动方程.x/mA(t=0)A(t=1s)2ω12π/301t/s-2-1Ox-1-2(a)(b)图15-18分析振动曲线是振动物体位移x与时间t的关系曲线．从振动曲线上可得出振幅和初始条件．由图15-18(a)可以看出，当t稍大于零时，物体将向x轴负向运动，所以物体初速度v0<0．由旋转矢量图可以比拟容易地确定振动的角频率，即旋转矢量1s内转过的角度便是角频率．解由图15-18(a)看出，A=2m，．t=1s时的位移和速度分别为=0(1)v1=<0(2)(1)式给出cos=0，得，显然满足(2)式,即为1s时的相位.旋转矢量图如图15-18(b)所示，t=0时的旋转矢量为,可以看出，1s内A沿逆时针方向转过的角度即角频率为振动方程为mx(1)Ot(2)图15-1915-19(1)、〔2〕两个简谐振动的周期相同,振动曲线如图15-19.求(1)、〔2〕两个简谐振动的相位差.分析根据振动曲线可以判断指定点的相位．假设两振动的相位差，通常说，振动2的相位比振动1超前或振动1的相位比振动2落后． 解从图15-19知,振动(1)的初始条件是=0(1)v0=(2)由(1)式得由(2)式得那么振动(1)的初相应取 振动(2)的初始条件是=A(3)v0==0(4)由(3)式得，满足(4)式，即为振动(2)的初相． 因两振动的角频率相同,所以振动(1)与振动(2)相位差为,且振动(1)比振动(2)相位落后．15-20一质量为0.1kg的物体作振幅为0.01m的简谐振动,最大加速度为0.04.试求(1)振动的周期;(2)总的振动能量;(3)物体在何处时,其动能和势能相等?分析作简谐振动的弹簧振子系统机械能守恒,动能和势能都随时间周期变化且相互转换，这是系统运动过程中只有重力、弹性力等保守力作功，外力和非保守内力不作功的条件下才成立的．实际的振动系统起码要受到阻力作用,因而必定有能量的损耗，系统机械能不守恒．解(1)由得(2)总振动能量为(3)设动能和势能相等时,物体距平衡位置x远,那么又由得15-21质点作简谐振动,振动频率为,那么振动