2023学年完整公开课版数学的真

第一讲数学的“真”李进金1世上万物，以真善美为最高境界。数学自然也有自己的真善美。欣赏数学的真善美，就成为数学教育的一项重要任务。但是，数学的真善美往往被淹没在形式演绎的海洋里，需要大力挖掘、用心体察才能发现、感受、体验和欣赏。2欣赏，是教育的一部分。欣赏是需要指导、培育的。人文教育，旨在认识和欣赏人生的真善美；数学教育则是为了欣赏数学文化和数学思维的真善美。3怎样欣赏数学的真善美呢?大致有以下途径：对比分析，体察古今中外的数学理性精神；提出问题，揭示冰冷形式后面的数学本质；梳理思想，领略抽象数学模型的智慧结晶；构作意境，沟通数学思考背后的人文情景。4

爱因斯坦说过：“为什么数学比其他一切学科受到特殊的尊重?理由之一是数学命题的绝对可靠性和无可争辩性。至于其他各个学科的命题则在某种程度上都是可争辩的，经常处于会被新发现的事实推翻的危险之中。”

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数学的“真”没有时间性。因为数学的“真”，是和数学所使用的逻辑演绎方法密切相关的，与时间没关。重视逻辑推理，崇尚公理化的演绎方法是每一个数学工作者的共识。他们既要讲推理，更要讲道理，真正体会到数学演绎的“真”。6数学，尤其是几何学，所涉及对象就是普遍而抽象的东西。它们同生活中的事物有关，但是又不来自于这些具体的事物，因此在古希腊学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径。据说柏拉图学院门口写着：不习几何者不得入内。古希腊的几何地位是非常高的。今天我们讲数学的“真”，就是给大家传递一个信息，数学对人的思维、对自然和真理的追求都是非常重要的事。7

例1、“对顶角相等”和“三角形的两边之和大于第三边”这样明显的命题为什么要证明?定理本身非常直观，无人质疑。如果就事论事地解说一番，或者时髦地让学生“量一量”“拼一拼”那样地活动一下，都不能使学生获得数学之“真”的欣赏。

可以说这不是数学，而是物理学。8

一个物理学定理成立，只要重复做几次实验，结果都稳定地体现某一个规律，研究就算成功了。可是数学则不行。事实上，我们的主题不是“对顶角相等”和“三角形的两边之和大于第三边”的知识本身及其如何证明，关键点是要问：“这样明显的命题要不要证明?”中国古代数学没有这样的命题。9

古希腊数学家提出这样的定理，认为需要证明，而且使用定义和公理加以证明。两相对照，才知道自己的浅薄，古希腊理性精神的伟大。从“显然正确因而不必证明”到“崇尚理性需要证明”，是一次思想上的飞跃，可以说震撼了许多学生的“灵魂”，可是，现行的教材没有这样写，课堂上教师也没有这样教。10

总之，我们要欣赏数学的“真”，必须浓墨重彩地解说、对比、分析，不能停留在形式的逻辑推演上。

不要像“猪八戒吃人参果，吞到肚里却不知道是什么滋味”。11

例2、哥德巴赫猜想：

1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给著名数学家欧拉的一封信中，提出了两个大胆的猜想：1、任何不小于6的偶数，都是两个奇素数之和；2、任何不小于9的奇数，都是三个奇素数之和。一个充分大的偶数必定可以表示为两个素数之和这就是数学史上著名的“哥德巴赫猜想”。

12显然，第二个猜想是第一个猜想的推论。因此，只需在两个猜想中证明一个就足够了。同年6月30日，欧拉在给哥德巴赫的回信中,明确表示他深信哥德巴赫的这两个猜想都是正确的定理，但是欧拉当时还无法给出证明。由于欧拉是当时欧洲最伟大的数学家，他对哥德巴赫猜想的信心，影响到了整个欧洲乃至世界数学界。从那以后，许多数学家都跃跃欲试，甚至一生都致力于证明哥德巴赫猜想。可是直到19世纪末，哥德巴赫猜想的证明也没有任何进展。证明哥德巴赫猜想的难度，远远超...13虽然我们已经用超级计算机验证过，凡小于10^13的偶数都是两个素数之和，但是仍然不能说这个猜想已经成立。

1966年5月，陈景润在《科学记录》上宣布他证明了“1+2”，该成果得到国内外数学界的公认，被称为陈氏定理。1978年，徐迟在《人民日报》上发表了《哥德巴赫猜想》一文，使陈景润成为我国家喻户晓的英雄式人物。14

陈景润关于哥德巴赫猜想的工作“依然站在最高峰，尚无人超过”。

华罗庚曾说：“哥德巴赫猜想真是美极了，现在还没有一个方法可以解决它。”15

在华老的工作基础上，

1955年和1957年王元先后证明了哥德巴赫猜想中的“3+4”、“2+3”；1962年，山东大学的潘承洞与苏联数学家巴尔巴恩分别独立证明了“1+5”；1963年，王元与潘承洞等合作证明了“1+4”。1966年，陈景润证明了“1+2”。16

华罗庚曾对王元与潘承洞的突破感到由衷的喜悦，但他说过：“最使我感动的是陈景润‘1+2’。我觉得陈景润在数学上、解析数论上曾经达到的高度，对中国数学来说是一个非常重要的贡献，国际数学界的同行们长时间地认为，陈景润的这项工作是非常艰难的，难得简直不可思议，至今对这项成果的评价都非常高。”17

作为科学家，他代表一种精神，除了他卓越的贡献外，陈景润最让人怀念与感动的是他的精神。

读过徐迟写的《哥德巴赫猜想》的人都熟悉这样一种场景：

在一个6平方米的小屋中，陈景润坐在小板凳上，把床当做书桌，完成了中国数学界最为重要的工作之一。18

“文革”后，当他的事迹发表出来，几代人受到这种精神的感召，立志向数学、向科学的高峰进军。

现在让大家感到焦急忧虑的是，当年曾经“感动中国”的陈景润精神，却在当代缺失了。19陈景润并不是数学天才，他是在对数学具有深厚基础的前提下，经过长期刻苦的努力，最终攀上世界数学研究的高峰。陈景润当时在研究哥德巴赫猜想时，几乎达到了废寝忘食的境界，仅演算草稿就用了几麻袋。他之所以能够在数学研究上攻克哥德巴赫猜想，摘得数学王冠上最璀璨的明珠，是因为他长期钻研、积累丰富，再加上百分之百的投入才会取得那样的成就。20一个人成长成才是一个长期的过程。一个人从进大学开始到拿到博士学位，一般差不多需要十年左右的时间，事实上，拿到博士学位只是说明你具有独立工作的能力，但还不一定当时就已经能够做很重要的工作，而后来的五六年又非常关键，从这个看就要十五六年了，是一个非常长期的过程。所以说要把自己培养成为一个高层次的人才，我认为主要就是长期的勤奋努力，要拿出数学这种求真持久的精神，拿出跑“马拉松”的精神，而不是像跑百米那样去冲刺，那样不管用。21

例3、孪生素数猜想：

张益唐所做的工作和素数有关，尤其和所谓的孪生素数有关。

孪生素数是指差为

2

的素数对，

p

和

p+2

同为素数。22

前几个孪生素数分别是（3，5）、（5，7）、（11，13）、（17，19）等。100

以内有

8

个孪生素数对；501

到

600

间只有两对。

随着数的变大，可以观察到的孪生素数越来越少。23

2011

年，人们发现目前为止最大的孪生素数共有

20

多万位数。

但这个数后面再多找一对孪生素数都要花至少两年的时间。

24

那么会不会有一天再也找不到新的孪生素数对呢？数学家认为答案是否定的。

几百年前就有个孪生素数猜想：有无穷多个素数

p，使得

p

与

p+2

同为素数。

但至今人们都不知如何证明这个猜想。25

张益唐在《数学年刊》上发表的这篇题为《素数间的有界距离》的文章，

证明了存在无数多个素数对（p,

q）其中每一对中的素数之差，

即

p

和

q

的距离，不超过七千万。26

如何理解张益唐的结果呢？

假如在素数王国里素数只能找邻近的同类结婚，那

3、5、7、11

这种小素数找对象都很容易。

但是素数越大，对象就越难找。

27

但是根据张益唐的发现，素数和下一个素数的距离，应该小于或等于七千万。

孤独的数字不会持续孤独下去，总有另一个素数与之匹配。

换言之，对于“大龄光棍”素数来说，七千万步之内，必有芳草。

（证明了：天涯何处无芳草）28

七千万听起来是个巨大的数字，但在数学上只是一个常数而已。

虽然它和孪生素数猜想的距离为

2

的结果还有十万八千里，但用张益唐的方法把七千万缩短到几百以内也是指日可待的事情。29

实际上，在文章被公布于众后，短短的一个月以内，七千万就被菲尔茨奖获得者陶哲轩发起的网上讨论班缩小到六万多。据说，现在已缩小到七千。

张益唐起到的作用就是把大海捞针的力气活缩短到在水塘里捞针，而他给出的方法还可以把水塘捞针轻松变为游泳池里捞针。30

也许最后变成在碗里捞针还需要一些再创新的工作。

但给出了这一伟大框架已经是让全世界数学家瞠目结舌的壮举了。31

老牌英国报纸《卫报》刊登文章，文章的标题是：鲜为人知的教授在折磨了数世纪数学精英的大问题上迈进了一大步。

印度主流报纸把作出这一非凡贡献的人，与印度历史上最伟大的天才数学家拉马努金相媲美。32

这位作出重大数学突破的就是张益唐，由于对数学界最著名的猜想之一孪生素数猜想的破冰性工作

使他从默默无闻的大学讲师跻身于世界重量级数学家的行列。33

演绎一个数学神话：张益唐的故事之所以特别轰动的原因在于，作出巨大数学贡献的他已经接近

60

岁，之前只是个默默无闻的讲师。

为了潜心研究数学，他几乎把自己与世隔绝，在美国的偏远省份“潜伏”下来。34

他的妹妹曾在网上发寻人启事寻找哥哥。当时在美国当教授的老同学给他妹妹回了个电邮，表示他哥哥健康地活着，在钻研数学呢。35

张益唐于

1955

年出生于北京。

他

1978

年考进了北京大学数学系。

北大

1977

年没有招生，所以他是北大数学系“文革”后恢复高考的第一批学生。36

1978

年第

1

期《人民文学》发表了作家徐迟的报告文学《哥德巴赫猜想》，

讲述了数学家陈景润刻苦钻研在哥德巴赫猜想研究上取得重大突破的真实故事，一时间陈景润和哥德巴赫猜想变得家喻户晓。37

像那个时代很多有志青年一样，张益唐也是被徐迟的文章、被陈景润的故事、被哥德巴赫猜想引导到数学系，以致终身投入到数学中去。在大学任教，年近

60

还只是个讲师，在一般人看来无疑是失败，甚至是潦倒的，但他处之泰然，不改其志。38

难能可贵的是逆境之中他还是一如既往地作大问题。作大问题的人不需要太多，但不能没有！

张益唐的精神及成就，对中国科学界是极大