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文档简介
2024届安徽省天长市高三数学第一学期期末经典模拟试题请考生注意:1.请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上,请用0.5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2.答题前,认真阅读答题纸上的《注意事项》,按规定答题。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.下列与的终边相同的角的表达式中正确的是()A.2kπ+45°(k∈Z) B.k·360°+π(k∈Z)C.k·360°-315°(k∈Z) D.kπ+(k∈Z)2.已知点、.若点在函数的图象上,则使得的面积为的点的个数为()A. B. C. D.3.若集合,,则=()A. B. C. D.4.圆柱被一平面截去一部分所得几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为()A. B. C. D.5.函数在的图象大致为A. B.C. D.6.已知是等差数列的前项和,,,则()A.85 B. C.35 D.7.《九章算术》勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈,葭生其中,出水两尺,引葭赴岸,适与岸齐,问水深,葭各几何?”,其意思是:有一个直径为一丈的圆柱形水池,池中心生有一颗类似芦苇的植物,露出水面两尺,若把它引向岸边,正好与岸边齐,问水有多深,该植物有多高?其中一丈等于十尺,如图若从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为()A. B. C. D.8.给出个数,,,,,,其规律是:第个数是,第个数比第个数大,第个数比第个数大,第个数比第个数大,以此类推,要计算这个数的和.现已给出了该问题算法的程序框图如图,请在图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句,使之能完成该题算法功能()A.; B.;C.; D.;9.已知函数,则的值等于()A.2018 B.1009 C.1010 D.202010.若复数z满足,则()A. B. C. D.11.函数的值域为()A. B. C. D.12.下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案,形若铜钱,寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点,则该点取自阴影区域内(阴影部分由四条四分之一圆弧围成)的概率是()A. B. C. D.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.已知函数是偶函数,直线与函数的图象自左向右依次交于四个不同点A,B,C,D.若AB=BC,则实数t的值为_________.14.直线是曲线的一条切线为自然对数的底数),则实数__________.15.已知函数,若在定义域内恒有,则实数的取值范围是__________.16.直线与抛物线交于两点,若,则弦的中点到直线的距离等于________.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),曲线的极坐标方程为.(Ⅰ)求直线的普通方程及曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)设点,直线与曲线相交于,,求的值.18.(12分)已知在中,角,,的对边分别为,,,且.(1)求的值;(2)若,求面积的最大值.19.(12分)已知椭圆C:(a>b>0)的两个焦点分别为F1(-,0)、F2(,0).点M(1,0)与椭圆短轴的两个端点的连线相互垂直.(1)求椭圆C的方程;(2)已知点N的坐标为(3,2),点P的坐标为(m,n)(m≠3).过点M任作直线l与椭圆C相交于A、B两点,设直线AN、NP、BN的斜率分别为k1、k2、k3,若k1+k3=2k2,试求m,n满足的关系式.20.(12分)已知椭圆的焦点在轴上,且顺次连接四个顶点恰好构成了一个边长为且面积为的菱形.(1)求椭圆的方程;(2)设,过椭圆右焦点的直线交于、两点,若对满足条件的任意直线,不等式恒成立,求的最小值.21.(12分)已知椭圆的左、右顶点分别为、,上、下顶点分别为,,为其右焦点,,且该椭圆的离心率为;(Ⅰ)求椭圆的标准方程;(Ⅱ)过点作斜率为的直线交椭圆于轴上方的点,交直线于点,直线与椭圆的另一个交点为,直线与直线交于点.若,求取值范围.22.(10分)已知数列满足,,,且.(1)求证:数列为等比数列,并求出数列的通项公式;(2)设,求数列的前项和.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】
利用终边相同的角的公式判断即得正确答案.【详解】与的终边相同的角可以写成2kπ+(k∈Z),但是角度制与弧度制不能混用,所以只有答案C正确.故答案为C【点睛】(1)本题主要考查终边相同的角的公式,意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力.(2)与终边相同的角=+其中.2、C【解析】
设出点的坐标,以为底结合的面积计算出点到直线的距离,利用点到直线的距离公式可得出关于的方程,求出方程的解,即可得出结论.【详解】设点的坐标为,直线的方程为,即,设点到直线的距离为,则,解得,另一方面,由点到直线的距离公式得,整理得或,,解得或或.综上,满足条件的点共有三个.故选:C.【点睛】本题考查三角形面积的计算,涉及点到直线的距离公式的应用,考查运算求解能力,属于中等题.3、C【解析】试题分析:化简集合故选C.考点:集合的运算.4、B【解析】
三视图对应的几何体为如图所示的几何体,利用割补法可求其体积.【详解】根据三视图可得原几何体如图所示,它是一个圆柱截去上面一块几何体,把该几何体补成如下图所示的圆柱,其体积为,故原几何体的体积为.故选:B.【点睛】本题考查三视图以及不规则几何体的体积,复原几何体时注意三视图中的点线关系与几何体中的点、线、面的对应关系,另外,不规则几何体的体积可用割补法来求其体积,本题属于基础题.5、A【解析】
因为,所以排除C、D.当从负方向趋近于0时,,可得.故选A.6、B【解析】
将已知条件转化为的形式,求得,由此求得.【详解】设公差为,则,所以,,,.故选:B【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式的基本量计算,考查等差数列前项和的计算,属于基础题.7、C【解析】
由题意知:,,设,则,在中,列勾股方程可解得,然后由得出答案.【详解】解:由题意知:,,设,则在中,列勾股方程得:,解得所以从该葭上随机取一点,则该点取自水下的概率为故选C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型,属于基础题.8、A【解析】
要计算这个数的和,这就需要循环50次,这样可以确定判断语句①,根据累加最的变化规律可以确定语句②.【详解】因为计算这个数的和,循环变量的初值为1,所以步长应该为1,故判断语句①应为,第个数是,第个数比第个数大,第个数比第个数大,第个数比第个数大,这样可以确定语句②为,故本题选A.【点睛】本题考查了补充循环结构,正确读懂题意是解本题的关键.9、C【解析】
首先,根据二倍角公式和辅助角公式化简函数解析式,根据所求函数的周期性,得到其周期为4,然后借助于三角函数的周期性确定其值即可.【详解】解:.,,的周期为,,,,,..故选:C【点睛】本题重点考查了三角函数的图象与性质、三角恒等变换等知识,掌握辅助角公式化简函数解析式是解题的关键,属于中档题.10、D【解析】
先化简得再求得解.【详解】所以.故选:D【点睛】本题主要考查复数的运算和模的计算,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.11、A【解析】
由计算出的取值范围,利用正弦函数的基本性质可求得函数的值域.【详解】,,,因此,函数的值域为.故选:A.【点睛】本题考查正弦型函数在区间上的值域的求解,解答的关键就是求出对象角的取值范围,考查计算能力,属于基础题.12、C【解析】令圆的半径为1,则,故选C.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、【解析】
由是偶函数可得时恒有,根据该恒等式即可求得,,的值,从而得到,令,可解得,,三点的横坐标,根据可列关于的方程,解出即可.【详解】解:因为是偶函数,所以时恒有,即,所以,所以,解得,,;所以;由,即,解得;故,.由,即,解得.故,.因为,所以,即,解得,故答案为:.【点睛】本题考查函数奇偶性的性质及二次函数的图象、性质,考查学生的计算能力,属中档题.14、【解析】
根据切线的斜率为,利用导数列方程,由此求得切点的坐标,进而求得切线方程,通过对比系数求得的值.【详解】,则,所以切点为,故切线为,即,故.故答案为:【点睛】本小题主要考查利用导数求解曲线的切线方程有关问题,属于基础题.15、【解析】
根据指数函数与对数函数图象可将原题转化为恒成立问题,凑而可知的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间;利用过一点的曲线切线的求法可求得两切线斜率,结合分母不为零的条件可最终确定的取值范围.【详解】由指数函数与对数函数图象可知:,恒成立可转化为恒成立,即恒成立,,即是夹在函数与的图象之间,的图象在过原点且与两函数相切的两条切线之间.设过原点且与相切的直线与函数相切于点,则切线斜率,解得:;设过原点且与相切的直线与函数相切于点,则切线斜率,解得:;当时,,又,满足题意;综上所述:实数的取值范围为.【点睛】本题考查恒成立问题的求解,重点考查了导数几何意义应用中的过一点的曲线切线的求解方法;关键是能够结合指数函数和对数函数图象将问题转化为切线斜率的求解问题;易错点是忽略分母不为零的限制,忽略对于临界值能否取得的讨论.16、【解析】
由已知可知直线过抛物线的焦点,求出弦的中点到抛物线准线的距离,进一步得到弦的中点到直线的距离.【详解】解:如图,直线过定点,,而抛物线的焦点为,,弦的中点到准线的距离为,则弦的中点到直线的距离等于.故答案为:.【点睛】本题考查抛物线的简单性质,考查直线与抛物线位置关系的应用,体现了数学转化思想方法,属于中档题.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(Ⅰ),;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)由(为参数)直接消去参数,可得直线的普通方程,把两边同时乘以,结合,可得曲线的直角坐标方程;(Ⅱ)把代入,化为关于的一元二次方程,利用根与系数的关系及参数的几何意义求解.【详解】解:(Ⅰ)由(为参数),消去参数,可得.∵,∴,即.∴曲线的直角坐标方程为;(Ⅱ)把代入,得.设,两点对应的参数分别为,则,.不妨设,,∴.【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程,考查参数方程化普通方程,明确直线参数方程中参数的几何意义是解题的关键,是中档题.18、(1);(2).【解析】分析:(1)在式子中运用正弦、余弦定理后可得.(2)由经三角变换可得,然后运用余弦定理可得,从而得到,故得.详解:(1)由题意及正、余弦定理得,整理得,∴(2)由题意得,∴,∵,∴,∴.由余弦定理得,∴,,当且仅当时等号成立.∴.∴面积的最大值为.点睛:(1)正、余弦定理经常与三角形的面积综合在一起考查,解题时要注意整体代换的应用,如余弦定理中常用的变形,这样自然地与三角形的面积公式结合在一起.(2)运用基本不等式求最值时,要注意等号成立的条件,在解题中必须要注明.19、(1);(2)m-n-1=0【解析】试题分析:(1)利用M与短轴端点构成等腰直角三角形,可求得b的值,进而得到椭圆方程;(2)设出过M的直线l的方程,将l与椭圆C联立,得到两交点坐标关系,然后将k1+k3表示为直线l斜率的关系式,化简后得k1+k3=2,于是可得m,n的关系式.试题解析:(1)由题意,c=,b=1,所以a=故椭圆C的方程为(2)①当直线l的斜率不存在时,方程为x=1,代入椭圆得,y=±不妨设A(1,),B(1,-)因为k1+k3==2又k1+k3=2k2,所以k2=1所以m,n的关系式为=1,即m-n-1=0②当直线l的斜率存在时,设l的方程为y=k(x-1)将y=k(x-1)代入,整理得:(3k2+1)x2-6k2x+3k2-3=0设A(x1,y1),B(x2,y2),则又y1=k(x1-1),y2=k(x2-1)所以k1+k3======2所以2k2=2,所以k2==1所以m,n的关系式为m-n-1=0综上所述,m,n的关系式为m-n-1=0.考点:椭圆标准方程,直线与椭圆位置关系,20、(1)(2)【解析】
(1)由已知条件列出关于和的方程,并计算出和的值,jike得到椭圆的方程.(2)设出点和点坐标,运用点坐标计算出,分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况,求解出的最小值.【详解】(1)由己知得:,解得,所以,椭圆的方程(2)设,.当直线垂直于轴时,,且此时,,当直线不垂直于轴时,设直线由,得.,.要使恒成立,只需,即最小值为【点睛】本题考查了求解椭圆方程以及直线与椭圆的位置关系,求解过程中需要分类讨论直线的斜率存在和不存在两种情况,并运用根与系数的关系转化为只含一个变量的表达式进行求解,需要掌握解题方法,并且有一定的计算量.21、(Ⅰ);(Ⅱ),.【解析】
(Ⅰ)由题意可得,的坐标,结合椭圆离心率,及隐含条件列式求得,的值,则椭圆方程可求;(Ⅱ)设直线,求得的坐标,再设直线,求出点的坐标,写出的方程,联立与,可求出的坐标,由,可得关于的函数式,由单调性可得取值范围.【详解】(Ⅰ),,,,,由,得,又,,解得:,,.椭圆的标准方程为;(Ⅱ)设直线,则与直线的交点,又,设直线,联立,消可得.解得,,联立,得,,直线,联立,解得,,,
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