新高考数学一轮复习考点精讲讲练学案 正 余弦定理的综合应用（含解析）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第第页参考答案1．B【解析】【分析】利用余弦定理、诱导公式、三角函数、三角恒等变换的知识进行判断.【详解】对于A，若，则，则B为锐角，不能判定为锐角三角形，故A错误；对于B，若为锐角三角形，则，且，所以，故B正确；对于C，若，则，所以，所以或，即或，不一定是等腰三角形，故C错误；对于D，若，则，即，即，因为A，B是三角形的内角，所以A-B=0，即A=B.是等腰三角形，故D错误.故选：B.2．D【解析】【分析】根据已知条件及正弦定理的边角化，再利用三角形的内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角函数特殊值对应特殊角及角的范围即可求解.【详解】由及正弦定理，得,在中，，所以,所以，即，于是有，因为所以所以,即，所以的形状是等腰三角形.故选：D.3．B【解析】【分析】令，再利用余弦定理得解.【详解】解：由正弦定理可得，令，则为最长的边，故角最大，由余弦定理可得，所以角为直角.故是直角三角形．故选：B．4．A【解析】【分析】由正弦定理的边化角公式化简得出，，，最后由结合正弦函数的性质得出的取值范围.【详解】由以及正弦定理得，所以即，又B为钝角，所以，故于是，因为，所以由此，即的取值范围是故选：A5．D【解析】【分析】由给定条件结合正弦定理边化角，求出角C，再利用正弦定理借助三角函数恒等变换即可作答.【详解】中，由正弦定理得：,整理变形得：，而，则，，于是得，则，令，于是有，因为锐角三角形，即，由正弦定理得，，而，则有，即，所以的取值范围为.故选：D6．B【解析】【分析】由余弦定理可求得，再由等面积关系可得，利用余弦定理结合基本不等式得出，即可求得，再结合的范围即可得出结论.【详解】，由余弦定理可得，整理可得，又AC边上的高为，所以，即，，当且仅当取等号，，即，即，，，则，，故∠ABC的最大值为.故选：B.【点睛】关键点睛：本题考查余弦定理的应用，解题的关键是等面积关系得，由基本不等式得.7．D【解析】【分析】在直角三角形中，根据锐角三角函数的定义对各个选项进行变形，判断即可．【详解】解：对于A，，则，故A成立；对于B，因为，所以，故B成立；对于C，，则，故C成立；对于D，，则，故D不成立.故选：D.8．B【解析】根据是锐角三角形,令,然后逐项判断排除即可.【详解】解:是锐角三角形,可令,,A错误;,C错误;,D错误;,B正确.故选:B【点睛】本题考查三角形内角和定理,以及三角形内角的正余弦值之间的关系,可用排除法得出正确选项.9．A【解析】【分析】由正弦的二倍角公式和正弦函数的值域判断;写出全称命题的否定判断;由锐角三角形的定义和正弦函数的单调性,结合诱导公式可判断;由二次函数的图象和性质,结合充分必要条件的定义可判断.【详解】解：由,得的最大值为,故错误;“,”的否定是“”,故正确;为锐角三角形,,则，在上是增函数,,同理可得，,,故正确;,函数的零点是,0,结合二次函数的对称轴,可得函数在区间内单调递增;若函数在区间内单调递增,结合二次函数的对称轴,可得,,“”是“函数在区间内单调递增”的充分必要条件,故正确．其中错误的个数是1.故选:A.【点睛】本题考查命题的真假判断,考查含有一个量词的命题的否定,考查三角函数的图象和性质,以及充分必要条件的判断,是中档题．10．D【解析】【分析】运用正弦定理进行边角互化，运用诱导公式进行化简，然后判断出三角形形状.【详解】由正弦定理可得，所以，所以，所以，所以或，因为，，所以或，所以或，所以是直角三角形或等腰三角形，故选：D11．C【解析】【分析】首先利用正弦定理化边为角求出的值，再结合，以及三角形的内角和即可求出，进而可得正确选项.【详解】由正弦定理知：，，则可化为：.因为所以，所以，可得或，又因为，所以所以，，，所以为等边三角形.故选：C.12．C【解析】【分析】由余弦定理将转化为，化简得到，结合勾股定理知△ABC为直角三角形.【详解】∵，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴B为直角.故选：C.【点睛】本题考查了余弦定理；利用余弦定理将角化边，化简确定三角形三边关系.13．A【解析】【分析】用降幂公式变形后利用余弦定理得边的关系，从而判断出三角形形状．【详解】在△ABC中，因为，所以，所以cosA＝.由余弦定理，知，所以b2＋c2－a2＝2b2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形.故选：A．14．A【解析】【分析】根据正弦定理和题设条件，化简得到，进而得到，即可求解.【详解】因为，由正弦定理，可得，又由，所以，因为，可得，所以，又因为，所以，所以为直角三角形.故选：A.15．D【解析】【分析】利用余弦定理计算可得；【详解】解：．把代入余弦定理求得，即，因此，从而，为等边三角形．故选：．16．D【解析】【分析】设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)，利用点差法求解直线的斜率，得到a、b关系，通过点到直线的距离求解c，求出a，b，即可推出离心率，判断A，B的正误；设P在双曲线的右支上，记则，利用，转化求解三角形的面积，判断C；设P(x0，y0)，通过三角形的面积求解P的坐标，结合双曲线的定义以及余弦定理，判断三角形的形状，判断D.【详解】设点A(x1，y1)，B(-x1，-y1)，P(x0，y0)则，且，两式相减得，所以，因为，所以，故双曲线C的渐近线方程因为焦点(c，0)到渐近线的距离为1，所以，，所以，，离心率为，故A，B错误．对于C，不妨设P在右支上,记则因为,所以解得或(舍去）,所以的面积为，故C不正确；对于D，设P(x0，y0)，因为，所以，将带入C：，得，即由于对称性，不妨取P得坐标为(，2)，则，因为所以∠PF2F1为钝角，所以PF1F2为钝角三角形，故D正确故选：D17．D【解析】【分析】利用余弦定理将化为，然后化简可得答案.【详解】，由余弦定理可得，则，则，所以为直角三角形.故选：D18．C【解析】【分析】根据给定条件切化弦，再利用正弦定理、余弦定理角化边即可计算判断作答.【详解】在中，原等式化为：，由正弦定理得，，即，由余弦定理得：，整理得，则有，于是有或，是等腰三角形或直角三角形，所以的形状是等腰三角形或直角三角形.故选：C19．B【解析】【分析】由不能得到是锐角三角形，但是锐角三角形,则，根据必要不充分条件的定义，即可求解.【详解】由正弦定理可知，，不能得到是锐角三角形,但是锐角三角形,则.故“”是“是锐角三角形”的必要不充分条件，故选:B．20．D【解析】【分析】在中，，由余弦定理知，，两式相加，利用基本不等式及正弦函数的有界性即可判断出该的形状．【详解】在中，，又由余弦定理知，，两式相加得：，（当且仅当时取“”，又，（当且仅当时成立），为的内角，，，又，的形状为等边△．故选：．21．C【解析】【分析】利用余弦定理可得，再结合条件利用正弦定理及余弦定理可得，即得.【详解】∵a2＋b2－c2＝ab，∴，又，∴，由2cosAsinB＝sinC，得∴，即，又，故三角形为等边三角形.故选：C22．B【解析】【分析】由条件可得，由正弦定理结合三角形中有，利用正弦的和角公式可得，从而可得出答案.【详解】由，可得，所以，所以.在中，，故，因为，所以，因为，所以，故为直角三角形.故选：B23．A【解析】【分析】由结合余弦定理可求得，由结合正弦定理可求得，从而可判断出三角形的形状【详解】由，得，所以由余弦定理得，因为，所以，因为，所以由正弦定理得，因为，所以，因为，所以，所以,所以为等腰直角三角形，故选：A24．D【解析】【分析】利用正弦定理将边化角，再由二倍角公式计算可得；【详解】解：因为，由正弦定理可得，即，即，所以或，即或，所以为等腰三角形或直角三角形；故选：D25．B【解析】【分析】利用给定条件结合对数运算可得，再利用正弦定理角化边即可判断得解.【详解】因，则有，即有，于是得，在中，由正弦定理得：，所以是直角三角形.故选：B26．C【解析】【分析】根据给定条件可得，由此判断三角形形状得解.【详解】因，则有，即，可得，此时，有，所以是等边三角形.故选：C27．A【解析】【分析】利用正弦定理角化边，即可得出答案.【详解】由结合正弦定理得，,从而.故选：A.【点睛】本题考查利用正弦定理判断三角函数的形状，属于基础题.熟记正弦定理是解本题的基础.28．C【解析】【分析】根据正弦定理边化角可得，利用两角和公式进行化简计算即可.【详解】由正弦定理得：，，，三角形内角和等于180°，，故选：C.29．A【解析】【分析】利用余弦定理将角化为边整理，即可得三角形的边之间的关系，从而可得此三角形的形状.【详解】由余弦定理，可得，整理，得，所以，所以，所以，所以，所以，所以，所以或或，故三角形为等腰三角形.故选：A30．B【解析】【分析】首先利用余弦定理角化边，然后确定△ABC的形状即可.【详解】由及余弦定理得，整理得，或，为等腰三角形或直角三角形.本题选择B选项.【点睛】判断三角形的形状有两种方法，一是把角化为边后进行判断，另一种方法是把边化为角后再进行判断.31．C【解析】【分析】由余弦定理确定角的范围，从而判断出三角形形状．【详解】由得－cosC>0，所以cosC<0，从而C为钝角，因此△ABC一定是钝角三角形.故选：C．32．A【解析】【分析】首先利用正弦定理边化角公式得到，即可得到答案.【详解】因为，所以，即，整理得到，因为，，所以，即，，为等腰三角形.故选：A33．A【解析】【分析】将变成，然后根据取值范围分析即可【详解】因为,所以两边同除以,得因为,所以.所以即所以为锐角,又为最大角,所以此三角形是锐角三角形故选：A34．C【解析】【分析】先判断出最大角，通过余弦定理判断即可.【详解】由正弦定理可得，则C为最大角，设，因为，所以C为钝角，故为钝角三角形．故选：C.35．ACD【解析】【分析】先根据题意求出，，,结合正弦定理可得A，D的正误,结合余弦定理可得B，C的正误.【详解】由题意,设,解得;所以,所以A正确;由以上可知最大,所以为锐角,所以B错误;由以上可知最小,,,即,因为为锐角,为锐角,所以所以C正确;因为，所以,设外接圆的半径为,则由正弦定理可得所以所以D正确.故选:ACD.36．BCD【解析】【分析】选项A.由题意可得或，从而可判断；选项B.若,则，由正弦定理可判断；选项C.若为锐角三角形，则，即所以，由正弦函数的单调性可判断；选项D.在中,若，由正弦定理可得，从而可判断.【详解】选项A.在中,若,则或所以或，所以为等腰或直角三角形.故A不正确.选项B.在中,若,则，由正弦定理可得,即，故B正确.选项C.若为锐角三角形，则所以，所以,故C正确.选项D.在中,若，由正弦定理可得，即，所以，故D正确.故选：BCD37．ACD【解析】【分析】由两角和的正切公式结合诱导公式以及，，为的内角可判断A；由正弦定理化边为角结合正弦的二倍角公式可判断B；由正弦定理化边为角，逆用两角和的正弦公式可判断C；利用正弦定理化边为角结合同角三角函数基本关系可判断D，进而可得正确选项.【详解】对于A，因为，所以，所以，因为，，为的内角，所以，，都是锐角，所以是锐角三角形，故选项A正确；对于B：由及正弦定理，可得，即，所以或，所以或，所以是等腰三角形或直角三角形，故选项B错；对于C：由及正弦定理化边为角，可知，即，因为，为的内角，所以，所以是等腰三角形，故选项C正确；对于D：由和正弦定理化边为角，易知，所以，因为，，为的内角，所以，所以是等边三角形，故选项D正确；故选：ACD.38．BC【解析】【分析】选项A，转化，结合题干条件，可得，故可判断；选项B，，可得，可判断；选项C，转化，代入，可判断；选项D，，结合均值不等式和，可判断【详解】为锐角，故选项A不正确；又，化简得，故选项B正确；将代入得：故选项C正确；当且仅当时等号成立，故选项D不正确故选：BC【点睛】本题考查了解三角形综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力，属于中档题39．【解析】【分析】根据已知条件，利用正弦定理将目标式由边化为角的函数关系，再求的取值范围，根据函数值域即可求得结果.【详解】因为，则，，又，故由正弦定理可得：又为锐角三角形，故可得，解得，则，故，即.故答案为：.40．②④【解析】【分析】利用三角函数关系式的恒等变换，正弦定理，余弦定理逐个分析判断即可【详解】对于①，若，则余弦定理可得，得角为锐角，而不能得到其它两个角为锐角，所以不一定是锐角三角形，所以①错误，对于②，由，得，所以由正弦定理得，设，则可知是最大的角，由余弦定理得，所以角为锐角，所以一定是锐角三角形，所以②正确，对于③，因为，所以，所以，由正弦定理得，所以为直角，所以为直角三角形，所以③错误，对于④，因为，所以，所以，因为，所以，所以均为锐角，所以一定是锐角三角形，所以④正确，故答案为：②④41．【解析】【分析】设，，求出，在中，求出，然后表示出矩形面积，然后利用两角和与差的正弦公式，二倍角公式，化函数为一个角的一个三角函数形式，最后由正弦函数性质得最大值．【详解】，设，，则，中，，由正弦定理，，所以，，所以，即时，取得最大值．故答案为：．42．直角三角形【解析】【分析】根据正弦定理边化角以及两角和的余弦公式变形可得答案.【详解】因为，所以，所以，因为，，所以，所以，所以，因为，所以，则.所以为直角三角形.故答案为：为直角三角形.43．锐角三角形【解析】【分析】设增加同样的长度为，原三边长为,则，，则新的三角形三边长可表示出来,可知为最大边,其对应角最大，进而利用余弦定理求得余弦值大于0判断出最大角为锐角，得三角形为锐角三角形.【详解】设增加同样的长度为,原三边长为,且,，则新的三角形的三边长为,可知为最大边,其对应角最大，而,由余弦定理知新的三角形的最大角的余弦为正,则最大角为锐角,所以新的三角形为锐角三角形.故答案为:锐角三角形.【点睛】本题主要考查了余弦定理的应用，考查了学生转化和化归的思想.44．直角三角形【解析】【分析】首先结合正弦定理进行角化边，然后结合余弦定理角化边，进而整理以后因式分解即可得出结果.【详解】因为，结合正弦定理得：，由余弦定理得，所以，即，所以，，，，因为，所以，即，所以是直角三角形.故答案为：直角三角形.45．（1）；（2）.【解析】（1）利用降幂公式进行化简，得到，然后利用整体法求解的单调递减区间；（2）先利用，求出，利用得出与的关系，再利用得出与或的关系.【详解】解(1)依题又故的单调递减区间为(2)由题意知，又，故，依题意，在三角形中，由余弦定理故.【点睛】（1）分析三角函数的性质时，要灵活运用三角恒等变换公式将原函数解析式化为的形式，然后分析其单调区间、对称性、周期性、最值等问题；（2）当已知一角及任意两边的关系求解三角形中边长的比例关系时，要注意运用正弦定理、余弦定理进行求解.46．(1)(2)，千米【解析】【分析】（1）若，得到，在等边中，得到，分别在直角中，求得，再在直角中，求得的长；（2）若，在中，利用正弦定理求得，在中，利用余弦定理求得，进而求得最大值，即可求解.(1)解：若，又由，所以此时，又因为为边长为3的等边三角形，所以，在直角中，因为，所以，在直角