2023-2024学年江苏省泰州市联盟五校高二上学期期中考试数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat16页2023-2024学年江苏省泰州市联盟五校高二上学期期中考试数学试题一、单选题1．抛物线的准线方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】根据抛物线的标准方程求解.【详解】由抛物线得：焦点在x轴上，开口向右，p=2，所以其准线方程为，故选：B【点睛】本题主要考查抛物线的几何性质，属于基础题.2．已知，，若，则实数（

）A．0或1 B． C．1 D．0或【答案】C【分析】用两直线垂直的充要条件得解.【详解】因为，所以，或，又当时，不存在故舍，所以.故选：C.3．设为实数，若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用已知条件，分析椭圆的简单性质，列出不等式，求解即可.【详解】表示焦点在轴上的椭圆，可得，解得.故选：D4．设等差数列{an}的前n项和为Sn，若S3＝6，S4＝12，则S7＝（

）A．30 B．36 C．42 D．48【答案】C【分析】由题目条件及等差数列前n项和公式列出方程，可得答案.【详解】设{an}首项为，公差为d.因S3＝6，S4＝12，则.则.故选：C5．已知圆，过点（1，2）的直线被该圆所截得的弦的长度的最小值为（

）A．1 B．2C．3 D．4【答案】B【分析】当直线和圆心与点的连线垂直时，所求的弦长最短，即可得出结论.【详解】圆化为，所以圆心坐标为，半径为，设，当过点的直线和直线垂直时，圆心到过点的直线的距离最大，所求的弦长最短，此时根据弦长公式得最小值为.故选：B.【点睛】本题考查圆的简单几何性质，以及几何法求弦长，属于基础题.6．设等差数列，的前项和分别为，，都有，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用等差数列的性质与前项和公式即可得解.【详解】因为，所以.故选：B.7．已知椭圆与双曲线共焦点，双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，两曲线的交点与两焦点共圆，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据题意，结合椭圆与双曲线的定义可得，然后由条件可得的关系，再由离心率的计算公式，代入计算，即可得到结果.【详解】不妨设双曲线的标准方程为，则双曲线的实半轴长为，由双曲线实轴的两顶点将椭圆的长轴三等分，可得椭圆的长半轴为，半焦距为，设椭圆与双曲线的公共焦点为，且分别为双曲线的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限的交点为，第三象限的交点为，，则，可得，且两曲线的交点与两焦点共圆，则在以为直径的圆上，所以，即，所以，则双曲线的离心率为.故选：D8．在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y＝2x－4，设圆C的半径为1，圆心在l上．若圆C上存在点M，使MA＝2MO，则圆心C的横坐标a的取值范围是（

）A． B．[0,1]C． D．【答案】A【解析】设，圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1，设点M(x，y)，根据MA＝2MO，可得点的轨迹是圆：x2＋(y＋1)2＝4，根据两圆有公共点列式可解得结果.【详解】设，因为圆心在直线y＝2x－4上，所以圆C的方程为(x－a)2＋[y－2(a－2)]2＝1，设点M(x，y)，因为MA＝2MO，所以，化简得x2＋y2＋2y－3＝0，即x2＋(y＋1)2＝4，所以点M在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上，由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则|2－1|≤|CD|≤2＋1，即，由得5a2－12a＋8≥0，解得a∈R；由≤3得5a2－12a≤0，解得0≤a≤，所以点C的横坐标a的取值范围为.故选：A.【点睛】本题考查了求满足条件的动点的轨迹方程，考查了圆与圆的位置关系，考查了解一元二次不等式，属于中档题.二、多选题9．已知双曲线，则（

）A．双曲线的离心率为B．双曲线的虚轴长为C．双曲线的焦点坐标为D．双曲线的渐近线方程为【答案】AC【分析】根据双曲线的方程，求得，结合双曲线的几何性质，逐项判定，即可求解.【详解】由双曲线，可得，则，对于A中，双曲线的离心率为，所以A正确；对于B中，双曲线的虚轴长为，所以B不正确；对于C中，双曲线的焦点坐标为，所以C正确；对于D中，双曲线的渐近线方程为，所以D不正确.故选：AC.10．已知直线：，则（

）A．直线的倾斜角为B．直线与两坐标轴围成的三角形面积为C．点到直线的距离为2D．直线关于轴对称的直线方程为【答案】ACD【分析】由斜率与倾斜角的关系可判断A；求出直线与坐标轴的截距可判断B；由点到直线的距离公式可判断C；由点关于轴对称的特征，代入求解可判断D【详解】对于A：因为直线：的斜率为，所以直线的倾斜角为，故A正确；对于B：令，则；令，则；所以直线与两坐标轴围成的三角形面积为，故B错误；对于C：点到直线的距离为，故C正确；对于D：设在直线关于轴对称的直线上，则关于轴对称的点在直线上，则有，即，所以直线关于轴对称的直线方程为，故D正确；故选：ACD11．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，且，则下列命题正确的是（

）A． B．该数列的公差d<0C．a7=0 D．S12>0【答案】BCD【分析】由题意可得，从而得出等差数列中前6项为正，从第8项起均为负，结合等差数列的性质和前项和的公式对选项进行判断即可.【详解】由可得，，可得可得，所以等差数列的公差，故选项B正确.所以为正，，从第8项起均为负.故选项C正确.所以，故选项A不正确.,故选项D正确.故选：BCD12．已知圆M：，以下四个命题表述正确的是（

）A．若圆与圆M恰有一条公切线，则m=-8B．圆与圆M的公共弦所在直线为C．直线与圆M恒有两个公共点D．点P为x轴上一个动点，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线AB与MP交于点C，若Q，则CQ的最大值为【答案】BCD【分析】A选项，两圆内切，根据圆心距等于半径之差的绝对值，列出方程，求出；B选项，两圆相减即为两圆公共弦所在直线方程；C选项，求出直线所过定点坐标，得到定点在圆内，故直线与圆M恒有两个公共点；D选项，由题意得到四点共圆，且为直径，从而求出该圆的方程，与相减后得到直线的方程，进而求出直线MP的方程，联立求出点坐标，消参后得到点的轨迹方程为圆，从而求出CQ的最大值.【详解】由题意得：与内切，其中圆心为，半径为，则，解得：，A错误；与相减得：，且两圆相交，故圆与圆M的公共弦所在直线为，B正确；变形为，令，解得：，所以直线恒过点，由于，点在圆M内，故与圆M恒有两个公共点，C正确；设，，由题意可知：四点共圆，且为直径，故圆心为，半径为，所以此圆的方程为，整理得，与相减得：，即为直线AB的方程，直线MP的方程为，整理得，联立与，得到，故，由，解得：，将代入中，得，故，代入中，得到，轨迹为以为圆心，为半径的圆（不含点M），所以CQ的最大值为，即，D正确.故选：BCD【点睛】求轨迹方程常用的方法：直接法，相关点法，交轨法，定义法，本题的难点在于求出点C的坐标后下一步的处理方法，本题中用到了求轨迹方程的交轨法，属于较难一些的方法，要结合交点横纵坐标的特点，整理得到，再代入其中一个式子中，即可求解.三、填空题13．过点，且平行于直线的直线方程为．【答案】【分析】设直线方程为，代入所过点的坐标求得参数值即得．【详解】由题意设直线方程为，直线过点，则，，所以直线方程为．故答案为：．14．已知数列的前项和为，且，则数列的通项公式为．【答案】【分析】代入，得出.根据求出的表达式，代入检验，即可得出答案.【详解】当时，.当时，.因为，所以，.故答案为：.15．设，为实数，已知经过点的椭圆与双曲线有相同的焦距，则．【答案】【分析】根据点在椭圆上先求出椭圆方程及焦距，再由双曲线的概念计算即可.【详解】将点坐标代入椭圆方程得，即椭圆的焦距为，因为表示双曲线，则或，当时，双曲线的焦距为；当时，双曲线的焦距为；综上所述：.故答案为：16．若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数的取值范围是【答案】【分析】等价于或，当时，与圆有两个不同的交点，要使两曲线有四个不同的交点，只需与圆有两个不同的交点，利用判别式大于零，列不等式求解即可.【详解】由，得，则曲线表示圆心为，半径为1的圆，因为，所以或，当时，显然与圆有两个不同的交点，当时，表示直线，则两曲线只有两个交点，不合题意，所以，因为直线恒过点，所以要使两曲线有四个不同的交点，只需与圆有两个不同的交点，且，由方程组消去，得关于的一元二次方程，再令，化简得，解得，因为，所以，故答案为：.四、解答题17．已知椭圆的焦点为，该椭圆经过点P（5,2）（1）求椭圆的标准方程；（2）若椭圆上的点满足，求y0的值.【答案】（1）（2）【详解】试题分析：（1）根据椭圆定义得a，再根据c求b（2）由得,再与椭圆方程联立解得y0的值.试题解析：（1）依题意，设所求椭圆方程为其半焦距c=6.因为点P（5,2）在椭圆上，所以所以故所求椭圆的标准方程是（2）由得即代入椭圆方程得：故

五、证明题18．设是等差数列的前项和，(1)证明：数列是等差数列；(2)当，时，求数列的前项和．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）由等差数列的定义证明即可；（2）由已知条件求出和，然后求的前项和即可.【详解】（1）证明：设等差数列的公差为，，，为常数.所以数列是等差数列.（2），，，，.六、解答题19．已知两直线，(1)求直线和的交点的坐标；(2)若过点作圆的切线有两条，求的取值范围；(3)若直线与，不能构成三角形，求实数的值.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）联立直线方程，解方程组，即得答案；（2）根据点在圆外可得不等式，即求得答案；（3）讨论直线与，不能构成三角形的情况即为或或过点P，由此可求得a的值.【详解】（1）联立方程组，即直线和的交点的坐标；（2）由题意知点在圆外，，；（3）若直线与，不能构成三角形，则或或过点P，当时，则，满足题意；当时，，满足题意；当过点P时，，故实数的值为.20．已知圆的圆心在直线上，且圆过点.(1)求圆的标准方程；(2)过点的直线与圆相交于A，两点，当时，求直线的方程.【答案】(1)(2)或.【分析】（1）由圆过点，可得圆心在这两点连线中垂线上，结合圆心在直线上可得圆心坐标与圆的半径；（2）由结合垂径定理可得直线到圆心距离.注意到直线的斜率不存在时，满足题意；当直线的斜率存在时，设过点的直线为：，后由点到直线距离公式可得k.【详解】（1）点中点坐标为：，两点连线斜率为.则两点连线中垂线斜率为，故这两点中垂线方程为：.将中垂线方程与联立，，即圆心坐标为，则半径，故圆的标准方程为：.（2）设直线到圆心距离为d，由垂径定理，.则.当直线斜率不存在时，方程为，到圆心距离为2，满足题意；当直线斜率存在时，设，由其到圆心距离为2，结合点到直线距离公式，可得.则此时，直线方程为.故直线方程为：或21．在平面直角坐标系中，圆的方程，设直线的方程为(1)若过点的直线与圆相切，求切线的方程；(2)已知直线l与圆C相交于A，B两点．若是的中点，求直线l的方程；(3)当时，点在直线上，过作圆的切线，切点为，问经过的圆是否过定点？如果过定点，求出所有定点的坐标.【答案】(1)或(2)(3)恒过定点，，【分析】（1）讨论切线斜率是否存在，存在时，设出切线方程，利用圆心到直线距离等于半径，即可求得斜率，可得答案；（2）设，可得B点坐标，代入圆的方程，求得A点坐标，即可得答案；（3）由题意可表示出经过的圆，分离参数，结合解方程组，即可求得答案.【详解】（1）当直线l斜率不存在时，直线方程为，符合题意；当直线l斜率存在时，设为，即，由于直线l与圆相切，故圆心到直线的距离为，，即，，则直线l的方程为，综上，符合条件的直线有2条，分别为或.（2）设，则，，解得或，即或即的斜率，则直线l的方程为.（3）当时，，设，由于过作圆的切线，切点为，故,过P，M，C的圆即为以CP为直径的圆，其方程为：，即由于，故令，解得或，故经过的圆恒过定点，.七、