5第五章 定积分练习题答案

PAGEPAGE135.1定积分的概念与性质1.填空题(1)根据定积分的几何意义，12,____0____(2）设，则_____5____，____-5___，.2.选择题（1）定积分值的符号为（）大于零小于零等于零不能确定（2）曲线与轴所围成的图形的面积可表示为（）；；；3.利用定义计算定积分.解：将区间等分，则每个小区间的长度，每个小区间上取右端点，于是4.比较下列各对积分的大小：（1）与解：当时，，所以，从而（2）与解：当时，，所以，从而（3）与解：因为，所以（4）与解：当时，，从而5.估计积分的值：解：设，先求在上的最大、最小值，由得内驻点，由知由定积分性质得6.求证：.证明：在区间上的最大值、最小值分别为，由性质6可知结论成立.7.设在区间上可微，且满足条件，试证：存在，使.证明：设，由积分中值定理可知，存在，使从而，可知在上满足罗尔定理，所以存在，使，即.8.已知函数连续，且，求函数.解：设，则，于是，得，所以.5.2微积分基本公式1.填空题(1)0,(2),(3)(4)已知，则(5)已知，则（6）已知，则(7)由参数方程所确定的函数的导数=2.求由方程确定的函数的导数.解：3.求下列极限（1）解：原式=（2）解：原式==4.计算下列定积分（1）解：原式=（2）解：原式=(3)解：原式=（4）解：原式=（5）解：原式=（6）解：原式=（7）解：原式=(8)解：原式=（9）解：原式=（10）解：原式=（11）解：当时，原式；当时，原式；当时，原式5.设，求，并讨论在区间上的连续性。解：当时，，当时，，在区间上处处连续.6.设在[a,b]上连续,在（a,b）内可导,且,证明在（a,b）内有.证明：由于，所以当时，，从而结论成立！5.3定积分的换元法和分部积分法1.计算下列定积分（1）解：原式=（2）解：原式=（3）解：原式=（4）解：原式=（5）解：原式=（6）解：原式=(7)解：令，则原式=（8）解：令，则原式=（9）设，求。解：令原式=(10)解：原式（11）解：原式（12）解：原式（13）解：原式=（14）解：原式=(15),其中解：因为，所以2.证明题(1)证明证明：令，则（2）设为连续函数，证明.证明：3.设在上连续，且，求.解：4.若函数满足，且，求.解：因为所以两边求导数，得，取，。5.4反常积分1.选择题下列各项正确的是（）当为奇函数时，反常积分与有相同的敛散性==2.判定下列各反常积分的收敛性，如果收敛，计算反常积分的值：（1）解：由定义，反常积分发散，所以原积分发散.（2）解：原式（3）解：原式（4）解：原式(5)解：令，则原式（6）解：，所以反常积分发散.(7)解：(8)解：令，则原式3.利用递推公式计算反常积分.解：利用分部积分，，依次递推，得，而，所以4.已知，求（1）；（2）解：（1）（2）第五章综合练习题1.选择题（1）设函数在内连续，且，则的值（）依赖于依赖于依赖于，不依赖于依赖于，不依赖于（2）设在上令，则（）.（3），则为（）.正常数负常数恒为零不为常数提示：，而.(4)下列反常积分发散的是（）2.计算题（1）求解：原式（2）设函数可导，且，，求.解：令，则，所以（3）计算解：原式（4）计算解：原式（5）已知，求的值.解：由条件有，即所以.（6）设连续非负函数满足，求.解：令，，从而，故.3.当时满足方程且在有连续一阶导数,又,求.解：两边对ｔ求导，得，令ｔ＝１，得，对求导，得，即，所以，又由知，故.4.设，在区间上连续，为偶函数，且满足条件（为常数），（1）证明