浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题（解析版）

PAGEPAGE1浙江省宁波市2024届高三上学期高考模拟考试数学试题一､选择题1.已知（，为虚数单位），若是实数，则（）A. B.C. D.【答案】A【解析】因为是实数，所以，故选：A.2.设集合，集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】因为，所以，，，因为，所以，故选：B3.若是夹角为的两个单位向量，与垂直，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意有，又因为与垂直，所以，整理得，解得.故选：B4.已知数列为等比数列，且，则（）A.的最小值为50 B.的最大值为50C.的最小值为10 D.的最大值为10【答案】C【解析】由题意，在等比数列中，，设公比为，则，∴，当且仅当即时等号成立，∴的最小值为10，故选：C.5.已知函数的零点分别为，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】令，可得，所以，即；令，可得，即，所以，即；令，可得，由此可得，所以，即，作的图象，如图，由图象可知，，所以.故选：D6.设为坐标原点，为椭圆的焦点，点在上，，则（）A. B.0 C. D.【答案】C【解析】如下图所示：不妨设，根据椭圆定义可得，；由余弦定理可知；又因为，所以，又，即可得，解得；又，即；所以可得；故选：C.7.已知二面角的大小为，球与直线相切，且平面、平面截球的两个截面圆的半径分别为、，则球半径的最大可能值为（）A. B. C. D.【答案】D【解析】设点在平面、平面内的射影点分别为、，设球切于点，连接、、，如下图所示：因为平面，平面，则，由球的几何性质可知，，因为，、平面，则平面，同理可知，平面，因为过点作直线的垂面，有且只有一个，所以，平面、平面重合，因为平面，平面，则，同理可知，，所以，、、、四点共圆，由已知条件可知，，，因平面，、平面，则，，所以，二面角的平面角为或其补角.①当时，由余弦定理可得，故，易知，为外接圆的一条弦，所以，球半径的最大值即为外接圆的直径，即为；②当时，由余弦定理可得故，易知，为外接圆的一条弦，所以，球半径的最大值即为外接圆的直径，即为.综上所述，球的半径的最大可能值为.故选：D.8.已知函数，若不等式在上恒成立，则满足要求的有序数对有（）A.0个 B.1个 C.2个 D.无数个【答案】B【解析】由题意若不等式在上恒成立，则必须满足，即，由，两式相加得，再由，两式相加得，结合（4），（5）两式可知，代入不等式组得，解得，经检验，当，时，，有，，满足在上恒成立，综上所述：满足要求的有序数对为：，共一个.故选：B.二､多选题9.已知，则下列说法正确的是（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】对于A，取,则，则A正确；对B，根据二项式展开通式得的展开式通项为，即，其中所以，故B正确；对C，取，则，则，故C错误；对D，取，则，将其与作和得，所以，故D正确；故选：ABD.10.设O为坐标原点，直线过圆的圆心且交圆于两点，则（）A. B.C.的面积为 D.【答案】BC【解析】由圆的方程，则，所以圆心，半径，易知，故A错误；将代入直线方程，则，解得，故B正确；将代入直线方程，整理可得直线方程，原点到直线的距离，且此为底上的高，所以，故C正确；由与，则直线的斜率，由直线方程，则直线斜率，由，则与不垂直，故D错误.故选：BC.11.函数在区间上为单调函数，且图象关于直线对称，则（）A.将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象关于y轴对称B.函数在上单调递减C.若函数在区间上没有最小值，则实数的取值范围是D.若函数在区间上有且仅有2个零点，则实数a的取值范围是【答案】AB【解析】由题意且，可得，，故当时，，.对A，函数的图象向右平移个单位长度可得，故函数图象关于y轴对称，故A正确；对B，当时，，所以函数单调递减，故B正确；对C，当时，，函数在区间上没有最小值，则需，即，故C错误；对D，由C，函数在区间上有且仅有2个零点，则，即，故D错误.故选：AB12.已知函数：，对任意满足的实数，均有，则（）A. B.C.是奇函数 D.是周期函数【答案】AC【解析】由，令，则，即，因为，所以，故A正确；令，，则，即，即，所以，即，所以函数是奇函数，故C正确；令，则，由AC选项，不妨设，则，，满足，而BD选项不满足，故BD错误.故选：AC.三､填空题13.已知角的顶点为坐标原点，始边与轴的非负半轴重合，终边过点，则___________.【答案】【解析】由题意结合三角函数定义可知，从而由诱导公式有.故答案为：.14.已知圆台的上､下底面半径分别为1和2，体积为，则该圆台的侧面积为___________.【答案】【解析】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为；设圆台的高为，由体积可得，解得，所以可得圆台母线长为，根据侧面展开图可得圆台侧面积为.故答案为：15.第33届奥运会将于2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举行.某田径运动员准备参加100米､200米两项比赛，根据以往赛事分析，该运动员100米比赛未能站上领奖台的概率为，200米比赛未能站上领奖台的概率为，两项比赛都未能站上领奖台的概率为，若该运动员在100米比赛中站上领奖台，则他在200米比赛中也站上领奖台的概率是___________.【答案】【解析】设在200米比赛中站上领奖台为事件，在100米比赛中站上领奖台为事件，则，，，，则，则，故.故答案为：.16.已知抛物线Γ：与直线围成的封闭区域中有矩形，点A，B在抛物线上，点C，D在直线上，则矩形对角线长度的最大值是___________.【答案】4【解析】如图所示：联立，解得或，得抛物线Γ与直线的两个交点分别为，由题意四边形是矩形，故，且注意到所以不妨设，又，所以，所以由图可知，联立，因此，而，由两平行线间的距离公式可知，从而，所以当且仅当时，长度取最大值是.故答案为：4.四､解答题17.在中，角、、所对的边分别为、、，已知.（1）证明：；（2）若，，求的面积.（1）证明：因为，由正弦定理得，即，即，故，因为、，所以，则，所以，，所以，或（舍），因此.（2）解：因为，故，由，因为，故，所以.18.已知数列满足，且对任意正整数m，n都有（1）求数列的通项公式；（2）求数列的前n项和.解：（1）由对任意整数均有，取，得，当时，，当时，，符合上式，所以.（2）当为偶数时，，当为奇数时，若，则，若，则，且当时，满足.综上所述：.19.如图，已知正方体的棱长为4，点E满足，点F是的中点，点G满足（1）求证：四点共面；（2）求平面与平面夹角的余弦值.（1）证明：法1：如图，取中点，分别连接，因为为中点，所以，且，所以四边形为平行四边形，所以，由知，由知，所以，所以，所以，所以四点共面；法2：如图，以为原点，建立空间直角坐标系，则，因为，所以，所以，所以四点共面；（2）解：由（1）知，，设平面法向量为，由，即，可取，平面的法向量，则有，可取，设平面与平面夹角为，则，所以平面EFG与平面夹角的余弦值为.20.已知函数（e为自然对数的底数，）.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，（1）解：，当时，，在上单调递减；当时，由可得，故时，，时，，所以在上单调递减，在上单调递增.（2）证明：由（1）知，，只需证，即证，设，则，故时，，时，，所以在上递减，在上递增，所以，又，故，即成立，所以原不等式成立.21.某中学在运动会期间，随机抽取了200名学生参加绳子打结计时的趣味性比赛，并对学生性别与绳子打结速度快慢的相关性进行分析，得到数据如下表：性别速度合计快慢男生65女生55合计110200（1）根据以上数据，能否有99%的把握认为学生性别与绳子打结速度快慢有关？（2）现有n根绳子，共有2n个绳头，每个绳头只打一次结，且每个结仅含两个绳头，所有绳头打结完毕视为结束.（i）当，记随机变量X为绳子围成的圈的个数，求X的分布列与数学期望；（ii）求证：这n根绳子恰好能围成一个圈的概率为附：0.1000.0500.0250.010k2.7063.8415.0246.635（1）解：依题意，完善列联表如下，性别速度合计快慢男生6535100女生4555100合计11090200所以.故有的把握，认为学生性别与绳子打结速度快慢有关.（2）（i）解：由题知，随机变量的所有可能取值为，，，所以的分布列为123所以.（ii）证明：不妨令绳头编号为，可以与绳头1打结形成一个圆的绳头除了1，2外有种可能，假设绳头1与绳头3打结，那么相当于对剩下根绳子进行打结，令根绳子打结后可成圆的种数为，那么经过一次打结后，剩下根绳子打结后可成圆的种数为，由此可得，，所以，所以，显然，故；另一方面，对个绳头进行任意2个绳头打结，总共有；所以22.已知双曲线C：的焦距为6，其中一条渐近线的斜率为，过点的直线l与双曲线C的右支交于P，Q