专题09 难点探究专题：数轴上的动点问题压轴题五种模型全攻略(原卷版)

专题09难点探究专题：数轴上的动点问题压轴题五种模型全攻略【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【考点一数轴上的动点中求运动的时间问题】 1【考点二数轴上的动点中求定值问题】 6【考点三数轴上的动点中找点的位置问题】 13【考点四数轴上的动点中几何意义最值问题】 18【考点五数轴上的动点规律探究问题】 23【典型例题】【考点一数轴上的动点中求运动的时间问题】例题：（2023秋·江苏徐州·七年级校考期末）如图数轴上有两个点，分别表示的数是，4．请回答以下问题：(1)A与B之间距离为___________；(2)若点P从A点出发，以每秒5个单位长度的速度向右作匀速运动，点Q从B出发，以每秒3个单位长度的速度向右作匀速运动，同时运动，设运动的时间为t秒；①当点P运动多少秒时，点P和点Q重合？②当点P运动多少秒时，之间的距离为3个单位长度？【变式训练】1．（2023春·安徽安庆·七年级统考期末）已知如图，数轴上点A表示的数为6，B是数轴上在A左侧的一点，且A，B两点间的距离为10．动点P从点A出发，以每秒4个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．（1）数轴上点B表示的数是___________；当点P运动到的中点时，它所表示的数是__________．（2）动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点P，Q同时出发．求：①当点P运动多少秒时，点P追上点Q？②当点P运动多少秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度？2．（2023秋·河北沧州·七年级统考期末）综合与实践：A、B、C三点在数轴上的位置如图所示，点C表示的数为6，BC＝4，AB＝12．(1)数轴上点A表示的数为，点B表示的数为；(2)动点P，Q同时从A，C出发，点P以每秒4个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动．点Q以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，设运动时间为t（t＞0）秒；①求数轴上点P，Q表示的数（用含t的式子表示）；②t为何值时，P，Q两点重合；③请直接写出t为何值时，P，Q两点相距5个单位长度．3．（2023秋·湖北武汉·七年级统考期末）如图，将一条数轴在原点O和点B处各折一下，得到一条“折线数轴”．图中点A表示，点B表示12，点C表示20，我们称点A和点C在数轴上相距32个长度单位，记为．动点M从点A出发，沿着“折线数轴”的正方向运动，同时，动点N从点C出发，沿着“折线数轴”的负方向运动，它们在水平轴，上的速度都是2单位/秒，在O，B之间的上行速度为1单位/秒，下行速度为3单位秒．设运动的时间为t秒．(1)当秒时，M，N两点在数轴上相距多少个单位长度？(2)当M，N两点相遇时，求运动时间t的值．(3)若“折线数轴”上定点P与O，B两点相距的长度相等，且存在某一时刻t，使得两点M，N与点P相距的长度之和等于6，请直接写出t的值为____________．【考点二数轴上的动点中求定值问题】例题：点在数轴上对应的数分别为，且满足．(1)如图，求线段的长；(2)若点C在数轴上对应的数为x，且x是方程的根，在数轴上是否存在点P使，若存在，求出点P对应的数，若不存在，说明理由；(3)如图，点P在B点右侧，的中点为为靠近于B点的四等分点，当P在B的右侧运动时，有两个结论：①的值不变；②的值不变，其中只有一个结论正确，请判断正确的结论，并求出其值．【变式训练】1．阅读下面的材料：如图①，若线段在数轴上，A，B点表示的数分别为a，b，则线段的长（点A到点B的距离）可表示为．请用上面材料中的知识解答下面的问题：如图②，一个点从数轴上的原点开始，先向左移动1cm到达A点，再向左移动2cm到达B点，然后向右移动7cm到达C点，用1个单位长度表示1cm．(1)请你在数轴上表示出、、三点的位置，并直接写出线段的长度；(2)若将点A向右移动cm，请用代数式表示移动后的点表示的数？(3)若点B以每秒2cm的速度向左移动至点，同时点A，点C分别以每秒1cm和4cm的速度向右移动至点，点，设移动时间为t秒，试探索：的值是否会随着t的变化而变化？请说明理由．2．（2023春·湖南衡阳·七年级校考期末）如图，有两条线段，（单位长度），（单位长度）在数轴上，点A在数轴上表示的数是，点D在数轴上表示的数是15．(1)点B在数轴上表示的数是，点C在数轴上表示的数是；(2)若线段以1个单位长度/秒的速度向左匀速运动，同时线段以2个单位长度秒的速度也向左匀速运动，设运动时间为t秒，当t为何值时，点B与点C之间的距离为1个单位长度？(3)若线段、线段分别以1个单位长度/秒、2个单位长度/秒的速度同时向左匀速运动，与此同时，动点P从出发，以4个单位长度/秒的速度向右匀速运动．设运动时间为t秒，当时，的值是否发生变化？若不变化，求出这个定值，若变化，请说明理由．3．（2023秋·福建泉州·七年级统考期末）如图，已知点O为数轴的原点，点A、B、C、D在数轴上，其中A、B两点对应的数分别为、3．(1)填空：线段的长度______；(2)若点A是的中点，点D在点A的右侧，且，点P在线段上运动．问：该数轴上是否存在一条线段，当P点在这条线段上运动时，的值随着点P的运动而没有发生变化？(3)若点P以1个单位/秒的速度从点O向右运动，同时点E从点A以5个单位/秒的速度向左运动、点F从点B以20个单位/秒的速度向右运动，M、N分点别是、的中点．点P、E、F的运动过程中，的值是否发生变化？请说明理由．【考点三数轴上的动点中找点的位置问题】例题：已知在纸面上有一数轴（如图所示）．(1)操作一：折叠纸面，使表示数1的点与表示数﹣1的点重合，则此时表示数4的点与表示数的点重合；(2)操作二：折叠纸面，使表示数6的点与表示数﹣2的点重合，回答下列问题：①表示数9的点与表示数的点重合；②若这样折叠后，数轴上的A，B两点也重合，且A，B两点之间的距离为10（点A在点B的左侧），求A，B两点所表示的数分别是多少？③在②的条件下，在数轴上找到一点P，设点P表示的数为x．当PA+PB＝12时，直接写出x的值．【变式训练】1．已知在数轴上A，B两点对应数分别为﹣2，6．(1)请画出数轴，并在数轴上标出点A、点B；(2)若同一时间点M从点A出发以1个单位长度/秒的速度在数轴上向右运动，点N从点B出发以3个单位长度/秒的速度在数轴上向左运动，点P从原点出发以2个单位长度/秒的速度在数轴上运动．①若点P向右运动，几秒后点P到点M、点N的距离相等？②若点P到A的距离是点P到B的距离的三倍，我们就称点P是【A，B】的三倍点．当点P是【B，A】的三倍点时，求此时P对应的数．2．如图，已知为数轴上的两个点，点表示的数是，点表示的数是20．(1)直接写出线段的中点对应的数；(2)若点在数轴上，且，直接写出点对应的数；(3)若熊大从点出发，在数轴上每秒向右前进8个单位长度；同时熊二从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度它们在点处相遇，求点对应的数；(4)若熊大从点出发，在数轴上每秒向左前进8个单位长度；同时熊二从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度，当它们在数轴上相距20个单位长度时，求熊大所在位置点对应的数．3．（2023秋·山东滨州·七年级统考期末）如图，已知A，为数轴上的两个点，点A表示的数是，点表示的数是30．(1)直接写出线段的中点对应的数；(2)若点在数轴上，且，直接写出点对应的数；(3)若李明从点A出发，在数轴上每秒向右前进8个单位长度；同时王聪从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度它们在点处相遇，求点对应的数；(4)若李明从点A出发，在数轴上每秒向左前进8个单位长度；同时王聪从点出发，在数轴上每秒向左前进12个单位长度，当它们在数轴上相距20个单位长度时，求李明所在位置点对应的数．【考点四数轴上的动点中几何意义最值问题】例题：（2023春·湖北武汉·七年级校联考阶段练习）数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离．因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与所对应的点之间的距离．(1)探究问题：如图，数轴上，点A，B，P分别表示数，2，x．

填空：因为的几何意义是线段与的长度之和，而当点P在线段上时，，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，．所以的最小值是______；(2)解决问题：①直接写出式子的最小值为_______；②直接写出不等式的解集为_______；③当a为_______时，代数式的最小值是2．（直接写出结果）【变式训练】1．（2022秋·江苏·七年级期中）我国著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观，形少数时难入微”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，代数式的几何意义是数轴上x所对应的点与2所对应的点之间的距离：因为，所以的几何意义就是数轴上x所对应的点与－1所对应的点之间的距离．（ⅰ）发现问题：代数式的最小值是多少？（ⅱ）探究问题：如图，点A、B、P分别表示数－1、2、x，AB＝3∵的几何意义是线段PA与PB的长度之和，∴当点P在线段AB上时，PA＋PB＝3，当点P在点A的左侧或点B的右侧时，PA＋PB＞3∴的最小值是3请你根据上述自学材料，探究解决下列问题：(1)的最小值是______；(2)利用上述思想方法解不等式：；(3)当a为何值时，代数式的最小值是22．（2023·全国·七年级专题练习）在数学问题中，我们常用几何方法解决代数问题，借助数形结合的方法使复杂问题简单化．材料一：我们知道|a|的几何意义是：数轴上表示数a的点到原点的距离；|a﹣b|的几何意义是：数轴上表示数a，b的两点之间的距离；|a+b|的几何意义是：数轴上表示数a，﹣b的两点之间的距离；根据绝对值的几何意义，我们可以求出以下方程的解．（1）|x﹣3|＝4解：由绝对值的几何意义知：在数轴上x表示的点到3的距离等于4∴x1＝3+4＝7，x2＝3﹣4＝﹣1（2）|x+2|＝5解：∵|x+2|＝|x﹣（﹣2）|，∴其绝对值的几何意义为：在数轴上x表示的点到﹣2的距离等于5．∴x1＝﹣2+5＝3，x2＝﹣2﹣5＝﹣7材料二：如何求|x﹣1|+|x+2|的最小值．由|x﹣1|+|x+2|的几何意义是数轴上表示数x的点到表示数1和﹣2两点的距离的和，要使和最小，则表示数x的这点必在﹣2和1之间（包括这两个端点）取值．∴|x﹣1|+|x+2|的最小值是3；由此可求解方程|x﹣1|+|x+2|＝4，把数轴上表示x的点记为点P，由绝对值的几何意义知：当﹣2≤x≤1时，|x﹣1|+|x+2|恒有最小值3，所以要使|x﹣1|+|x+2|＝4成立，则点P必在﹣2的左边或1的右边，且到表示数﹣2或1的点的距离均为0.5个单位．故方程|x﹣1|+|x+2|＝4的解为：x1＝﹣2﹣0.5＝﹣2.5，x2＝1+0.5＝1.5．阅读以上材料，解决以下问题：（1）填空：|x﹣3|+|x+2|的最小值为；（2）已知有理数x满足：|x+3|+|x﹣10|＝15，有理数y使得|y﹣3|+|y+2|+|y﹣5|的值最小，求x﹣y的值．（3）试找到符合条件的x，使|x﹣1|+|x﹣2|+…+|x﹣n|的值最小，并求出此时的最小值及x的取值范围．【考点五数轴上的动点规律探究问题】例题：（2022秋·河北沧州·七年级统考期末）一电子跳蚤落在数轴上的某点k0处，第一步从k0向左跳一个单位到k1，第二步从k1向右跳2个单位到k2，第三步由k2处向左跳3个单位到k3，第四步由k3向右跳4个单位k4…按以上规律跳了100步后，电子跳蚤落在数轴上的数是0，则k0表示的数是（）A．0 B．100 C．50 D．﹣50【变式训练】1．（2022秋·广东佛山·七年级校考阶段练习）一只跳蚤在数轴上从0点开始，第1次向右跳2个单位，紧接着第2次向左跳4个单位，第3次向右跳6个单位，第4次向左跳8个单位，…，依此规律跳下去，当它跳第100次落下时，落点处表示的数为．2．（2022秋·湖南长沙·七年级校考阶段练习）如图，在数轴