浅析数学建模思想在中学数学教学中应用

PAGEPAGE7浅析数学建模思想在中学数学教学中应用四川省宜宾市翠屏区沙坪中学毛泽胜摘要：在新一轮的课程改革中，数学知识的应用是数学教育的重要内容。呼唤数学应用意识，提高数学应用教学质量，已成为广大数学教育工作者的共识，开展中学数学建模教学与应用的研究，对提高学生数学应用意识，培养学生灵活的思维能力，分析问题、解决问题的能力，促进中学数学教学改革，全面推进中学数学素质教育有十分重要的意义。本文在对数学模型、数学建模和数学建摸思想研究的基础上，开展对中学数学建模教学活动的理论依据和教学原则的探讨，并对中学的方程、不等式、函数、统计、三角等教学内容进行数学建模教学进行了一些研讨。因此本文认为数学建模的教学将为中学数学课堂教学改革提供一条新路，将为培养更多更好的“创造型”人才提供一个全新的舞台。关键词：数学模型、数学建模、数学建模思想、课程改革、中学数学教学随着课程改革的不断深入，数学教学转变了传统的观念，教材编写背景结合了生活实际和社会实践，突出了理论与知识结合，理论与实践结合，强调学生对数学知识的应用，呼唤数学应用意识。而中学学数学最常用和最有效的教学方法之一是探索法，这一方法与数学建模有很多共同特征，本文拟通过数学模型、数学建模和数学建模思想的研究，探讨数学建模思想应用于中学数学教学的可行性，为中学数学课堂教学改革寻找一条可行之路。一、数学模型、数学建模和数学建模思想的定义所谓数学模型，是指针对或参照某种事物的特征或数量相依关系，采用形式化的数学语言，概括地或近似地表述出来一种数学结构。广义的解释：凡是一切数学概念、数学理论体系、各种数学公式、各种方程（代数方程、函数方程、微分方程、……）以及由公式系列构成的算法系统等等都称之为数学模型。而创建一个数学模型的全过程称为数学建模，即用数学的语言、方法去近似地刻画该实际问题，并加以解决的全过程。总之，数学模型与数学建模较为严格的定义是，对于现实世界的一个特定对象，为了一个特定目的，根据对象特有的内在规律，在做出问题分析和一些必要、合理的简化假设后，运用适当的数学工具，得到的一个数学结构就称为该特定对象的数学模型。数学建模的过程，可以用如下框图来说明：数学模型（例如方程、不等式、函数）实际问题（现实原型）数学模型（例如方程、不等式、函数）实际问题（现实原型）数学化（用数学理论研究解决数学问题）（得解）数学模型的解答原始问题的解答数学模型的解答原始问题的解答 回到实际问题数学建模的思想就是用数学模型的思路、方法去数学建模，解决实际生产、生活当中所遇到的问题在的思想和方法的统称。二．数学建模思想应用于中学数学教学的理论依据对于高等教育中的数学模型、数学建模以及数学建模思想能否应用于中学数学教学呢？能得到那些教育理论支撑呢？1．理论联系实际。数学学科的特征之一是它高度的抽象性，但是数学的高度抽象性决定了数学应用的广泛性，这种广泛性被越来越发达的科学技术所证实，同时数学的应用又推动了数学的新的发展。数学学科的这一特征决定了数学学习必须坚持理论联系实际的原则，通过数学教学活动让学生认识到数学来源于实际，数学无处不在，我们所学的数学知识是有用的，许多生产生活中的问题都可以用我们所学的数学知识给予解决。数学理论只有与实际相结合为实践服务才有生命力。而学数学是为了用数学，数学学习只有坚持理论与实际相结合的原则才能真正理解并掌握数学知识。在中学教学进行数学建模，就是为学生创设一个学数学、用数学的环境。学生通过亲自参与探究、发现、分析、学习、求解、检验这样一个问题解决的全过程，得到学数学用数学的实际体验，不但增强了用所学数学知识来观察、分析身边的事物和现象的数学应用意识，而且受到“理论联系实际”、“实践是检验真理的唯一标准”等马克思主义实践论与认识论的重要观点的教育，因为数学建模的过程实际就是实践—理论—实践的过程，就是从实践中来再回到实践中去的过程。2．建构主义的学习观。建构主义认为知识并非主体对客观实在的简单的被动的反映，而是学习者以自身已有的知识和经验为基础的一个主动的建构过程，也就是说，所有的知识都是建构出来的。在建构过程中，主体已有的认知结构发挥了特别重要的作用，并且这个认知结构处于不断的发展中。建构主义的学习观认为：知识不能简单地由教师或其他人传授给学生而只能由每个学生依据自己已有的知识和经验主动地加以建构。学习活动是一个“顺应”的过程，是认知框架的不断变革或重组的过程。学生的学习活动是在一个特定的环境——学校里，在教师的直接指导下进行的。因此，学生的学习活动就成为了一种特殊的建构活动，一种高度组织化的社会行为。学生在数学知识应用和建模教学活动中，通过调查研究自己发现问题；将问题数学化制定解决方案；遇到问题自己去收集、查找资料；向书本学习向内行人士学习，最终解决问题。这个过程是一个学习的过程，是一个做数学的过程，更是一个主动建构自己认知结构的过程。当然存在学生的个体差异，不同的学生就会有不同的建构。学生要接受教师的指导和帮助，进行师生的交流，学生之间的交流和相互质疑。从而在数学建模教学中，更要发挥教师的主导作用，更要注意开展好师生、生生之间的交流与合作，使环境因素对学生的学习建构活动带来充分的积极影响。3．创新教育的观点。“创新是一个民族的灵魂，是国家兴旺发达的不竭动力”，基础教育阶段的创新教育是面对全体学生，着重于培养学生的创新意识和创新情感，为创新人格的形成、创新能力的培养打下基础的。因此教育的重心是启发引导学生探索，启发引导学生创新。建模思想应用于数学教学是以学习和掌握科学的思维规律为前提，以所学数学知识为基础，让学生在对自然界的数学过程进行科学探索和研究中学习数学，是提高学生综合素质、开发学生潜在创造力的极好方式。三．数学建模思想应用于中学数学教学的教学原则数学知识应用的教学，主要研究的是具有实际背景的例子，多是经过加工的实际问题，但突出的是数学，所要达到的教学目的是加深对所学知识的理解，巩固所学数学知识和数学方法，解决数学知识“有用”的认识问题。数学建模运用的是数学工具，解决的是来自生产生活中的非数学问题。尽管受知识和能力所限，中学数学建模问题较多的还带有应用的性质。但是仍需经历：采集信息，建构数学模型、对数学模型求解、实践检验的全过程。因此数学知识与数学建模的教学模式，必须体现以下教学原则。1.“再创造”原则。数学知识应用与建模课堂教学为学生提供了一个自己学习、自己探索、自己提出问题、自己解决问题的可能和机会。所以数学建模的核心是在学生的积极参与前提下进行的“再创造”活动。2.“数学化”原则。学生是在将实际问题抽象成纯数学问题，也就是将实际问题数学化的过程中学习数学。我们所看重的是帮助学生学会数学的思考，学会数学的观察世界。因此整个教学过程印证了著名的荷兰数学家弗赖登塔的名言：与其说是学习数学，还不如说是学习“数学化”。3.“数学现实性”原则。教学中我们充分肯定并强调学生个体的特殊性，对不同能力的学生开展不同层次的数学应用与建模活动，尽量为不同的学生提供不同的但是能展现他们创造力的舞台，让他们在不同程度上都能用数学，在用数学的过程中获得不同程度的数学应用的体验。实现每个学生在自己“数学现实”基础上的数学能力、应用意识与实践能力的提高。进而获得“学然后之不足”的感悟，从而更刻苦的去学习数学。4．“严谨性”原则。中学数学建模不应刻意追求建模过程的复杂和完美，不应要求模型推证计算的绝对严谨，而是在学生的“数学现实”条件下的严谨。因此对学生建模结论执有的应是一种特定的评价标准。由于现实是，当今社会科学技术的飞速发展与中学生有限知识之间存在着很大的差异。必须认识到科学的“发现”和“创新”也是有高低不同层次的。一名中学生要想提出一个新概念、要想发现人们从来不知道的新定理、新方法、新理论是几乎不可能的。但是通过他们自己的努力和踏踏实实的工作，去发现可能别人早已知道而只对他们来说是未知的知识、规律却是完全可能的。从这个意义上讲，中学生也完全可以获得数学的发现。这就是一名中学生创新能力的表现。开发并扶植它正是数学建模教学的目的。此外，数学建模的教学还应遵循：具体与抽象相结合；归纳与演绎相结合；数与形相结合；理论与实践相结合；探索与论证相结合的一般教学原则．同时做到目的与手段的辩证统一；间接经验与直接经验的有机统一；理论与应用的有机统一；学习与创造的有机统一。四.数学建模思想应用于中学数学教学的举隅数学建模思想可应用于中学数学教学那些地方呢？根据课标要求和现行教材内容，主要有：不等式的应用，函数的应用，三角函数的应用，几何的应用等．结合时代发展的特点，教材和习题中涉及现代生活的经济统计图表(识别、分析、绘制)，动态规划(生产计划问题等)，网络规划(绘制、计算、优化)，股票、彩票发行模型，风险决策，市场预测，存贮原理，供求模型，广告与税款等等，还有跨学科的生态平衡、环境保护、人口生命等方面的问题等等。现做一些举例。（一）、建立或化归为方程或不等式模型,解决实际生产生活的“等量或不等关系”问题现实世界中广泛存在着数量之间的相等或不等关系，如，投资决策、人口控制、资源保护、生产规划、交通运输、水土流失等问题中涉及的有关数量问题，常归结为方程或不等式求解．例如字母符号是基本的数学语言，在应用问题中用x表示实际问题中的未知量，通过分析问题中已知量与未知量的相等或大小关系，“翻译”成表示未知数x和已知数之间相等或大小关系的方程或不等式，即得到刻画实际问题的相等或大小关系的数学模型。例如某工厂现有甲种原料360千克，乙种原料290千克，计划利用这两种原料生产A、B两种产品，共50件。已知生产一件A种产品，需用甲种原料9千克，乙种原料3千克，可获利润700元；生产一件B种产品，需用甲种原料4千克，乙种原料10千克，可获利润1200元，按要求安排A、B两种产品的生产件数，有哪几种方案，请你给设计出来。我们可以用建模的思想方法，建立或化归为不等式模型,设安排生产A种产品x件，则生产B种产品为（50－x）件，根据题意得9x＋4（50－x）≤360，3x＋10（50－x）≤290，解得30≤x≤32而x为整数所以x只能取30、31、32，相应的（50－x）的值为20、19、18。因而我们得到了方案有三种：第一种生产方案：生产A种产品30件、B种产品20件；第二种生产方案：生产A种产品31件、B种产品19件；第三种生产方案：生产A种产品32件、B种产品18件；（二）、建立或化归为函数模型，解决实际生产生活的“动态变化”问题现实生活中普遍存在着最优化问题——最佳投资、最小成本、设计最佳等，常常归结为函数的最值问题（盈利最大、用料最省），通过建立相应的目标函数，确定变量的限制条件，运用函数知识和方法解决。例如：某商场将进价40元一个的商品按50元一个售出时能卖出500个。已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，为了赚得最大利润，售价应定为多少？最大利润为多少？在教学中引导分析：①利润的含义②在研究利润问题时，常用的一个关系式：利润=（每件商品所获利润）×（销售件数），数学建模，问题求解：设每个售价为(50+x)元（x≥0且为整数），总利润为y元，则y=(50+x-40)(500-10x),y=10[-(x-20)2+9000](0≤x≤50,x为整数）故当x=20时，y最大，最大值为9000。所以，每个售价为70元时，最大利润为9000元。这里就是把最大利润问题通过数学建模转化成二次函数的最大值问题，再回到实际问题中去使问题得已解决。（三）、建立或化归为统计型模型，解决实际生产生活的“信息处理”问题当今是信息时代，我们广泛的与数字打交道，要学会如何收集数据和分析数据，深刻理解用样本估计整体的基本统计思想，掌握描述数据集中趋势和离散程度的两类基本统计量，建立或化归为统计型模型。例如，为估计一次性木质筷子的用量，1999年从某县共600家高、中、低档饭店抽取10家作样本，这些饭店每天消耗的一次性筷子盒数分别为：0.63.72.21.52.81.71.22.13.21.0通过对样本的计算，估计该县1999年消耗多少一次性筷子（每年按350个营业日计算）；2001年又对该县一次性木质筷子的用量以同样的方式作出了抽样调查，调查结果是10个样本饭店每个饭店平均每天使用一次性筷子2.42盒，求该县2000年、2001年这两年一次性筷子用量平均每年增长的百分率（2001年该县饭店数，全年营业天数均与1999年相同）对于这类问题，我们可以化归为数学模型：（1）x＝（0.6＋3.7＋2.2＋1.5＋2.8＋1.7＋1.2＋2.1＋3.2＋1.0）＝2.0，故该县1999年消耗一次性筷子为：2×600×350＝420000（盒）（2）设平均每年增长的百分率为x，则，得到x1＝0.1＝10﹪x2＝－2.1（不合题意，舍去），故平均每年增长率为10﹪。（四）建立或化归为几何模型，解决实际生产生活的“数形统一”问题现实世界中涉及一定图形属性的应用问题，如航行、建筑、测量、人造卫星运行轨道等，常需建立相应的几何模型，应用几何知识，转化为用方程或不等式，或三角知识求解．例如：海上高200米的灯塔上，测得A船在其正东方向B船在其南偏东60°方向，且B船在A船的西南方向，在灯塔上测得A船的俯角是45°，求A、B两船的距离。此题进行数学建模，化归到两个直角三角形中去求解，再回到实际问题中去使问题得已解决。