高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)：专题29数列第五缉（原卷版）

备战2022年高中数学联赛之历年真题分类汇编(2015-2021)专题29数列第五缉1．【2021年江西预赛】正整数数列an满足a1=a2=a3=1,叱的任何连续四个项an,an+1,2．【2021年福建预赛】已知数列an,bn(1)求数列bn(2)设cn=(−1)nbn,Tn是数列3．【2021年福建预赛】设数列an是正整数数列，满足:a（1）证明:当a=3时，存在唯一一个正整数k,使得ak=2k(2)若a>3,试探究满足ak=2k的正整数k注:这里(x,y)表示正整数x,y的最大公约数.4．【2021年重庆预赛】数列an的相邻两项an和an+1为二次方程x2−3nx+cn=0(n=1,2,3,⋯)5．【2021年四川预赛】给定正整数a,b,其中a<b.数列Fn满足:F1=a,F2=b,Fn+2=Fn+1+Fnn∈6．【2021年四川预赛】求最大的正整数n，使得对满足i=1nai=1的任意正实数a1,a2,⋯,7．【2021年浙江预赛】设n为给定的正整数，a1,a2,⋯,an为满足对每个m≤n8．【2021年浙江预赛】设数集P=a1,a2,⋯,am,它的平均数Cp=a9．【2021年全国高中数学联赛A卷二试】给定正整数k(k≥2)与k个非零实数a1,a2,⋯,ak，证明：至多有有限个k10．【2021年全国高中数学联赛B卷一试】数列an满足:a1=a2=a11．【2021年全国高中数学联赛B卷二试】设a为正整数.数列an满足:a(1)证明:存在一个非立方数的正整数a,使得数列an(2)证明：数列an12．【2020高中数学联赛A卷（第02试）】给定整数n≥3.设a1,aa1且对任意i=1,2,⋯,2n,有aiai+2求a113．【2020高中数学联赛A卷（第02试）】设a1=1,a14．【2020高中数学联赛B卷（第01试）】设数列{an}的通项公式为an=1515．【2020高中数学联赛B卷（第02试）】给定整数n≥2.设a1,a2,⋯an,b1,b2,⋯,bn>016．【2020年福建预赛】已知数列an满足:a1=1,a(1)求数列an(2)设bn=3nanan+1,Tn17．【2020年甘肃预赛】已知数列an:a1=a证明:(1)an−3an−1(2)1a118．【2020年吉林预赛】已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn(1)求数列{an(2)设bn=an+2anan+12n,数列bn19．【2020年浙江预赛】已知数列{ana1=an−令bn=1an,记数列{bn}(1)求数列{an(2)若对于任意的n∈Z+,有n+2⩽λ(Sn20．【2020年浙江预赛】设正整数n⩾3,n个数a1,a2,⋯,an,记两两之和为若在表格中任意取定k个数,可以唯一确定出n个数a1,a2,⋯,21．【2020年重庆预赛】已知数列{ana1=1,(1)证明:1+an(2)记bn=[an+12an]{an+122．【2020年新疆预赛】已知正项数列{an}的前n项和为Sn(I)求数列{an(II)求证:k=1n123．【2019年全国】设整数a1,a记f=a求f的最小值f0.并确定使f=f0成立的数组a24．【2019年江苏预赛】在数列an中，已知a(1)若p=1，求数列an(2)记bn=nan.若在数列bn25．【2019年江西预赛】将正整数数列1,2,3,……中凡是被4整除以及被4除余1的项全部删去,剩下的数按自小到大的顺序排成数列a1,a2,a证明:每个大于1的奇平方数,都是数列{bn}中的两个相邻项的和.26．【2019年内蒙古预赛】已知a1,a求证a127．【2019年上海预赛】设数列{an}满足:a1=a2=a28．【2019年新疆预赛】设a0,a1,试求出a029．【2019年重庆预赛】数列an满足a1=3，a（1）证明：数列an（2）是否存在m∈Z+，使得30．【2019年福建预赛】已知数列{an}满足a1(1)记cn=an(2)记bn=n2n+1an，求使b31．【2019年福建预赛】已知实数x1,x2,⋯,证明:存在整数i1,i32．【2019年广西预赛】设a1=1,an(1)an(2)(1+133．【2019年贵州预赛】已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且sn(1)求数列{an}的通项公式;(2)求证:k=1n34．【2019年吉林预赛】已知等差数列an满足:a3=7,(1)求an及Sn;(2令bn=1an35．【2019高中数学联赛A卷（第02试）】设整数a1,a记f=a求f的最小值f0.并确定使f=f0成立的数组a136．【2018年山西预赛】已知在正整数n的各位数字中，共含有a1个1，a2个2，⋯，an37．【2018年浙江预赛】设实数x1，x2，…，x2018满足xn+12≤xnxn+238．【2018年浙江预赛】将2n(n≥2)个不同整数分成两组a1，a2，…，an；b1，b2，…，bn.证明：1≤i≤n39．【2018年湖南预赛】已知数列{an}的奇数项是