实变函数与泛函分析基础第三版答案_第1页
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文档简介

泛函分析习题解答1、设为一度量空间，令，问的闭包是否等于。解答：在一般度量空间中不成立，例如：取的度量子空间，则中的开球的的闭包是，而2、设是区间上无限次可微函数全体，定义，证明：按构成度量空间。证明：（1）显然且有，特别当时有有。（2）由函数在上单调增加，从而对有即三角不等式成立。3、设是度量空间中的闭集，证明必有一列开集包含，而且。证明：设为度量空间中的闭集，作集：，为开集，从而只要证；可实上，由于任意正整数，有，故：。另一方面，对任意的，有，令有。所以（因为闭集）。这就是说，综上所证有：。4、设为度量空间上的距离，证明也是上的距离。证明：首先由为度量空间上的距离且，因此显然有且的充要条件是，而的充要条件是，因此的充要条件是。其次由函数在上单调增加有即三角不等式成立。所以也是上的距离。5、证明点列按题2中距离收敛于的充要条件为的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数。证明：由题2距离的定义：则有：若上述距离收敛于，则。所以对任何非负整数有：。由此对任何非负实数有。从而对任何非负整数，的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数。反之：若对每个，的各阶导数在上一致收敛于的各阶导数，则对

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