高考数学B版真题及模拟：数系的扩充与复数的引入

数系的扩充与复数的引入高考理数

(北京市专用)A组

自主命题·北京卷题组1.(2018北京,2,5分)在复平面内,复数

的共轭复数对应的点位于

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限五年高考答案

D本题主要考查复数的概念、运算和几何意义.∵

=

=

+

i,∴其共轭复数为

-

i,又

-

i在复平面内对应的点

在第四象限,故选D.2.(2017北京,2,5分)若复数(1-i)(a+i)在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值范围是

()A.(-∞,1)

B.(-∞,-1)

C.(1,+∞)

D.(-1,+∞)答案

B本题考查复数的运算.∵复数(1-i)(a+i)=a+1+(1-a)i在复平面内对应的点在第二象限,∴

∴a<-1.故选B.3.(2015北京,1,5分,0.99)复数i(2-i)=

()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案

A

i(2-i)=2i-i2=1+2i,故选A.4.(2013北京,2,5分,0.95)在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

D(2-i)2=4-4i+i2=3-4i,对应的点为(3,-4),位于第四象限,故选D.5.(2011北京,2,5分)复数

=

()A.iB.-iC.-

-

iD.-

+

i答案

A解法一:

=

=

=i,故选A.解法二:

=

=

=i,故选A.错因分析运算过程中弄错符号而错选B.评析本题考查了复数的基本运算,解题关键是分子、分母同乘分母的共轭复数,另外,形如

(a,b∈R)的运算,往往是分子、分母同乘i或-i,可简化运算.本题属容易题.6.(2016北京,9,5分)设a∈R.若复数(1+i)(a+i)在复平面内对应的点位于实轴上,则a=

.答案-1解析(1+i)(a+i)=(a-1)+(a+1)i,∵a∈R,该复数在复平面内对应的点位于实轴上,∴a+1=0,∴a=

-1.7.(2014北京,9,5分,0.95)复数

=

.答案-1解析

=

=

=-1,故填-1.解后反思对于复数运算中一些常见的代数式,(1+i)2,(1-i)2,

,

应该熟记,方便计算.B组

统一命题、省(区、市)卷题组考点一复数的有关概念1.(2018浙江,4,4分)复数

(i为虚数单位)的共轭复数是

()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案

B本题考查复数的有关概念和运算.∵

=

=1+i,∴

的共轭复数为1-i.思路分析(1)利用复数的运算法则把

化为a+bi(a,b∈R)的形式;(2)由共轭复数的定义得出结论.2.(2016课标全国Ⅱ,1,5分)已知z=(m+3)+(m-1)i在复平面内对应的点在第四象限,则实数m的取

值范围是

()A.(-3,1)

B.(-1,3)

C.(1,+∞)

D.(-∞,-3)答案

A

由已知可得

⇒

⇒-3<m<1.故选A.3.(2016山东,1,5分)若复数z满足2z+

=3-2i,其中i为虚数单位,则z=

()A.1+2iB.1-2iC.-1+2iD.-1-2i答案

B设z=a+bi(a,b∈R),则2z+

=2(a+bi)+a-bi=3a+bi=3-2i,∴a=1,b=-2,∴z=1-2i,故选B.4.(2015湖北,1,5分)i为虚数单位,i607的

为

()A.iB.-iC.1

D.-1答案

A∵i607=i4×151+3=(i4)151·i3=-i,∴i607的共轭复数为i.5.(2013课标全国Ⅰ,2,5分,0.703)若复数z满足(3-4i)z=|4+3i|,则z的虚部为

()A.-4

B.-

C.4

D.

答案

D∵|4+3i|=

=5,∴z=

=

=

+

i,虚部为

,故选D.6.(2018江苏,2,5分)若复数z满足i·z=1+2i,其中i是虚数单位,则z的实部为

.答案2解析本题考查复数的概念、复数的运算.∵i·z=1+2i,∴z=

=

=2-i.∴复数z的实部为2.一题多解设z=x+yi,x,y∈R,∵i·z=1+2i,∴i(x+yi)=1+2i,即-y+xi=1+2i,∴x=2,y=-1,∴复数z的实部为2.7.(2017天津,9,5分)已知a∈R,i为虚数单位,若

为实数,则a的值为

.答案-2解析本题主要考查复数的概念和运算.因为

=

=

为实数,所以-

=0,解得a=-2.1.(2018课标全国Ⅰ,1,5分)设z=

+2i,则|z|=

()A.0

B.

C.1

D.

考点二复数的运算答案

C本题主要考查复数的相关概念及复数的四则运算.∵z=

+2i=

+2i=i,∴|z|=1,故选C.2.(2018课标全国Ⅱ,1,5分)

=

()A.-

-

iB.-

+

iC.-

-

iD.-

+

i答案

D本题主要考查复数的四则运算.

=

=

=-

+

i,故选D.3.(2018课标全国Ⅲ,2,5分)(1+i)(2-i)=

()A.-3-iB.-3+iC.3-iD.3+i答案

D本题考查复数的运算.(1+i)(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故选D.4.(2017课标全国Ⅱ,1,5分)

=

()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案

D本题主要考查复数的除法运算.

=

=

=2-i.故选D.5.(2017课标全国Ⅲ,2,5分)设复数z满足(1+i)z=2i,则|z|=

()A.

B.

C.

D.2答案

C本题考查复数的运算及复数的模.∵(1+i)z=2i,∴z=

=

=

=1+i.∴|z|=

=

.一题多解∵(1+i)z=2i,∴|1+i|·|z|=|2i|,即

·|z|=2,∴|z|=

.6.(2016课标全国Ⅰ,2,5分)设(1+i)x=1+yi,其中x,y是实数,则|x+yi|=

()A.1

B.

C.

D.2答案

B∵x,y∈R,(1+i)x=1+yi,∴x+xi=1+yi,∴

∴|x+yi|=|1+i|=

=

.故选B.评析本题考查复数相等的条件,属容易题.7.(2016课标全国Ⅲ,2,5分)若z=1+2i,则

=

()A.1

B.-1

C.iD.-i答案

C∵z

=(1+2i)(1-2i)=5,∴

=

=i,故选C.8.(2015课标Ⅰ,1,5分,0.844)设复数z满足

=i,则|z|=

()A.1

B.

C.

D.2答案

A由已知

=i,可得z=

=

=

=i,∴|z|=|i|=1,故选A.9.(2015课标Ⅱ,2,5分,0.939)若a为实数,且(2+ai)(a-2i)=-4i,则a=

()A.-1

B.0

C.1

D.2答案

B∵(2+ai)(a-2i)=-4i⇒4a+(a2-4)i=-4i,∴

解得a=0.10.(2014课标Ⅰ,2,5分,0.853)

=

()A.1+iB.1-iC.-1+iD.-1-i答案

D

=

·(1+i)=

·(1+i)=-1-i,故选D.11.(2014课标Ⅱ,2,5分,0.597)设复数z1,z2在复平面内的对应点关于虚轴对称,z1=2+i,则z1z2=

(

)A.-5

B.5

C.-4+iD.-4-i答案

A由题意得z2=-2+i,∴z1z2=(2+i)(-2+i)=-5,故选A.12.(2018天津,9,5分)i是虚数单位,复数

=

.答案4-i解析本题主要考查复数的四则运算.

=

=

=4-i.C组

教师专用题组考点一复数的有关概念1.(2015安徽,1,5分)设i是虚数单位,则复数

在复平面内所对应的点位于

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

B∵

=

=-1+i,∴复数

在复平面内所对应的点是(-1,1),它位于第二象限.2.(2014重庆,1,5分)复平面内表示复数i(1-2i)的点位于

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

A

i(1-2i)=i-2i2=2+i,对应复平面上的点为(2,1),在第一象限.选A.3.(2016天津,9,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位.若(1+i)(1-bi)=a,则

的值为

.答案2解析由(1+i)(1-bi)=a得1+b+(1-b)i=a,则

解得

所以

=2.4.(2015天津,9,5分)i是虚数单位,若复数(1-2i)(a+i)是纯虚数,则实数a的值为

.答案-2解析∵(1-2i)(a+i)=2+a+(1-2a)i为纯虚数,∴

解得a=-2.5.(2015重庆,11,5分)设复数a+bi(a,b∈R)的模为

,则(a+bi)(a-bi)=

.答案3解析复数a+bi(a,b∈R)的模为

=

,则a2+b2=3,则(a+bi)(a-bi)=a2-(bi)2=a2-b2·i2=a2+b2=3.1.(2015山东,2,5分)若复数z满足

=i,其中i为虚数单位,则z=

()A.1-iB.1+iC.-1-iD.-1+i考点二复数的运算答案

A

=i(1-i)=1+i,则z=1-i.2.(2015四川,2,5分)设i是虚数单位,则复数i3-

=

()A.-iB.-3iC.iD.3i答案

C

i3-

=-i+2i=i.故选C.3.(2014山东,1,5分)已知a,b∈R,i是虚数单位,若a-i与2+bi互为共轭复数,则(a+bi)2=

()A.5-4iB.5+4iC.3-4iD.3+4i答案

D∵a-i与2+bi互为共轭复数,∴a=2,b=1,∴(a+bi)2=(2+i)2=3+4i.4.(2014辽宁,2,5分)设复数z满足(z-2i)(2-i)=5,则z=

()A.2+3iB.2-3iC.3+2iD.3-2i答案

A由(z-2i)(2-i)=5,易得z=

+2i=2+i+2i=2+3i,故选A.5.(2014江西,1,5分)

是z的共轭复数,若z+

=2,(z-

)i=2(i为虚数单位),则z=

()A.1+iB.-1-iC.-1+iD.1-i答案

D令z=a+bi(a,b∈R),则

=a-bi,所以z+

=2a=2,得a=1,(z-

)i=2bi2=-2b=2,得b=-1,∴z=1-i,故选D.6.(2013课标全国Ⅱ,2,5分,0.896)设复数z满足(1-i)z=2i,则z=

()A.-1+iB.-1-iC.1+iD.1-i答案

A由题意得z=

=

=-1+i,故选A.7.(2014湖南,1,5分)满足

=i(i为虚数单位)的复数z=

()A.

+

iB.

-

iC.-

+

iD.-

-

i答案

B由

=i,得z=

=

=

-

i,故选B.8.(2014广东,2,5分)已知复数z满足(3+4i)z=25,则z=

()A.-3+4iB.-3-4iC.3+4iD.3-4i答案

D

z=

=

=3-4i,故选D.9.(2014安徽,1,5分)设i是虚数单位,

表示复数z的共轭复数.若z=1+i,则

+i·

=

()A.-2

B.-2iC.2

D.2i答案

C

+i·

=

+i(1-i)=

+i+1=2.故选C.10.(2017江苏,2,5分)已知复数z=(1+i)(1+2i),其中i是虚数单位,则z的模是

.答案

解析本题考查复数的运算.∵z=(1+i)(1+2i)=1+2i+i+2i2=3i-1,∴|z|=

=

.11.(2017浙江,12,5分)已知a,b∈R,(a+bi)2=3+4i(i是虚数单位),则a2+b2=

,ab=

.答案5;2解析本题考查复数的四则运算,复数相等的充要条件,复数模的运算,解二元二次方程组,考

查运算求解能力.解法一:∵(a+bi)2=a2-b2+2abi,a,b∈R,∴

⇒

⇒

∴a2+b2=2a2-3=5,ab=2.解法二:由解法一知ab=2,又|(a+bi)2|=|3+4i|=5,∴a2+b2=5.12.(2016江苏,2,5分)复数z=(1+2i)(3-i),其中i为虚数单位,则z的实部是

.答案5解析(1+2i)(3-i)=3+5i-2i2=5+5i,所以z的实部为5.13.(2015江苏,3,5分)设复数z满足z2=3+4i(i是虚数单位),则z的模为

.答案

解析设z=a+bi(a,b∈R),则z2=a2-b2+2abi,由复数相等的定义得

解得

或

从而|z|=

=

.14.(2014上海,2,4分)若复数z=1+2i,其中i是虚数单位,则

·

=

.答案6解析

∵z=1+2i,∴

=1-2i.∴

·

=z·

+1=5+1=6.A组

2016—2018年高考模拟·基础题组(时间:40分钟分值:115分)一、选择题(每题5分,共60分)1.(2018北京海淀期末,1)复数

=

()A.2-iB.2+iC.-2-iD.-2+i答案

A

=

=

=2-i.2.(2018北京延庆一模,2)在复平面内,复数

的对应点位于

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

C

=

=-1-i,在复平面内对应的点是(-1,-1),位于第三象限,故选C.3.(2018北京石景山期末,2)设i是虚数单位,则复数

在复平面内所对应的点位于

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

A

=

=

=

+

i,在复平面内对应的点为

,位于第一象限.故选A.4.(2018北京朝阳一模,2)复数z满足(1+i)z=i,则在复平面内复数z所对应的点位于

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

A由(1+i)z=i得z=

=

=

,z在复平面内对应的点为

,位于第一象限,故选A.5.(2018北京东城一模,2)复数z=

在复平面内对应的点位于

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

B

z=

=

=

=-

+

i,所以z在复平面内对应的点为

,位于第二象限,故选B.6.(2018北京东城二模,2)复数(1+i)(2-i)=

()A.3+iB.1+iC.3-iD.1-i答案

A(1+i)(2-i)=(2-i)+i(2-i)=2-i+2i-i2=3+i,故选A.7.(2018北京海淀二模,2)已知复数z在复平面内对应的点为(1,-1),则

()A.z+1是实数

B.z+1是纯虚数C.z+i是实数

D.z+i是纯虚数答案

C因为复数z在复平面内对应的点为(1,-1),所以z=1-i,所以z+1=2-i,z+i=1,故z+1既不是

实数也不是纯虚数,z+i为实数.故选C.8.(2017北京西城二模,1)在复平面内,复数z对应的点是(1,-2),则复数z的共轭复数

=

()A.1+2iB.1-2iC.2+iD.2-i答案

A易得z=1-2i,故复数z的共轭复数

=1+2i,故选A.9.(2017北京朝阳二模,1)已知i为虚数单位,则复数z=i(1+2i)在复平面内对应的点位于

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

B

z=i+2i2=-2+i,其在复平面内对应的点的坐标为(-2,1),位于第二象限,故选B.10.(2016北京西城二模,2)若复数z满足z+z·i=2+3i,则在复平面内z对应的点位于

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

A

z=

=

=

+

i,在复平面内对应的点为

,位于第一象限.故选A.11.(2016北京朝阳二模,2)复数z=

(i为虚数单位)在复平面内对应的点位于

()A.第一象限

B.第二象限C.第三象限

D.第四象限答案

B

z=

=-

+

i,在复平面内对应的点为

,位于第二象限.故选B.12.(2016北京东城一模,1)已知复数i·(1+ai)为纯虚数,那么实数a的值为

()A.-1

B.0

C.1

D.2答案

B由于i·(1+ai)=-a+i为纯虚数,所以a=0.13.(2018北京朝阳二模,9)计算

=

.二、填空题(每题5分,共55分)答案-

i解析

=

=

=

=-

i.14.(2018北京海淀一模,9)复数

=

.答案1+i解析

=

=

=1+i.15.(2018北京通州摸底,9)已知复数

的实部与虚部相等,那么实数a=

.答案2解析复数

=

=2+ai,由复数

的实部与虚部相等,得a=2.16.(2018北京通州一模,9)已知复数(1-i)(1+ai)是纯虚数,那么实数a=

.答案-1解析(1-i)(1+ai)=1+a+(a-1)i,由题意知a+1=0,且a-1≠0,所以a=-1.17.(2017北京东城二模,9)复数i(2-i)在复平面内所对应的点的坐标为

.答案(1,2)解析∵i(2-i)=1+2i,∴复数i(2-i)在复平面内对应的点的坐标为(1,2).18.(2017北京海淀二模,10)已知复数z=

,则|z|=

.答案

解析因为z=

=

=-i-1,所以|z|=

.19.(2017北京房山一模,9)已知

=-1+i,其中i是虚数单位,那么实数a=

.答案2解析由已知得ai=(1-i)(-1+i)=2i,∴a=2.20.(2017北京丰台二模,9)在复平面内,复数

对应的点的坐标为

.答案(4,-3)解析

=

=4-3i,其在复平面内对应的点的坐标为(4,-3).21.(2017北京顺义二模,9)已知z=(a-2)+(a+1)i在复平面内对应的点在第二象限,则实数a的取值

范围是

.答案(-1,2)解析由题意可得

所以-1<a<2.22.(2017北京海淀零模,9)复数z=i(1+i)在复平面内对应的点的坐标为

.答案(-1,1)解析

z=i(1+i)=-1+i在复平面内对应的点的坐标为(-1,1).23.(2017北京石景山一模,9)若复数

是纯虚数,则实数a=

.答案1解析∵

=

=

为纯虚数,∴a+1≠0且a-1=0,∴a=1.B组

2016—2018年高考模拟·综合题组(时间:25分钟分值:60分)一、选择题(每题5分,共20分)1.(2018北京门头沟一模,2)复数z满足

=2-3i,则复数z在复平面内对应的点位于

()A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限答案

A由

=2-3i,得z=i(2-3i)=3+2i,z在复平面内对应的点为(3,2),故选A.2.(2018北京朝阳期末,2)已知i为虚数单位,设复数z满足z+i=3,则|z|=

()A.3

B.4

C.

D.10答案

C由z+i=3得z=3-i,故|z|=

=

.3.(2018北京西城二模,2)若复数z满足(1-i)·z=1,则z=

()A.

+

B.-

+

C.-

-

D.

-

答案

A

z=

=

=

=

+

,故选A.解题关键能够熟练准确地进行分母实数化是解决这类问题的关键.4.(2017北京海淀一模,2)已知复数z=i(a+bi)(a,b∈R),则“z为纯虚数”的充分必要条件为

(

)A.a2+b2≠0

B.ab=0C.a=0,b≠0

D.a≠0,b=0答案

D复数z=i(a+bi)=ai-b(a,b∈R),则“z为纯虚数”的充分必要条件为a≠