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文档简介
2023-2024学年内蒙古巴彦淖尔市高三上数学期末联考试题注意事项:1.答题前,考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚,将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2.选择题必须使用2B铅笔填涂;非选择题必须使用0.5毫米黑色字迹的签字笔书写,字体工整、笔迹清楚。3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答,超出答题区域书写的答案无效;在草稿纸、试题卷上答题无效。4.保持卡面清洁,不要折叠,不要弄破、弄皱,不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1.是的()条件A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要2.若的二项展开式中的系数是40,则正整数的值为()A.4 B.5 C.6 D.73.已知集合,,若,则()A.或 B.或 C.或 D.或4.某几何体的三视图如图所示,若侧视图和俯视图均是边长为的等边三角形,则该几何体的体积为A. B. C. D.5.将函数图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,则函数图象的一个对称中心为()A. B. C. D.6.在中,在边上满足,为的中点,则().A. B. C. D.7.《易经》包含着很多哲理,在信息学、天文学中都有广泛的应用,《易经》的博大精深,对今天的几何学和其它学科仍有深刻的影响.下图就是易经中记载的几何图形——八卦田,图中正八边形代表八卦,中间的圆代表阴阳太极图,八块面积相等的曲边梯形代表八卦田.已知正八边形的边长为,阴阳太极图的半径为,则每块八卦田的面积约为()A. B.C. D.8.某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队,平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊,其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士,则不同的分配方案有A.72种 B.36种 C.24种 D.18种9.的展开式中,项的系数为()A.-23 B.17 C.20 D.6310.三棱锥中,侧棱底面,,,,,则该三棱锥的外接球的表面积为()A. B. C. D.11.设,满足,则的取值范围是()A. B. C. D.12.i是虚数单位,若,则乘积的值是()A.-15 B.-3 C.3 D.15二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13.的展开式中的系数为__________.14.设Sn为数列{an}的前n项和,若an0,a1=1,且2Sn=an(an+t),n∈N*,则S10=_____.15.已知不等式组所表示的平面区域为,则区域的外接圆的面积为______.16.满足约束条件的目标函数的最小值是.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)中国古建筑中的窗饰是艺术和技术的统一体,给人于美的享受.如图(1)为一花窗;图(2)所示是一扇窗中的一格,呈长方形,长30cm,宽26cm,其内部窗芯(不含长方形边框)用一种条形木料做成,由两个菱形和六根支条构成,整个窗芯关于长方形边框的两条对称轴成轴对称.设菱形的两条对角线长分别为xcm和ycm,窗芯所需条形木料的长度之和为L.(1)试用x,y表示L;(2)如果要求六根支条的长度均不小于2cm,每个菱形的面积为130cm2,那么做这样一个窗芯至少需要多长的条形木料(不计榫卯及其它损耗)?18.(12分)已知函数.(1)若恒成立,求的取值范围;(2)设函数的极值点为,当变化时,点构成曲线,证明:过原点的任意直线与曲线有且仅有一个公共点.19.(12分)已知函数,设的最小值为m.(1)求m的值;(2)是否存在实数a,b,使得,?并说明理由.20.(12分)在中,内角的对边分别为,且(1)求;(2)若,且面积的最大值为,求周长的取值范围.21.(12分)已知函数.(1)讨论函数单调性;(2)当时,求证:.22.(10分)已知椭圆的左,右焦点分别为,,,M是椭圆E上的一个动点,且的面积的最大值为.(1)求椭圆E的标准方程,(2)若,,四边形ABCD内接于椭圆E,,记直线AD,BC的斜率分别为,,求证:为定值.
参考答案一、选择题:本题共12小题,每小题5分,共60分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】
利用充分条件、必要条件与集合包含关系之间的等价关系,即可得出。【详解】设对应的集合是,由解得且对应的集合是,所以,故是的必要不充分条件,故选B。【点睛】本题主要考查充分条件、必要条件的判断方法——集合关系法。设,如果,则是的充分条件;如果B则是的充分不必要条件;如果,则是的必要条件;如果,则是的必要不充分条件。2、B【解析】
先化简的二项展开式中第项,然后直接求解即可【详解】的二项展开式中第项.令,则,∴,∴(舍)或.【点睛】本题考查二项展开式问题,属于基础题3、B【解析】
因为,所以,所以或.若,则,满足.若,解得或.若,则,满足.若,显然不成立,综上或,选B.4、C【解析】
由三视图可知,该几何体是三棱锥,底面是边长为的等边三角形,三棱锥的高为,所以该几何体的体积,故选C.5、D【解析】
根据函数图象的变换规律可得到解析式,然后将四个选项代入逐一判断即可.【详解】解:图象上每一点的横坐标变为原来的2倍,得到再将图像向左平移个单位长度,得到函数的图象,故选:D【点睛】考查三角函数图象的变换规律以及其有关性质,基础题.6、B【解析】
由,可得,,再将代入即可.【详解】因为,所以,故.故选:B.【点睛】本题考查平面向量的线性运算性质以及平面向量基本定理的应用,是一道基础题.7、B【解析】
由图利用三角形的面积公式可得正八边形中每个三角形的面积,再计算出圆面积的,两面积作差即可求解.【详解】由图,正八边形分割成个等腰三角形,顶角为,设三角形的腰为,由正弦定理可得,解得,所以三角形的面积为:,所以每块八卦田的面积约为:.故选:B【点睛】本题考查了正弦定理解三角形、三角形的面积公式,需熟记定理与面积公式,属于基础题.8、B【解析】
根据条件2名内科医生,每个村一名,3名外科医生和3名护士,平均分成两组,则分1名外科,2名护士和2名外科医生和1名护士,根据排列组合进行计算即可.【详解】2名内科医生,每个村一名,有2种方法,3名外科医生和3名护士,平均分成两组,要求外科医生和护士都有,则分1名外科,2名护士和2名外科医生和1名护士,若甲村有1外科,2名护士,则有C3若甲村有2外科,1名护士,则有C3则总共的分配方案为2×(9+9)=2×18=36种,故选:B.【点睛】本题主要考查了分组分配问题,解决这类问题的关键是先分组再分配,属于常考题型.9、B【解析】
根据二项式展开式的通项公式,结合乘法分配律,求得的系数.【详解】的展开式的通项公式为.则①出,则出,该项为:;②出,则出,该项为:;③出,则出,该项为:;综上所述:合并后的项的系数为17.故选:B【点睛】本小题考查二项式定理及展开式系数的求解方法等基础知识,考查理解能力,计算能力,分类讨论和应用意识.10、B【解析】由题,侧棱底面,,,,则根据余弦定理可得,的外接圆圆心三棱锥的外接球的球心到面的距离则外接球的半径,则该三棱锥的外接球的表面积为点睛:本题考查的知识点是球内接多面体,熟练掌握球的半径公式是解答的关键.11、C【解析】
首先绘制出可行域,再绘制出目标函数,根据可行域范围求出目标函数中的取值范围.【详解】由题知,满足,可行域如下图所示,可知目标函数在点处取得最小值,故目标函数的最小值为,故的取值范围是.故选:D.【点睛】本题主要考查了线性规划中目标函数的取值范围的问题,属于基础题.12、B【解析】,∴,选B.二、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。13、3【解析】
分别用1和进行分类讨论即可【详解】当第一个因式取1时,第二个因式应取含的项,则对应系数为:;当第一个因式取时,第二个因式应取含的项,则对应系数为:;故的展开式中的系数为.故答案为:3【点睛】本题考查二项式定理中具体项对应系数的求解,属于基础题14、55【解析】
由求出.由,可得,两式相减,可得数列是以1为首项,1为公差的等差数列,即求.【详解】由题意,当n=1时,,当时,由,可得,两式相减,可得,整理得,,即,∴数列是以1为首项,1为公差的等差数列,.故答案为:55.【点睛】本题考查求数列的前项和,属于基础题.15、【解析】
先作可行域,根据解三角形得外接圆半径,最后根据圆面积公式得结果.【详解】由题意作出区域,如图中阴影部分所示,易知,故,又,设的外接圆的半径为,则由正弦定理得,即,故所求外接圆的面积为.【点睛】线性规划问题,首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线,其次确定目标函数的几何意义,是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离、可行域面积、可行域外接圆等等,最后结合图形确定目标函数最值取法、值域范围.16、-2【解析】
可行域是如图的菱形ABCD,代入计算,知为最小.三、解答题:共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、(1)(2)【解析】试题分析:(1)由条件可先求水平方向每根支条长,竖直方向每根支条长为,因此所需木料的长度之和L=(2)先确定范围由可得,再由面积为130cm2,得,转化为一元函数,令,则在上为增函数,解得L有最小值.试题解析:(1)由题意,水平方向每根支条长为cm,竖直方向每根支条长为cm,菱形的边长为cm.从而,所需木料的长度之和L=cm.(2)由题意,,即,又由可得.所以.令,其导函数在上恒成立,故在上单调递减,所以可得.则=.因为函数和在上均为增函数,所以在上为增函数,故当,即时L有最小值.答:做这样一个窗芯至少需要cm长的条形木料.考点:函数应用题18、(1);(2)证明见解析【解析】
(1)由恒成立,可得恒成立,进而构造函数,求导可判断出的单调性,进而可求出的最小值,令即可;(2)由,可知存在唯一的,使得,则,,进而可得,即曲线的方程为,进而只需证明对任意,方程有唯一解,然后构造函数,分、和三种情况,分别证明函数在上有唯一的零点,即可证明结论成立.【详解】(1)由题意,可知,由恒成立,可得恒成立.令,则.令,则,,,在上单调递增,又,时,;时,,即时,;时,,时,单调递减;时,单调递增,时,取最小值,.(2)证明:由,令,由,结合二次函数性质可知,存在唯一的,使得,故存在唯一的极值点,则,,,曲线的方程为.故只需证明对任意,方程有唯一解.令,则,①当时,恒成立,在上单调递增.,,,存在满足时,使得.又单调递增,所以为唯一解.②当时,二次函数,满足,则恒成立,在上单调递增.,,存在使得,又在上单调递增,为唯一解.③当时,二次函数,满足,此时有两个不同的解,不妨设,,,列表如下:00↗极大值↘极小值↗由表可知,当时,的极大值为.,,,,,..下面来证明,构造函数,则,当时,,此时单调递增,,时,,,故成立.,存在,使得.又在单调递增,为唯一解.所以,对任意,方程有唯一解,即过原点任意的直线与曲线有且仅有一个公共点.【点睛】本题考查利用导数研究函数单调性的应用,考查不等式恒成立问题,考查利用单调性研究图象交点问题,考查学生的计算求解能力与推理论证能力,属于难题.19、(1)(2)不存在;详见解析【解析】
(1)将函数去绝对值化为分段函数的形式,从而可求得函数的最小值,进而可得m.(2)由,利用基本不等式即可求出.【详解】(1);(2),若,同号,,不成立;或,异号,,不成立;故不存在实数,,使得,.【点睛】本题考查了分段函数的最值、基本不等式的应用,属于基础题.20、(1)(2)【解析】
(1)利用二倍角公式及三角形内角和定理,将化简为,求出的值,结合,求出A的值;(2)写出三角形的面积公式,由其最大值为求出.由余弦定理,结合,,求出的范围,注意.进而求出周长的范围.【详解】解:(1)整理得解得或(舍去)又;(2)由题意知,又,,又周长的取值范围是【点睛】本题考查了二倍角余弦公式,三角形面积公式,余弦定理的应用,求三角形的周长的范围问题.属于中档题.21、(1)见解析(2)见解析【解析】
(1)根据的导函数进行分类讨论单调性(2)欲证,只需证,构造函数,证明,这时需研究的单调性,求其最大值即可【详解】解:(1)的定义域为,,①当时,由得,由,得,所以在上单调递增,在单调递减;②当时,由得,由,得,或,所以在上单调递增,在单调递减,在单调递增;③当时,,所以在上单调递增;④当时,由,得,由,得,或,所以在上单调递增,在单调递减,在单调递增.(2)当时,欲证,只需证,令,,则,因存在,使得成立,即有,使得成立.当变化时,,的变化如下:0单调递增单调递减所以.因为,所以,所以.即,所以当时,成立.【点睛】考查求函数单调性的方法和用函数的最值证明不等式的方法,难题.22、(1)(2)证明见解析【解析】
(1)设椭圆E的半焦距为c,由题意可知,当M为椭圆E的上顶点或下顶点时
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