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文档简介
吉林省长春市朝阳区2024学年中考数学五模试卷注意事项1.考试结束后,请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前,请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题,必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑;如需改动,请用橡皮擦干净后,再选涂其他答案.作答非选择题,必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律无效.5.如需作图,须用2B铅笔绘、写清楚,线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1.一辆客车从甲地开往乙地,一辆出租车从乙地开往甲地,两车同时出发,它们离甲地的路程y(km)与客车行驶时间x(h)间的函数关系如图,下列信息:(1)出租车的速度为100千米/时;(2)客车的速度为60千米/时;(3)两车相遇时,客车行驶了3.75小时;(4)相遇时,出租车离甲地的路程为225千米.其中正确的个数有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个2.如图,排球运动员站在点O处练习发球,将球从O点正上方2m的A处发出,把球看成点,其运行的高度y(m)与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x﹣k)2+h.已知球与D点的水平距离为6m时,达到最高2.6m,球网与D点的水平距离为9m.高度为2.43m,球场的边界距O点的水平距离为18m,则下列判断正确的是()A.球不会过网 B.球会过球网但不会出界C.球会过球网并会出界 D.无法确定3.3点40分,时钟的时针与分针的夹角为()A.140° B.130° C.120° D.110°4.计算的值()A.1 B. C.3 D.5.如图所示,二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象经过点(﹣1,2),且与x轴交点的横坐标分别为x1、x2,其中﹣2<x1<﹣1,0<x2<1.下列结论:①4a﹣2b+c<0;②2a﹣b<0;③abc<0;④b2+8a<4ac.其中正确的结论有()A.1个 B.2个 C.3个 D.4个6.有6个相同的立方体搭成的几何体如图所示,则它的主视图是()A. B. C. D.7.下面说法正确的个数有()①如果三角形三个内角的比是1∶2∶3,那么这个三角形是直角三角形;②如果三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角,则这么三角形是直角三角形;③如果一个三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是直角三角形;④如果∠A=∠B=12⑤若三角形的一个内角等于另两个内角之差,那么这个三角形是直角三角形;⑥在△ABC中,若∠A+∠B=∠C,则此三角形是直角三角形.A.3个B.4个C.5个D.6个8.实数的倒数是()A. B. C. D.9.如图:在中,平分,平分,且交于,若,则等于()A.75 B.100 C.120 D.12510.学校小组名同学的身高(单位:)分别为:,,,,,则这组数据的中位数是().A. B. C. D.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11.四边形ABCD中,向量_____________.12.计算:﹣22÷(﹣)=_____.13.计算:的值是______________.14.为响应“书香成都”建设的号召,在全校形成良好的人文阅读风尚,成都市某中学随机调查了部分学生平均每天的阅读时间,统计结果如图所示,则在本次调查中,阅读时间的中位数是________小时.15.如图,一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形格子构成,向游戏板随机投掷一枚飞镖,击中黑色区域的概率是______.16.如图,小阳发现电线杆的影子落在土坡的坡面和地面上,量得,米,与地面成角,且此时测得米的影长为米,则电线杆的高度为__________米.17.已知正比例函数的图像经过点M(-2,1)、Ax1,y1、Bx2,y三、解答题(共7小题,满分69分)18.(10分)已知Rt△ABC,∠A=90°,BC=10,以BC为边向下作矩形BCDE,连AE交BC于F.(1)如图1,当AB=AC,且sin∠BEF=时,求的值;(2)如图2,当tan∠ABC=时,过D作DH⊥AE于H,求的值;(3)如图3,连AD交BC于G,当时,求矩形BCDE的面积19.(5分)(1)(﹣2)2+2sin45°﹣(2)解不等式组,并将其解集在如图所示的数轴上表示出来.20.(8分)某青春党支部在精准扶贫活动中,给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种.已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元,用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同.求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元?在实际帮扶中,他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵,此时,甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%,乙种树苗的售价不变,如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元,那么他们最多可购买多少棵乙种树苗?21.(10分)在平面直角坐标系中,O为原点,点A(3,0),点B(0,4),把△ABO绕点A顺时针旋转,得△AB′O′,点B,O旋转后的对应点为B′,O.(1)如图1,当旋转角为90°时,求BB′的长;(2)如图2,当旋转角为120°时,求点O′的坐标;(3)在(2)的条件下,边OB上的一点P旋转后的对应点为P′,当O′P+AP′取得最小值时,求点P′的坐标.(直接写出结果即可)22.(10分)如图1,抛物线l1:y=﹣x2+bx+3交x轴于点A、B,(点A在点B的左侧),交y轴于点C,其对称轴为x=1,抛物线l2经过点A,与x轴的另一个交点为E(5,0),交y轴于点D(0,﹣5).(1)求抛物线l2的函数表达式;(2)P为直线x=1上一动点,连接PA、PC,当PA=PC时,求点P的坐标;(3)M为抛物线l2上一动点,过点M作直线MN∥y轴(如图2所示),交抛物线l1于点N,求点M自点A运动至点E的过程中,线段MN长度的最大值.23.(12分)如图,AB是⊙O的直径,点E是AD上的一点,∠DBC=∠BED.(1)请判断直线BC与⊙O的位置关系,并说明理由;(2)已知AD=5,CD=4,求BC的长.24.(14分)已知开口向下的抛物线y=ax2-2ax+2与y轴的交点为A,顶点为B,对称轴与x轴的交点为C,点A与点D关于对称轴对称,直线BD与x轴交于点M,直线AB与直线OD交于点N.(1)求点D的坐标.(2)求点M的坐标(用含a的代数式表示).(3)当点N在第一象限,且∠OMB=∠ONA时,求a的值.
参考答案一、选择题(每小题只有一个正确答案,每小题3分,满分30分)1、D【解题分析】
根据题意和函数图象中的数据可以判断各个小题是否正确,从而可以解答本题.【题目详解】由图象可得,出租车的速度为:600÷6=100千米/时,故(1)正确,客车的速度为:600÷10=60千米/时,故(2)正确,两车相遇时,客车行驶时间为:600÷(100+60)=3.75(小时),故(3)正确,相遇时,出租车离甲地的路程为:60×3.75=225千米,故(4)正确,故选D.【题目点拨】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思想解答.2、C【解题分析】分析:(1)将点A(0,2)代入求出a的值;分别求出x=9和x=18时的函数值,再分别与2.43、0比较大小可得.详解:根据题意,将点A(0,2)代入得:36a+2.6=2,解得:∴y与x的关系式为当x=9时,∴球能过球网,当x=18时,∴球会出界.故选C.点睛:考查二次函数的应用题,求范围的问题,可以利用临界点法求出自变量的值,根据题意确定范围.3、B【解题分析】
根据时针与分针相距的份数乘以每份的度数,可得答案.【题目详解】解:3点40分时针与分针相距4+=份,30°×=130,故选B.【题目点拨】本题考查了钟面角,确定时针与分针相距的份数是解题关键.4、A【解题分析】
根据有理数的加法法则进行计算即可.【题目详解】故选:A.【题目点拨】本题主要考查有理数的加法,掌握有理数的加法法则是解题的关键.5、C【解题分析】
首先根据抛物线的开口方向可得到a<0,抛物线交y轴于正半轴,则c>0,而抛物线与x轴的交点中,﹣2<x1<﹣1、0<x2<1说明抛物线的对称轴在﹣1~0之间,即x=﹣>﹣1,可根据这些条件以及函数图象上一些特殊点的坐标来进行判断【题目详解】由图知:抛物线的开口向下,则a<0;抛物线的对称轴x=﹣>﹣1,且c>0;①由图可得:当x=﹣2时,y<0,即4a﹣2b+c<0,故①正确;②已知x=﹣>﹣1,且a<0,所以2a﹣b<0,故②正确;③抛物线对称轴位于y轴的左侧,则a、b同号,又c>0,故abc>0,所以③不正确;④由于抛物线的对称轴大于﹣1,所以抛物线的顶点纵坐标应该大于2,即:>2,由于a<0,所以4ac﹣b2<8a,即b2+8a>4ac,故④正确;因此正确的结论是①②④.故选:C.【题目点拨】本题主要考查对二次函数图象与系数的关系,抛物线与x轴的交点,二次函数图象上点的坐标特征等知识点的理解和掌握,能根据图象确定与系数有关的式子的正负是解此题的关键.6、C【解题分析】试题分析:根据主视图是从正面看得到的图形,可得答案.解:从正面看第一层三个小正方形,第二层左边一个小正方形,右边一个小正方形.故选C.考点:简单组合体的三视图.7、C【解题分析】试题分析:①∵三角形三个内角的比是1:2:3,∴设三角形的三个内角分别为x,2x,3x,∴x+2x+3x=180°,解得x=30°,∴3x=3×30°=90°,∴此三角形是直角三角形,故本小题正确;②∵三角形的一个外角与它相邻的一个内角的和是180°,∴若三角形的一个外角等于与它相邻的一个内角,则此三角形是直角三角形,故本小题正确;③∵直角三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,∴若三角形的三条高的交点恰好是三角形的一个顶点,那么这个三角形是直角三角形,故本小题正确;④∵∠A=∠B=12∴设∠A=∠B=x,则∠C=2x,∴x+x+2x=180°,解得x=45°,∴2x=2×45°=90°,∴此三角形是直角三角形,故本小题正确;⑤∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和,三角形的一个内角等于另两个内角之差,∴三角形一个内角也等于另外两个内角的和,∴这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的,且外角与它相邻的内角互补,∴有一个内角一定是90°,故这个三角形是直角三角形,故本小题正确;⑥∵三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角之和,又一个内角也等于另外两个内角的和,由此可知这个三角形中有一个内角和它相邻的外角是相等的,且外角与它相邻的内角互补,∴有一个内角一定是90°,故这个三角形是直角三角形,故本小题正确.故选D.考点:1.三角形内角和定理;2.三角形的外角性质.8、D【解题分析】因为=,所以的倒数是.故选D.9、B【解题分析】
根据角平分线的定义推出△ECF为直角三角形,然后根据勾股定理即可求得CE2+CF2=EF2,进而可求出CE2+CF2的值.【题目详解】解:∵CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,∴∠ACE=∠ACB,∠ACF=∠ACD,即∠ECF=(∠ACB+∠ACD)=90°,∴△EFC为直角三角形,
又∵EF∥BC,CE平分∠ACB,CF平分∠ACD,
∴∠ECB=∠MEC=∠ECM,∠DCF=∠CFM=∠MCF,
∴CM=EM=MF=5,EF=10,
由勾股定理可知CE2+CF2=EF2=1.
故选:B.【题目点拨】本题考查角平分线的定义(从一个角的顶点引出一条射线,把这个角分成两个完全相同的角,这条射线叫做这个角的角平分线),直角三角形的判定(有一个角为90°的三角形是直角三角形)以及勾股定理的运用,解题的关键是首先证明出△ECF为直角三角形.10、C【解题分析】
根据中位数的定义进行解答【题目详解】将5名同学的身高按从高到矮的顺序排列:159、156、152、151、147,因此这组数据的中位数是152.故选C.【题目点拨】本题主要考查中位数,解题的关键是熟练掌握中位数的定义:一组数据按从小到大(或从大到小)的顺序依次排列,处在中间位置的一个数(或最中间两个数据的平均数)称为中位数.二、填空题(共7小题,每小题3分,满分21分)11、【解题分析】分析:根据“向量运算”的三角形法则进行计算即可.详解:如下图所示,由向量运算的三角形法则可得:==.故答案为.点睛:理解向量运算的三角形法则是正确解答本题的关键.12、1【解题分析】解:原式==1.故答案为1.13、-1【解题分析】解:=-1.故答案为:-1.14、1【解题分析】由统计图可知共有:8+19+10+3=40人,中位数应为第20与第21个的平均数,而第20个数和第21个数都是1(小时),则中位数是1小时.故答案为1.15、【解题分析】
求出黑色区域面积与正方形总面积之比即可得答案.【题目详解】图中有9个小正方形,其中黑色区域一共有3个小正方形,所以随意投掷一个飞镖,击中黑色区域的概率是,故答案为.【题目点拨】本题考查了几何概率,熟练掌握概率的计算公式是解题的关键.注意面积之比几何概率.16、(14+2)米【解题分析】
过D作DE⊥BC的延长线于E,连接AD并延长交BC的延长线于F,根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出DE,再根据勾股定理求出CE,然后根据同时同地物高与影长成正比列式求出EF,再求出BF,再次利用同时同地物高与影长成正比列式求解即可.【题目详解】如图,过D作DE⊥BC的延长线于E,连接AD并延长交BC的延长线于F.∵CD=8,CD与地面成30°角,∴DE=CD=×8=4,根据勾股定理得:CE===4.∵1m杆的影长为2m,∴=,∴EF=2DE=2×4=8,∴BF=BC+CE+EF=20+4+8=(28+4).∵=,∴AB=(28+4)=14+2.故答案为(14+2).【题目点拨】本题考查了相似三角形的应用,主要利用了同时同地物高与影长成正比的性质,作辅助线求出AB的影长若全在水平地面上的长BF是解题的关键.17、>【解题分析】分析:根据正比例函数的图象经过点M(﹣1,1)可以求得该函数的解析式,然后根据正比例函数的性质即可解答本题.详解:设该正比例函数的解析式为y=kx,则1=﹣1k,得:k=﹣0.5,∴y=﹣0.5x.∵正比例函数的图象经过点A(x1,y1)、B(x1,y1),x1<x1,∴y1>y1.故答案为>.点睛:本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征,解答本题的关键是明确题意,利用正比例函数的性质解答.三、解答题(共7小题,满分69分)18、(1);(2)80;(3)100.【解题分析】
(1)过A作AK⊥BC于K,根据sin∠BEF=得出,设FK=3a,AK=5a,可求得BF=a,故;(2)过A作AK⊥BC于K,延长AK交ED于G,则AG⊥ED,得△EGA∽△EHD,利用相似三角形的性质即可求出;(3)延长AB、ED交于K,延长AC、ED交于T,根据相似三角形的性质可求出BE=ED,故可求出矩形的面积.【题目详解】解:(1)过A作AK⊥BC于K,∵sin∠BEF=,sin∠FAK=,∴,设FK=3a,AK=5a,∴AK=4a,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴BK=CK=4a,∴BF=a,又∵CF=7a,∴(2)过A作AK⊥BC于K,延长AK交ED于G,则AG⊥ED,∵∠AGE=∠DHE=90°,∴△EGA∽△EHD,∴,∴,其中EG=BK,∵BC=10,tan∠ABC=,cos∠ABC=,∴BA=BC·cos∠ABC=,BK=BA·cos∠ABC=∴EG=8,另一方面:ED=BC=10,∴EH·EA=80(3)延长AB、ED交于K,延长AC、ED交于T,∵BC∥KT,,∴,同理:∵FG2=BF·CG∴,∴ED2=KE·DT∴,又∵△KEB∽△CDT,∴,∴KE·DT=BE2,∴BE2=ED2∴BE=ED∴【题目点拨】此题主要考查相似三角形的判定与性质,解题的关键根据题意作出辅助线再进行求解.19、(1)4﹣5;﹣<x≤2,在数轴上表示见解析【解题分析】
(1)此题涉及乘方、特殊角的三角函数、负整数指数幂和二次根式的化简,首先针对各知识点进行计算,再计算实数的加减即可;(2)首先解出两个不等式的解集,再根据大小小大中间找确定不等式组的解集.【题目详解】解:(1)原式=4+2×﹣2×3=4+﹣6=4﹣5;(2),解①得:x>﹣,解②得:x≤2,不等式组的解集为:﹣<x≤2,在数轴上表示为:.【题目点拨】此题主要考查了解一元一次不等式组,以实数的运算,关键是正确确定两个不等式的解集,掌握特殊角的三角函数值.20、(1)甲种树苗每棵的价格是30元,乙种树苗每棵的价格是40元;(2)他们最多可购买11棵乙种树苗.【解题分析】
(1)可设甲种树苗每棵的价格是x元,则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元,根据等量关系:用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同,列出方程求解即可;(2)可设他们可购买y棵乙种树苗,根据不等关系:再次购买两种树苗的总费用不超过1500元,列出不等式求解即可.【题目详解】(1)设甲种树苗每棵的价格是x元,则乙种树苗每棵的价格是(x+10)元,依题意有480x+10解得:x=30,经检验,x=30是原方程的解,x+10=30+10=40,答:甲种树苗每棵的价格是30元,乙种树苗每棵的价格是40元;(2)设他们可购买y棵乙种树苗,依题意有30×(1﹣10%)(50﹣y)+40y≤1500,解得y≤11713∵y为整数,∴y最大为11,答:他们最多可购买11棵乙种树苗.【题目点拨】本题考查了分式方程的应用,一元一次不等式的应用,弄清题意,找准等量关系与不等关系列出方程或不等式是解决问题的关键.21、(1)5;(2)O'(,);(3)P'(,).【解题分析】
(1)先求出AB.利用旋转判断出△ABB'是等腰直角三角形,即可得出结论;(2)先判断出∠HAO'=60°,利用含30度角的直角三角形的性质求出AH,OH,即可得出结论;(3)先确定出直线O'C的解析式,进而确定出点P的坐标,再利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论.【题目详解】解:(1)∵A(3,0),B(0,4),∴OA=3,OB=4,∴AB=5,由旋转知,BA=B'A,∠BAB'=90°,∴△ABB'是等腰直角三角形,∴BB'=AB=5;(2)如图2,过点O'作O'H⊥x轴于H,由旋转知,O'A=OA=3,∠OAO'=120°,∴∠HAO'=60°,∴∠HO'A=30°,∴AH=AO'=,OH=AH=,∴OH=OA+AH=,∴O'();(3)由旋转知,AP=AP',∴O'P+AP'=O'P+AP.如图3,作A关于y轴的对称点C,连接O'C交y轴于P,∴O'P+AP=O'P+CP=O'C,此时,O'P+AP的值最小.∵点C与点A关于y轴对称,∴C(﹣3,0).∵O'(),∴直线O'C的解析式为y=x+,令x=0,∴y=,∴P(0,),∴O'P'=OP=,作P'D⊥O'H于D.∵∠B'O'A=∠BOA=90°,∠AO'H=30°,∴∠DP'O'=30°,∴O'D=O'P'=,P'D=O'D=,∴DH=O'H﹣O'D=,O'H+P'D=,∴P'().【题目点拨】本题是几何变换综合题,考查了旋转的性质,等腰直角三角形的性质,含30度角的直角三角形的性质,构造出直角三角形是解答本题的关键.22、(1)抛物线l2的函数表达式;y=x2﹣4x﹣1;(2)P点坐标为(1,1);(3)在点M自点A运动至点E的过程中,线段MN长度的最大值为12.1.【解题分析】
(1)由抛物线l1的对称轴求出b的值,即可得出抛物线l1的解析式,从而得出点A、点B的坐标,由点B、点E、点D的坐标求出抛物线l2的解析式即可;(2)作CH⊥PG交直线PG于点H,设点P的坐标为(1,y),求出点C的坐标,进而得出CH=1,PH=|3﹣y|,PG=|y|,AG=2,由PA=PC可得PA2=PC2,由勾股定理分别将PA2、PC2用CH、PH、PG、AG表示,列方程求出y的值即可;(3)设出点M的坐标,求出两个抛物线交点的横坐标分别为﹣1,4,①当﹣1<x≤4时,点M位于点N的下方,表示出MN的长度为关于x的二次函数,在x的范围内求二次函数的最值;②当4<x≤1时,点M位于点N的上方,同理求出此时MN的最大值,取二者较大值,即可得出MN的最大值.【题目详解】(1)∵抛物线l1:y=﹣x2+bx+3对称轴为x=1,∴x=﹣=1,b=2,∴抛物线l1的函数表达式为:y=﹣x2+2x+3,当y=0时,﹣x2+2x+3=0,解得:x1=3,x2=﹣1,∴A(﹣1,0),B(3,0),设抛物线l2的函数表达式;y=a(x﹣1)(x+1),把D(0,﹣1)代入得:﹣1a=﹣1,a=1,∴抛物线l2的函数表达式;y=x2﹣4x﹣1;(2)作CH⊥PG交直线PG于点H,设P点坐标为(1,y),由(1)可得C点坐标为(0,3),∴CH=1,PH=|3﹣y|,PG=|y|,AG=2,∴PC2=12+(3﹣y)2=y2﹣6y+10,PA2==y2+4,∵PC=PA,∴PA2=PC2,∴y2﹣6y+10=y2+4,解得y=1,∴P点坐标为(1,1);(3)由题意可设M(x,x2﹣4x﹣1),∵MN∥y轴,∴N(x,﹣x2+2x+3),令﹣x2+2x+3=x2﹣4x﹣1,可解得x=﹣1或x=4,①当﹣1<x≤4时,MN=(﹣x2+2x+3)﹣(x2﹣4x﹣1)=﹣2x2+6x+8=﹣2(x﹣)2+,显然﹣1<≤4,∴当x=时,MN有最大值12.1;②当4<x≤1时,MN=(x2﹣4x﹣1)﹣(﹣x2+2x+3)=2x2﹣6x﹣8=2(x﹣)2﹣,显然当x>时,MN随x的增大而增大,∴当x=1时,MN有最大值,MN=2(1﹣)2﹣=12.综上可知:在点M自点A运动至点E的过程中,线段MN长度的最大值为12.1.【题目点拨】本题是二次函数与几何综合题,主要考查二次函数解析式的求解、勾股定理的应用以及动点求线段最值问题.23、(1)BC与⊙O相切;理由见解析;(2)BC=6【解题分析】试题分析:(1)BC与⊙O相切;由已知可得∠BAD=∠BED又由∠DBC=∠BED可得∠BAD=∠DBC,由AB为直径可得∠ADB=90°,从而可得∠CBO=90°,继而可得BC与⊙O相切(2)由AB为直径可得∠ADB=90°,从而可得∠BDC=90°,由BC与⊙O相切,可得∠CBO=90°,从而可得∠BDC=∠CBO,可得ΔAB
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