高一下期期末复习学案（原卷版）

高一下期期末复习资料数学班级：姓名：——高——高届数学备课组——专题01平面向量的概念与运算知识点1向量的有关概念1、向量的模：向量的大小叫向量的模（1）向量的模；（2）向量不能比较大小，但是实数，可以比较大小．2、零向量：长度为零的向量叫零向量.记作，它的方向是任意的．3、单位向量：长度等于1个单位的向量.4、相等向量：长度相等且方向相同的向量.5、向量的共线或平行：方向相同或相反的非零向量。规定：与任一向量共线.知识点2向量的线性运算1、向量的加法运算（1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法。（2）三角形法则：（3）平行四边形法则：【规定】零向量与任一向量a的和都有a＋0=0＋a＝eq\a\vs4\al(a).【注意】=1\*GB3①在使用向量加法的三角形法则时，要注意“首尾相接”；=2\*GB3②平行四边形法则的应用前提是“共起点”．（4）向量加法的运算律结合律：a＋b＝b＋a交换律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)2、向量的减法运算（1）相反向量：与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.=1\*GB3①规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；=2\*GB3②若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.（2）向量的减法=1\*GB3①定义：a－b＝a＋(－b)=2\*GB3②几何意义：以O为起点，作向量eq\o(OA,\s\up7(→))＝a，eq\o(OB,\s\up7(→))＝b，则eq\o(BA,\s\up7(→))＝a－b，【注意】在用三角形法则作向量减法时，“连接向量终点，箭头指向被减向量”．3、向量的数乘运算（1）定义：规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作：λa，它的长度与方向规定如下：①|λa|＝|λ||a|；②当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．（2）运算律：设λ，μ为任意实数，则有：①λ(μa)＝(λμ)a；②(λ＋μ)a＝λa＋μa；③λ(a＋b)＝λa＋λb；特别地，有(－λ)a＝λ(－a)＝－(λa)；λ(a－b)＝λa－λb.对于任意向量a，b，以及任意实数λ，μ1，μ2，恒有λ(μ1a＋μ2b)＝λμ1a±λμ2b.知识点3向量共线1、向量共线的条件（1）当向量时，与任一向量共线．（2）当向量时，对于向量．如果有一个实数，使，那么与共线．2、向量共线的判定定理：是一个非零向量，若存在一个实数，使，则向量与非零向量共线．3、向量共线的性质定理：若向量与非零向量共线，则存在一个实数，使．知识点4向量的数量积1、向量的夹角（1）定义：已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角．（2）性质：当时，与同向；当时，与反向．（3）向量垂直：如果与的夹角是，我们说与垂直，记作．2、向量的数量积的定义：向量与的数量积记作，即；零向量与任一向量的数量积为0；3、向量在上的投影向量（1）设，是两个非零向量，，，过的起点A和终点B，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量．在平面内任取一点O，作，，过点M作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量，且．4、平面向量数量积的性质（1）；（2）当与同向时，；当与反向时，；特别地，或；（3）cosθ＝；（5）5、平面向量数量积的运算律（1）；（2）(λ为实数)；（3）；（4）两个向量，的夹角为锐角⇔且，不共线；两个向量，的夹角为钝角⇔且，不共线．（5）平面向量数量积运算的常用公式考点1向量的相关概念辨析【例1】下列命题：①若，则；②若，，则；③的充要条件是且；④若，，则；⑤若、、、是不共线的四点，则是四边形为平行四边形的充要条件.其中，真命题的个数是（）B．C．D．考点2向量的加减数乘混合运算【例2】如图，在等腰梯形ABCD中，，AD=2，AB=BC=CD=1，E为AD的中点．则下列式子不正确的是（）B．C．D．【变式2-1】如图所示，，则（）B．C．D．考点3用已知向量表示其他向量【例3】在中，，，，M为BC的中点，则等于（）B．C．D．【变式3-1】已知的边的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（）A．7B．6C．3D．2【变式3-2】如图所示的中，点D、E分别在边BC、AD上，且.，则向量（）B．C．D．考点4向量共线证明三点共线【例4】已知，，，则（）A．M，N，P三点共线B．M，N，Q三点共线C．M，P，Q三点共线D．N，P，Q三点共线【变式4-1】设是空间中两个不共线的向量,已知,且三点共线,则的值为（）A．2B．3C．D．8【变式4-2】在中，点，分别在边和边上，且，，交于点，设，.在边上有点，使得，求证：，，三点共线.考点5利用向量共线求参数【例5】已知向量、不共线，且，若与共线，则实数的值为（）A．B．C．或D．或【变式5-1】已知两个非零向量，不共线，若，则实数等于（）A．2B．C．D．【变式5-2】已知向量不共线，且向量与的方向相反，则实数t的值为（）A．1B．—C．1或－D．－1或－考点6向量数量积的运算【例6】已知向量，满足，且与的夹角为，则（）A．6B．8C．10D．14【变式6-1】如图，在边长为2的等边中，点E为中线BD的三等分点（靠近点D），点F为BC的中点，则（）A．1B．2C．D．【变式6-2】如图，在中，，，，M是边上的中点，P是上一点，且满足，则（）．B．C.D．考点7向量垂直的应用【例7】已知两个单位向量与的夹角为，若，，且，则实数（）A．B．C．D．【变式7-1】在四边形ABCD中，若，且，则四边形ABCD一定是（）正方形B．平行四边形C．矩形D．菱形考点8向量夹角相关计算【例8】已知，则向量与的夹角为（）B．C．D．【变式8-1】已知向量，满足，，，则与的夹角为（）B．C．D．【变式8-2】若且，则向量与的夹角为（）B．C．D．【变式8-3】已知空间向量满足，，，，则=（）A．B．C．D．考点9向量模长相关计算【例9】已知平面向量，满足，，，则（）A．2B．4C．D．【变式9-1】已知两个单位向量，的夹角为60°，若，则（）A．3B．C．D．1【变式9-2】已知空间非零向量，，满足，，，与方向相同，则的取值范围为（）B．C．D．【变式9-3】在中，，，点满足，，则的最小值为（）A．B．C．D．考点10向量的投影向量【例10】已知，与的夹角为，是与同向的单位向量，则在方向上的投影向量为（）A．1B．C．D．【变式10-1】已知，则向量在向量方向上的投影向量的长度为（）－4B．4C．－2D．2【变式10-2】设非零向量，满足，，则向量在方向上的投影向量（）A．B．C．D．专题02平面向量的基本定理及坐标运算知识点1平面向量基本定理1、定义：如果是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数，使2、基底：若不共线，我们把叫做表示这一平面内所有向量的一个基底．3、平面向量基本定理的应用设，是同一平面内的两个不共线向量，若，则知识点2平面向量的坐标运算1、向量和差运算：已知，则，．2、向量数乘运算：若，则；3、向量共线运算：已知，则向量，共线的充要条件是知识点3线段的定比分点及λ设、是直线上的两点，是上不同于、的任一点，则一定存在实数，使，叫做点分所成的比.有三种情况：

(内分)

(外分)()

(外分)()1、定比分点坐标公式：若点，，为实数，且，则点坐标为，我们称为点分所成的比.2、若分有向线段所成的比为，点为平面内的任一点，则；特别地为的中点.知识点4平面向量数量积的坐标表示1、向量数量积的坐标运算：若，，则2、两个向量垂直的坐标表示：若两个向量垂直，则3、用坐标表示的三个重要公式（1）向量的模公式：若a=(x（2）两点间的距离公式：若A(x1,y（3）向量的交角公式：设两个非零向量a=(x1,y1)，b则cos考点1对基本定理的概念理解【例1】（多选）设是已知的平面向量，向量，，在同一平面内且两两不共线，其中真命题是（）A．给定向量，总存在向量，使；B．给定向量和，总存在实数和，使；C．给定单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使；D．若，存在单位向量，和正实数，，使，则．【变式1-1】（多选）下列说法中正确的是（）A．平面向量的一个基底中，，一定都是非零向量.B．在平面向量基本定理中，若，则.C．若单位向量､的夹角为，则在方向上的投影向量是.D．表示同一平面内所有向量的基底是唯一的.考点2基底的判断【例2】设，是平面向量的一组基底，以下四个选项中可以作为平面向量的一组基底的是（）A．和B．和C．和D．和【变式2-1】设是平面内所有向量的一组基底，则下面四组向量中，不能作为基底的是（）A．和B．和C．和D．和【变式2-2】（多选）下列各组向量中，不能作为基底的是（）A．B．C．D．考点3用基底表示向量【例3】如图，是以为直径的半圆圆周上的两个三等分点，为线段的中点，为线段上靠近的一个四等分点，设，，则（）B．C．D．【变式3-1】如图，在矩形ABCD中，E为AD边上靠近点A的三等分点，F为AB边上靠近点B的四等分点，且线段EF交AC于点P．若，，则（）B．C．D．【变式3-2】在中，D为中点，连接，若，则的值为（）B．C．D．1考点4向量线性运算的坐标表示【例4】已知向量，则__________.【变式4-1】已知向量，若满足，则等于（）B．C．D．【变式4-2】已知向量，若，则（）A．-1B．2C．-6D．6考点5利用坐标求向量共线问题【例5】已知向量，，，若与共线，则（）A．4B．3C．2D．1【变式5-1】已知.（1）当k为何值时，与共线?（2）若且A，B，C三点共线，求m的值.考点6向量数量积的坐标表示【例6】已知正方形的边长为2，点满足，则的值为（）B．C．D．4【变式6-1】已知向量，，若，则的最小值为（）B．C．D．【变式6-2】如图，在四边形中，，且.（1）求实数的值；（2）若是线段上的动点，求的取值范围.考点7利用坐标求向量的夹角【例7】已知平面向量，，若，则与的夹角为（）B．C．D．【变式7-1】（多选）已知向量，若为锐角，则实数可能的取值是（）B．C．D．【变式7-2】已知向量，，其中．（1）试计算及的值；（2）求向量与夹角的余弦值．【变式7-3】已知，．若与垂直，求k的值；若为与的夹角，求的值．考点8利用坐标求向量的模长【例8】设，向量，，且，则（）A．B．C．D．5【变式8-1】（多选）已知向量，，θ∈，则的值可以是（）B．C．2D．2【变式8-2】如图，直角的斜边长为，，且点、分别在轴、轴的正半轴上滑动，点在线段的右上方，则下列说法成立的是（）A．有最大值B．无最大值C．有最大值D．是定值专题03平面向量的综合应用知识点1平面向量在几何中的应用平面几何中证明问题的具体转化方法（1）证明线段，可转化为证明；（2）证明线段，只需证明存在一个实数，使成立；（3）证明两线段，只需证明数量积；（4）证明三点共线，只需证明存在一个，使成立。知识点2平面向量最值范围问题的常用方法1、定义法2、坐标法3、基底法4、几何意义法知识点3极化恒等式1、极化恒等式：（1）平行四边形模式：如下图，平行四边形ABCD，O是对角线交点．则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．（2）三角形模式：如上图，在△ABC中，设D为BC的中点，则eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．2、极化恒等式的作用和使用范围（1）极化恒等式的作用：建立了向量的数量积与几何长度(数量)之间的桥梁，实现向量与几何、代数之间的互相转化。（2）极化恒等式的适用范围：共起点或共终点的两向量的数量积问题可直接进行转化；不共起点和不共终点的数量积问题可通过向量的平移，等价转化为共起点或共终点的两向量的数量积问题。知识点4三角形的四心1、常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点（1）（2）（3）若QUOTEAP=λAB+AC或，，则P一定经过三角形的重心2、常见内心向量式：P是∆ABC的内心，（1）ABPC+BC其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，（2）AP=λABAB+AC3、常用外心向量式：O是∆ABC的外心，（1）OA（2）OA（3）若OA+OB∙AB=OB4、常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论（1）OA（2）OA（3）动点P满足QUOTEOP=OA+λABABcosB+ACACcosC，λ∈考点1证明平行与垂直【例1】在中，，分别为边上的点，且．求证：．考点2判断多边形形状【例2】是所在平面内一点，满足，则的形状是（）A．等边三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．钝角三角形【变式2-1】在四边形ABCD中，若，则该四边形为（）A．平行四边形B．矩形C．等腰梯形D．菱形【变式2-2】（多选）在△ABC中，下列正确的是（）A．若，则△ABC为钝角三角形B．若，则△ABC为直角三角形C．若，则△ABC为等腰三角形D．已知，且，则△ABC为等边三角形考点3求数量积的范围【例3】四边形ABCD中，，，，则的最小值为（）A．B．C．3D．－3【变式3-1】若中，，其重心满足条件：，则取值范围为（）B．C．D．【变式3-2】如图，单位向量，的夹角为，点在以为圆心，1为半径的弧上运动，则的最小值为______．考点4求向量夹角的范围【例4】已知，若与的夹角为钝角，则实数λ的取值范围为___________.【变式4-1】若平面向量，，满足，，，，则，夹角的取值范围是（）A．B．C．D．【变式4-2】已知是单位向量，且的夹角为，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【变式4-3】已知与为相反向量，若，，则，夹角的余弦的最小值为______．考点5求向量模长的范围【例5】已知向量满足，且，则的取值范围是（）A．B．C．D．【变式5-1】已知向量满足与的夹角为，则当实数变化时，的最小值为_____．【变式5-2】若单位向量满足，向量满足，则（）.B．C．D．考点6求向量系数的范围【例6】在中，的交点为，过作动直线分别交线段于两点，若，则的最小值为_____.【变式6-1】在中，，，，是的外接圆上的一点，若，则的最小值是（）B．C．D．【变式6-2】在中，CA＝CB＝1，，若CM与线段AB交于点P，且满足，（,），且，则的最大值为______．【变式6-3】在△ABC中，D为边AC上的一点，且，P为边BD上的一点，且满足（、），则下列结论正确的（）A．m＋n＝1B．mn的最大值为C．上的最小值为7D．的最小值为考点7极化恒等式的应用【例7】在三角形中，是的中点．求在上的投影向量；（2）若，求的取值范围．【变式7-1】设三角形ABC，P0是边AB上的一定点，满足P0B=AB，且对于边AB上任一点P，恒有，则三角形ABC形状为___________.考点8三角形四心的判断【例8】已知O，N，P在的所在平面内，且，且，则O，N，P分别是的（）A．重心，外心，垂心B．重心，外心，内心C．外心，重心，垂心D．外心，重心，内心【变式8-1】已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（）重心B．外心C．内心D．垂心【变式8-2】（多选）已知O，N，P，I在△ABC所在的平面内，则下列说法正确的是（）A．若，则O是△ABC的外心B．若，则P是△ABC的垂心C．若，则N是△ABC的重心D．若，则I是△ABC的垂心考点9向量在物理中的应用【例9】（多选）若平面上的三个力作用于一点，且处于平衡状态．已知，，的夹角为，则（）B．夹角的余弦值为D．夹角的余弦值为【变式9-1】物体在力的作用下，由点移动到点，已知，力对该物体所做功的大小为__________．专题04正余弦定理解三角形知识点1余弦定理1、公式表达：a2＝b2＋c2－2bccosA，b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC2、推论：cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)，cosB＝eq\f(a2＋c2－b2,2ac)，cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)知识点2正弦定理1、公式表示：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即asinA2、推论：在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，外接圆半径为R=1\*GB3①asinA=bsinB=csinC=2R，=2\*GB3②=3\*GB3③asinB=bsinA，bsinC=csinB，asinC=csinA，=4\*GB3④a+b+csinA+sinB+sinC=a+bsinA+sinB=5\*GB3⑤a=2RsinA，b=2RsinB，c=2RsinC（实现边和角的互相转化）3、正弦定理解决的两类问题类型1：已知两角及一边解三角形类型2：已知两边及一边对角，解三角形（三角形多解问题）在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：当A为锐角时：当A为钝角时知识点3三角形面积公式在∆ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，边BC，CA，AB边上的高分别记作ℎa，ℎb，ℎc，r为内切圆半径，R（1）S=（2）S=知识点4三角形形状的判断1、利用余弦定理判断三角形（1）为直角三角形或或（2）为锐角三角形，且，且（3）为钝角三角形，且，且（4）若，则或2、利用正弦定理判断三角形法一化角为边：sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)法二化边为角：a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC考点1余弦定理解三角形【例1】已知在中，，，，则（）A．B．C．D．【变式1-1】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则此三角形中的最大角的大小为（）B．C．92°D．135°【变式1-2】（多选）在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若b=5，c=3，则a的可能取值为（）A．4B．5C．D．考点2正弦定理解三角形【例2】已知的三个内角的对边分别为，若，则（）A．B．C．D．【变式2-1】在中,已知,,,则角的度数为（）A．B．C．或D．【变式2-2】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则______.考点3三角形解的个数判断【例3】在中，若，则此三角形（）A．无解B．有两解C．有一解D．解的个数不确定【变式3-1】在中，若，，如果可解，则边a的取值范围是______．【变式3-2】在中，角所对的边分别为，且.若有两解，则的值可以是（）A．4B．5C．7D．10考点4正余弦定理边角互化【例4】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（）A．B．C．D．【变式4-1】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的值为_______.【变式4-2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求角A的大小；（2）若，D是线段AC上的一点，，，求.【变式4-3】在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）若，求的大小．考点5三角形的面积问题【例5】记的内角，，的对边分别为，，，若，，，则的面积为______.【变式5-1】中，角A，，的对边分别为，，，且满足，，，则的面积为______．【变式5-2】已知a，b，c分别为三个内角A，B，C的对边，．（1）求角B的大小；（2）若，，求的面积．【变式5-3】已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．（1）求角A的大小；（2）若，求△ABC的面积．【变式5-4】在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且．（1）求角A的大小；（2）若，△ABC的面积为，求的值．考点6多边形的形状问题【例6】在，其内角的对边分别为，若，则的形状是（）A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰或直角三角形【变式6-1】在中，角的对边分别为，若，则的形状为（）A．直角三角形B．等腰非等边三角形C．等边三角形D．钝角三角形【变式6-2】在中，角A、、所对的边分别为、、，且若，则的形状是（）A．等腰且非等边三角形B．直角三角形C．等边三角形D．等腰直角三角形【变式6-3】（多选）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列结论错误的是（）A．A．若，则为锐角三角形B．若为锐角三角形，则C．若，则为等腰三角形D．若，则是等腰三角形【变式6-4】在中，角所对应的边分别是，满足，则该三角形的形状是__________．专题05解三角形在几何与实际中的应用知识点1三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式求最值-化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。2、转为三角函数求最值-化边为角如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。知识点2边化角与角化边的变换原则在解三角形的问题中，若已知条件同时含有边和角，但不能直接使用正弦定理或余弦定理得到答案，要选择“边化角”或“角化边”知识点3实际测量中的有关名称、术语1、仰角与俯角：（1）仰角：在同一铅垂平面内，视线在水平线上方时与水平线的夹角（2）俯角：在同一铅垂平面内，视线在水平线下方时与水平线的夹角2、方向角：从指定方向线到目标方向线的水平角（指定方向线是指正北或正南或正东或正西，方向角小于90°）3、方位角：从正北的方向线按顺时针到目标方向线所转过的水平角考点1角度与三角值的最值范围【例1】若的内角，，满足，则的最大值为______.【变式1-1】的内角、、的对边分别为、、，若．（1）求角的大小；（2）若角为锐角，求的取值范围．考点2边长与周长的最值范围【例2】在中，角，，的对边分别是，，，满足（1）求角；（2）若角的平分线交于点，且，求的最小值.【变式2-2】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求A；（2）若为锐角三角形，且，求的取值范围．【变式2-3】在锐角中，分别是角所对的边，，且.（1）求；（2）若周长的范围考点3面积的最值范围【例3】在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足．若的外接圆的面积为，则三角形面积的取值范围是____________．【变式3-1】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求B；（2）若，求△ABC面积的最大值．考点4三角形的中线问题【例4】在中，，则边上中线长度为______．【变式4-1】设中角A，B，C所对的边分别为a，b，c，AD为的边BC上的中线，且，，，则______．【变式4-2】在中，，点D在边上，.（1）若，求的值，（2）若，且点D是边的中点，求的值.【变式4-3】在中,角的对边分别为,且满足.（1）求角;（2）若为边的中点,且,,求的周长.考点5三角形的角平分线问题【例5】在ABC中，，，∠A的角平分线AD的长为，则|AC|＝（）A．2B．3C．D．【变式5-1】记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．（1）求C；（2）若a，b为方程的两个实数根，且C的角平分线交AB于点D，求CD．【变式5-3】在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且cos2C＝sin2A+cos2B+sinAsinC．（1）求角B的大小；（2）若，角B的角平分线交AC于D，且BD＝1，求的周长．考点5测量距离问题【例8】如图，在铁路建设中需要确定隧道的长度，已测得隧道两端的两点到某一点的距离分别是，及，则两点的距离为（）A．B．C．D．【变式8-1】（2023春·广东东莞·高一校考阶段练习）如图，为了测定河两岸点与点间的距离，在点同侧的河岸选定点，测得，，，则点与点间的距离为__________m.考点9测量高度问题【例9】如图，中华中学某班级课外学习兴趣小组为了测量某座山峰的高气度，先在山脚A处测得山顶C处的仰角为60°，又利用无人机在离地面高400m的M处（即），观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，则山高___________m.【变式9-1】泰姬陵是印度在世界上知名度最高的古建筑之一，被列为“世界文化遗产”．秦姬陵是印度古代皇帝为了纪念他的皇妃建造的，于1631年开始建造，用时22年，距今已有366年历史．如图所示，为了估算泰姬陵的高度，现在泰姬陵的正东方向找一参照物AB，高约为50m，在它们之间的地面上的点Q（B，Q，D三点共线）处测得A处、泰姬陵顶端C处的仰角分别是45°和60°，在A处测得泰姬陵顶端C处的仰角为15°，则估算泰姬陵的高度CD为（）A．75mB．mC．mD．80m专题06复数综合知识点1复数的有关概念1、定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，实部是eq\a\vs4\al(a)，虚部是eq\a\vs4\al(b).复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)．2、虚数单位：把平方等于－1的数用符号i表示，规定i2＝－1，我们把i叫作虚数单位．3、复数集：①定义：全体复数所成的集合．②表示：通常用大写字母C表示．4、复数的分类：对于复数a＋bi，（1）当且仅当b＝0时，它是实数；（2）当且仅当a＝b＝0时，它是实数0；（3）当b≠0时，叫做虚数；（4）当a＝0且b≠0时，叫做纯虚数．这样，复数z＝a＋bi可以分类如下：复数=【注意】复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系5、复数相等我们规定：a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.6、共轭复数复数z的共轭复数用eq\x\to(z)表示，即当z＝a＋bi(a，b∈R)时，eq\x\to(z)＝a－bi.知识点2复数的几何意义1、复平面：当用直角坐标平面内的点来表示复数时，称这个直角坐标系为复平面，x轴为实轴，y轴为虚轴．2、复数的几何意义（1）任一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的点Z(a，b)是一一对应的．（2）一个复数z＝a＋bi(a，b∈R)与复平面内的向量OZ=(a,b)3、复数的模（1）定义：向量OZ的eq\a\vs4\al(模)r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模或绝对值（2）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．知识点3复数的四则运算1、复数的运算法则与运算律（1）加法法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意两个复数，（2）减法法则：规定两个复数的减法法则，设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.2、复数的乘法运算法则和运算律（1）乘法运算法则：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.显然两个复数的积仍是复数．（2）复数乘法的运算律：对于任意z1、z2、z3∈C，有z1·z2＝z2·z1(交换律)；(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(结合律)；z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．3、复数的乘方与虚数单位的乘方i1＝i，i2＝－1，i3＝i·i2＝－i，i4＝i3·i＝－i·i＝1，同理可证i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1.由此可进一步得(1＋i)2＝2i，(1－i)2＝－2i，eq\f(1－i,1＋i)＝－1，eq\f(1＋i,1－i)＝i，eq\f(1,i)＝－i.4、复数的除法运算规定两个复数除法的运算法则：（a、b、c、d∈R，c＋di≠0）a+b5、复数方程的解在复数范围内，实系数一元二次方程ax求根公式法：=1\*GB3①当∆≥0时，x=−b±b2−4ac2a=2\*GB3②知识点4复数的三角形式1、辅角的定义：设复数z=a+bi的对应向量为OZ，以x轴的非负半轴为始边，向量OZ所在的射线（射线OZ）为终边的角θ，叫做复数z2、辅角的主值：根据辅角的定义及任意角的概念可知，任何一个不为零的复数辅角有无限多个值，且这些值相差2π的整数倍.规定：其中在0≤θ<2π范围内的辅角θ的值为辅角的主值，通常记作arg【注意】因为复数0对应零向量，而零向量的方向是任意的，所以复数0的辅角是任意的。3、复数的三角形式：任何一个复数都可以表示成z=r(cosθ+isinθ)的形式，其中r是复数的模，【注意】复数的三角形式必须满足：模非负，角相同，余正弦，加号连。4、复数的代数式与三角式互化将复数z=a+bi(a,b∈R)（1）r=a（2）cosθ=ar，sinθ=br，其中当a=0，b>0时，argz=考点1复数的概念与分类【例1】已知复数，则的虚部为（）A．B．C．D．【变式1-1】已知为虚数单位，下列说法正确的是（）A．若，则B．实部为零的复数是纯虚数C．可能是实数D．复数的虚部是【变式1-2】已知复数（i为虚数单位），求适合下列条件的实数m的值；（1）z为实数；（2）z为虚数；（3）z为纯虚数.考点2复数的几何意义【例2】如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为（）A．B．C．D．【变式2-1】复数满足：，则复数z在复平面内对应的点是（）A．B．C．D．（）【变式2-2】（多选）若，则复数在复平面内对应的点可能在（）．A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限考点3复数的四则运算【例3】复数化简的结果是（）A．B．C．D．【变式3-1】已知，则（）B．C．D．【变式3-2】设，则______.考点4复数的高次方运算【例4】若复数满足，则复数在复平面所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【变式4-1】若为虚数单位，且，则______.考点5与复数模有关的最值【例5】已知复数为虚数单位）满足，则的最小值为（）A．2B．1C．D．4【变式5-1】（2023·高一单元测试）若，则的最大值与最小值的和为___________.【变式5-2】已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为__________.考点6复数范围内解方程【例6】设，，为虚数单位，若是关于的二次方程的一个虚根，则______．【变式6-1】在复数范围内分解因式_____．考点7复数的三角形式【例7】计算：．【变式7-1】计算：；（2）.【变式7-2】设，则复数的辐角主值为（）A．B．C．D．专题07空间几何体的结构特征、表面积和体积知识点1立体图形的直观图1、斜二测画法：我们常用斜二测画法画空间图形及水平放置的平面图形的直观图．斜二测画法是一种特殊的平行投影画法．（1）“斜”：在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x'轴承45°或135°（2）“二测”：两种度量形式，即在直观图中，平行于x'轴或z'轴的线段长度不变；平行于y'轴的长度变成原来的一半，2、直观图与原图多边形面积之间的关系若一个多边形的面积为S原，它的直观图的面积为S直，则有S知识点2多面体的表面积和体积1、棱柱、棱锥、棱台的表面积（1）棱柱的表面积：S棱柱（2）棱锥的表面积：S棱锥（3）棱台的表面积：S2、棱柱、棱锥、棱台的体积（1）棱住的体积：棱柱的体积等于它的底面积S底和高ℎ的乘积，即V（2）棱锥的体积：棱锥的体积等于它的底面积S底和高ℎ的乘积的13（3）棱台的体积：V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h知识点5旋转体的表面积和体积1、侧面展开图及侧面积公式圆柱圆锥圆台侧面展开图侧面积公式S圆柱侧＝2πrlS圆锥侧＝πrlS圆台侧＝π(r1＋r2)l2、圆柱、圆锥、圆台的体积公式：（1）圆柱的体积公式：V（2）圆锥的体积公式：V（3）圆台的体积公式：V＝eq\f(1,3)(S上＋S下＋eq\r(S上S下))h3、球的体积公式：V=43π考点1直观图与原图的判断【例1】用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图时，下列说法正确的是（）A．相等的线段在直观图中仍相等B．水平放置的三角形的直观图仍是三角形C．相等的角在直观图中仍相等D．水平放置的菱形的直观图仍是菱形【变式1-1】（2023·高一课时练习）如图，是水平放置的△ABC的斜二测画法的直观图，其中，则△ABC是（）A．钝角三角形B．等腰三角形，但不是直角三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形考点2斜二测画法中的计算【例2】如图所示，在四边形OABC中，OA=2，，BC=3，且，则四边形OABC水平放置时，用斜二测画法得到的直观图面积为（）A．B．5C．D．【变式2-1】如图是四边形ABCD的水平放置的直观图A′B′C′D′，则原四边形ABCD的面积是（）A．14B．10C．28D．14考点3多面体的体积计算【例3】长方体的体积是，若为的中点，则三棱锥的体积为（）A．B．C．D．【变式3-1】已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，则三棱锥的体积为（）A．B．C．1D．【变式3-2】已知正四棱台的上下底面边长分别为1和4，高为3，则此棱台的体积为______．考点4旋转体的表面积计算【例4】已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（）A．B．C．D．【变式4-1】已知某圆柱的轴截面为正方形，则此圆柱的表面积与此圆柱外接球的表面积之比为（）A．B．C．D．【变式4-2】等腰直角三角形的直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积为（）A．B．或C．D．或考点5表面最短路径问题【例5】如图，已知正三棱柱的底面边长与侧棱长相等．蚂蚁甲从A点沿表面经过棱、爬到点，蚂蚁乙从B点沿表面经过棱爬到点．设，，若两只蚂蚁各自爬过的路程最短，则______【变式5-1】如图，在正三棱锥P-ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=30°，PA=PB=PC=2，一只虫子从A点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到A点，则虫子爬行的最短距离是（）A．B．C．D．【变式5-2】如图，已知圆锥的底面半径为1，母线长，一只蚂蚁从点出发绕着圆锥的侧面爬行一圈回到点，则蚂蚁爬行的最短距离为（）A．B．C．6D．考点6几何体的截面问题【例6】（多选）用一个平面去截一个几何体，得到的截面是三角形，这个几何体不可能是（）A．圆柱B．圆台C．球体D．棱台【变式6-1】已知球的半径为2，球心到平面的距离为，则球被平面截得的截面面积为（）A．B．C．D．【变式6-2】已知正方体的棱长为6，､分别是､的中点，平面截正方体所得的截面为多边形，则此多边形的边数为_____，截面多边形的周长为___________.专题08空间直线与平面的平行问题知识点1直线与平面平行的判定定理：1、文字语言：如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，该直线与此平面平行2、符号语言：a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α.3、图形语言：知识点2直线与平面平行的性质定理1、文字语言：如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行．2、符号语言：a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b.3、图形语言：知识点3平面与平面平行的判定定理1、文字语言：一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行(简记为“线面平行⇒面面平行”)2、符号语言：a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α⇒β∥α3、图形语言：4、判定定理推论：如果一个平面内两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，则这两个平面平行．知识点4平面与平面平行的性质定理1、文字语言：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行2、符号语言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒a∥b.3、图形语言：4、平面与平面平行其他常用性质推论（1）平行于同一个平面的两个平面平行.（2）垂直于同一条直线的两个平面平行.（3）如果两个平面平行，那么其中一个平面内的直线平行于另一个平面.（4）如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面.知识点5三种平行关系的转化考点1平行关系的判定【例1】已知，，为三条不同的直线为三个不同的平面，则下列说法正确的是（）A．若，，则B．若，，，则C．若，，则D．若，，，，则【变式1-1】已知a，b，c为三条不重合的直线，α，β为两个不重合的平面．①a//c，b//c⇒a//b；②a//β，b//β⇒a//b；③a//c，c//α⇒a//α；④a//β，a//α⇒α//β；⑤a⊄α，b⊂α，a//b⇒a//α.其中正确的命题是（）A．①⑤B．①②C．②④D．③⑤【变式1-2】已知是不同的直线,是不同的平面,下列命题中真命题为（）A．若,则B．若,则C．若,则D．若,则【变式1-3】如图，点A，B，C，M，N为正方体的顶点或所在棱的中点，则下列各图中，不满足直线平面ABC的是（）A．B．C．D．考点2线线平行的证明【例2】如图，四棱锥中，底面为矩形，为棱上一点（不与、重合），平面交棱于点．求证：.【变式2-1】如图，四棱柱的底面为菱形，，其中侧面为平行四边形，分别为的中点，在线段上，且满足，过和点的平面交于，交于.证明：；【变式2-2】如图，平面，平面，，求证：考点3线面平行的证明【例3】在三棱柱中，，平面，、分别是棱、的中点，求证：平面；【变式3-1】如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点，求证：（1）直线平面；（2）为线段上一点，且，求证：平面【变式3-2】如图，四棱台中，底面为直角梯形，，，，为棱的中点，证明：平面.考点4面面平行的证明【例4】如图，在长方体中，，E，F，Q分别为的中点，求证：平面平面．【变式4-1】如图所示，在三棱柱中，、分别为，的中点，求证：平面平面.【变式4-2】如图，四棱柱的底面为正方形，为的中点，，求证：平面∥平面考点5平行关系的探索性问题【例5】如图所示正四棱锥，，P为侧棱上的点．且，求：侧棱上是否存在一点E，使得平面．若存在，求的值；若不存在，试说明理由．【变式5-1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，、、分别为、、的中点.（1）证明：平面平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.考点6利用平行关系求解截面问题【例6】如图，在三棱柱中，过的截面与AC交于点D，与BC交于点E，该截面将三棱柱分成体积相等的两部分，则（）B．C．D．【变式6-1】棱长为的正方体中，是棱的中点，过、、作正方体的截面，则截面的面积是_________．【变式6-2】如图，在正方体中，是的中点，，，分别是，，的中点．（1）求证：平面平面；（2）若正方体棱长为1，过，，三点作正方体的截面，画出截面与正方体的交线，并求出截面的面积．专题09空间直线与平面的垂直问题知识点1直线与平面垂直的判定定理1、文字语言：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直2、符号语言：l⊥a，l⊥b，a⊂α，b⊂α，a∩b＝P⇒l⊥α3、图形语言：知识点2直线与平面垂直的性质定理1、文字语言：垂直于同一个平面的两条直线平行.2、符号语言：eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b3、图形语言：4、推论：（1）一条直线垂直于一个平面，它就和平面内的任意一条直线垂直．（2）若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直这个平面.（3）若一条之心垂直于两个平行平面中的一个，则它必垂直于另外一个平面/（4）垂直于同一条直线的两个平行平行.知识点3平面与平面垂直的判定定理1、文字语言：如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直2、符号语言：3、图形语言：知识点4平面与平面垂直的性质定理1、文字语言：两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直2、符号语言：3、图形语言：4、平面与平面垂直的其他性质（1）如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内，即（2）如果两个平面互相垂直，那么与其中一个平面平行的平面垂直于另一个平面，即；（3）如果两个平面互相垂直，那么其中一个平面的垂线平行于另一个平面或在另一个平面内，即；（4）如果两个相交平面都垂直于第三个平面，那么它们的交线垂直于第三个平面，即；（5）三个凉凉垂直的平面的交线也两两垂直，即知识点5三种垂直关系的转化考点1垂直关系的判定【例1】已知a，b是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）A．若，，则B．若，，且，则C．若，，，则D．若，，，则或a，b异面【变式1-1】m，n表示直线，α，β，γ表示平面，给出下列结论：①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β，②若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n，③若α∩β＝m，n⊂α，n⊥m，则n⊥β，④若α⊥β，α∩γ＝m，β∩γ＝n，则n⊥m，其中正确的结论个数为（）A．0B．1C．2D．3考点2线面垂直的证明【例2】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是棱AB，BC的中点，O是底面ABCD的中心，求证：EF⊥平面BB1O.【变式2-1】如图，在四面体中，，．求证：平面平面．【变式2-2】如图，在三棱柱中，侧棱底面，为棱的中点．，，．（1）求证：∥平面；（2）求证：平面；考点3线线垂直的证明【例3】已知空间几何体中，与均为等边三角形，平面平面平面．求证：.【变式3-1】如图，是边长为的等边三角形，、分别是、的中点，是的重心，将沿折起，使得点到达点的位置，点在平面的射影为点．证明：.【变式3-2】如图，△ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AE=AB=2a，CD=a，F是BE的中点，求证:（1）DF∥平面ABC;（2）AF⊥BD．考点4面面垂直的证明【例4】如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．求证：平面平面；【变式4-1】如图所示，四边形为正方形，平面，，．证明：平面平面．【变式4-2】如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为菱形，，平面，且，分别为，的中点，点为棱PC上一动点，证明：平面平面考点5垂直关系的探索性问题【例5】如图所示，在四棱锥中，底面是边长为的正方形，侧面底面，且、分别为、的中点.（1）求证：平面；（2）在线段上是否存在一点，使得平面平面？若存在，请说明其位置，并加以证明；若不存在，请说明理由.【变式5-1】如图1，在中，，，分别为，的中点，点是线段上的一点，将沿折起到的位置，使，如图2．（1）证明：；（2）线段上是否存在点，使平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．专题10空间角与空间距离的综合知识点1线线角的定义与求解线线角主要是求异面直线所成角。1、线线角的定义：①定义：设是两条异面直线，经过空间任一点作直线，，把与所成的锐角或直角叫做异面直线所成的角(或夹角)②范围：2、求异面直线所成角一般步骤：（1）平移：选择适当的点，线段的中点或端点，平移异面直线中的一条或两条成为相交直线．（2）证明：证明所作的角是异面直线所成的角．（3）寻找：在立体图形中，寻找或作出含有此角的三角形，并解之．（4）取舍：因为异面直线所成角的取值范围是，所以所作的角为钝角时，应取它的补角作为异面直线所成的角．3、三种平移产生①平行四边形平移法；②中位线平移法；③补形平移法(在已知图形中，补作一个相同的几何体，以便找到平行线)．知识点2二面角1、二面角的概念从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面.

2、二面角的平面角的概念平面角是指以二面角的棱上一点为端点，在两个半平面内分别做垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角就叫做该二面角的平面角。3、二面角的大小范围：[0°，180°]知识点3确定二面角的平面角的方法：1、定义法（棱上一点双垂线法）：提供了添辅助线的一种规律（1）方法：在二面角的棱上找一个特殊点，在两个半平面内分别过该点作垂直于棱的射线．（2）具体演示：如图所示，以二面角的棱a上的任意一点O为端点，在两个面内分别作垂直于a的两条射线OA，OB，则∠AOB为此二面角的平面角2、三垂线法（面上一点双垂线法）最常用（1）方法：自二面角的一个面上一点向另外一个面作垂线，再由垂足向棱作垂线得到棱上的点（即斜足），斜足和面上一点的连线与斜足和垂足的连线所夹的角，即为二面角的平面角（2）具体演示：在平面α内选一点A向另一个平面β作垂线AB，垂足为B，再过点B向棱a作垂线BO，垂足为O，连接AO，则∠AOB就是二面角的平面角。考点1求直线与直线所成角【例1】在三棱锥中，两两互相垂直，为的中点，则异面直线与所成的角的大小为__________.【变式1-1】如图，在中，，斜边AB=4，D是AB的中点；现将以直角边AO为轴旋转一周得到一个圆锥，点C为圆锥底面圆周上的一点，且；（1）求该圆锥的全面积和体积；（2）求异面直线AO与CD所成角的正切值；【变式1-2】在三棱锥A－BCD中，已知平面BCD，，若AB＝2，BC＝CD＝4，则AC与BD所成角的余弦值为（）A．B．C．D．考点2求直线与平面所成角【例2】如图，在三棱锥中，侧面底面BCD，，，，，直线AC与底面BCD所成角的大小为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【变式2-1】如图，二面角的大小是，线段，，与所成的角为，则AB与平面β所成的角的正弦值是（）B．C．D．【变式2-2】如图，已知正方体的棱长为2．（1）求直线和平面ABCD所成角的大小；（2）求直线和平面ABCD所成角的正切值．考点3求平面与平面所成角【例3】已知如图边长为的正方形外有一点且平面，，二面角的大小的正切值______．【变式3-1】正方体中，为棱的中点，求平面和平面夹角的余弦值.【变式3-2】如图，在正三棱柱中，，截面侧面.（1）求证：；（2）若，求平面与平面所成二面角（锐角）的度数.考点4求点到直线的距离【例4】等于90°的二面角内有一点，过有于点，于，如果，则到的距离为（）A．B．C．D．【变式4-1】在四棱锥中，底面ABCD，底面ABCD是直角梯形，，，，，点E为棱PC的中点，则点E到PB的距离为（）B．D．【变式4-2】在棱长为1的正方体中，点A到直线BD1距离是（）A．B．C．D．考点5求异面直线间的距离【例5】在底面为正方形，侧棱垂直于底面的四棱柱中，，异面直线与所成角的余弦值为，则直线与直线的距离为（）A．2B．1C．D．【变式5-1】如图，在棱长为的正方体中，为线段的中点，为线段的中点，则直线到直线的距离为（）B．C．D．【变式5-2】如图，已知直三棱柱中，，则线段上的动点到直线的距离的最小值为（）B．C．D．考点6求点到平面的距离【例6】棱长为1正方体中，E为的中点，则E到面的距离（）A．B．C．D．【变式6-1】如图，在三棱锥中，平面ABC，，，，则点A到平面PBC的距离为（）．B．C．3D．【变式6-2】如图，在四棱锥中，底面四边形的边长均为2，且，棱的中点为.（1）求证：平面；（2）若的面积是，求点到平面的距离.【变式6-3】如图，在四棱锥中，底面是一个平行四边形，底面，，点是的中点，，.（1）求证：平面平面；（2）求点到平面的距离.考点7求直线到平面的距离【例7】如图，在长方体中，..则直线与平面的距离为（）B．C．D．【变式7-1】