线性代数B期末试题15

线性代数B期末试题（05）一、判断题(正确填√，错误填×。每小题2分，共10分)1．A是n阶方阵，且｜A｜≠0，则n元方程组AX＝b有唯一解。（）2．A，B是同阶相似方阵，则A与B有相同的特征值。 （）3．如果X1与X2皆是AX=b的解，则X1＋X2也是AX=b的解。()4．若A为n阶方阵，其秩R(A)=r且r<n,那么A任意r个行向量线性无关。()5．从A中划去一行得到矩阵B，则R（A）≥R（B）的秩。 （）二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A是n阶矩阵，其伴随矩阵为A＊，E为单位矩阵。则AA*为()（A）|A|E (B)E (C)A* (D)不能乘2．设A、B、C同为n阶方阵，且满足ABC＝E，则必有（）。（A）ACB=E（B）CBA=E（C）BCA=E（D）BAC=E3．设A为n阶方阵，且｜A｜＝5，则｜（3A－1）T(A)(B)(C)3n·(D)3·5n4．设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r<n，则方程组（）。（A）其基础解系可由r个解组成；（B）有r个解向量线性无关；（C）有n–r个解向量线性无关；（D）无解。5．n阶矩阵A有n个不同的特征值，是A与对角阵相似的（）（A）充分必要条件（B）充分而非必要（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要三、填空题（每小题5分，共25分）1．＝。2．为3阶矩阵，且满足5,则=______，。3．设齐次线性方程组的系数矩阵A＝此方程有可能无解吗?你的回答及理由是，当β取值为时方程组有无穷多解。4．已知是四元方程组AX＝b的三个解，其中的秩=3，，，则方程组AX＝b的通解为。5．设，则｜A｜＝，A的秩R(A)是。四、计算下列各题（每小题8分，共24分）。设且知AX－A=3X，求矩阵X。已知向量组求向量组A的秩；判断向量组的相关性；求其一个极大无关组；将其余向量用极大无关组线性表示。设P－1AP＝Λ，求A11。五、解方程组（本题8分）已知方程组取什么值时方程组有解？在有解的情况下，求方程组的通解。六、（本题8分）已知二次型求一个正交变换将二次型化成标准形，并确定其是否正定。七．证明题（每小题5分，共10分）。若A，B都是n阶方阵，如果AB＝0，证明R(A)+R(B)≤n。设A为n阶非零矩阵，A＊是A的伴随矩阵，AT是A的转置矩阵，当A＊＝AT时，证明｜A｜≠0。线性代数B期末试题解答一、判断题(正确填√，错误填×。每小题2分，共10分)1．A是n阶方阵，且｜A｜≠0，则n元方程组AX＝b有唯一解。（√）2．A，B是同阶相似方阵，则A与B有相同的特征值。 （√）3．如果X1与X2皆是AX=b的解，则X1＋X2也是AX=b的解。(×)4．若A为n阶方阵，其秩r<n,那么A任意r个行向量线性无关。(×)5．从A中划去一行得到矩阵B，则A的秩≥B的秩。 （√）二、单项选择题（每小题3分，共15分）1．设A是n阶矩阵，其伴随矩阵为A＊，E为单位矩阵。则AA*为(A)（A）|A|E (B)E (C)A* (D)不能乘2．设A、B、C同为n阶方阵，且满足ABC＝E，则必有（C）。（A）ACB=E（B）CBA=E（C）BCA=E（D）BAC=E3．设A为n阶方阵，且｜A｜＝5，则｜（3A－1）T(A)(B)(C)3n·(D)3·5n4．设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩r<n，则方程组（C）。（A）其基础解系可由r个解组成；（B）有r个解向量线性无关；（C）有n–r个解向量线性无关；（D）无解。5．n阶矩阵A有n个不同的特征值，是A与对角阵相似的（B）（A）充分必要条件（B）充分而非必要（C）必要而非充分条件（D）既非充分也非必要三、填空题（每小题5分，共25分）1．＝(ab-cd)(pg-ef)。2．为3阶矩阵，且满足6,则=__1/6__，33·62=972。3．设齐次线性方程组的系数矩阵A＝此方程有可能无解吗?你的回答及理由是不可能，齐次方程组总有解，当β取值为-5时方程组有无穷多解。4．已知是四元方程组AX＝b的三个解，其中的秩=3，，，则方程组AX＝b的通解为。5．设，则｜A｜＝-54，A的秩R(A)是3。四、计算下列各题（每小题8分，共24分）。设且知AX－A=3X，求矩阵X。解：已知向量组求向量组A的秩；判断向量组的相关性；求其一个极大无关组；将其余向量用极大无关组线性表示。解：R(A)=3；是一最大无关组；设P－1AP＝Λ，求A11。解：五、解方程组（本题8分）已知方程组取什么值时方程组有解？在有解的情况下，求方程组的通解。解：当a=0,b=2时方程组有解，这时:方程组的通解为：X=(-23000)T+C1(1–2100)T+C2(1–2010)T+C3(5–6001)TC1,C2,C3位任意常数。六、（本题8分）已知二次型求一个正交变换将二次型化成标准形，并确定其是否正定。解：非正定。七．证明题（每小题5分，共10分）。若A，B都是n阶方阵，如果AB＝0，证明R(A)+R(B)≤n。证明：由题设，B的各列属于AX=0的解空间,于是R(B)≤n-R(A),因此：R(A)+R(B)≤n。