第一章 数的整除（压轴题专练）（解析版）

第一章数的整除（压轴题专练）压轴题1分组问题例题1一筐苹果，平均分给2个小朋友或3个小朋友或4个小朋友或5个小朋友，都正好分完，这筐苹果最少应有（

）A．60个 B．120个 C．900个 D．30个【答案】A【分析】要求这框苹果最少有多少个，即要求2，3，4，5的最小公倍数．【详解】因为2，3，4和5的最小公倍数是：，所以这筐苹果最少应有60个．故选：A．【点睛】本题主要考查最小公倍数的算法，掌握最小公倍数的算法是解题关键．变式1教师节这天，小佳同学用24朵百合和32朵康乃馨做成花束送给老师，要求每束花中的百合的朵数相同，康乃馨的朵数也相同，那么这56朵花最多能做成束花，每束花中百合有朵．【答案】83【分析】求出24、32的最大公约数即为能够做成的最大花束数量，进一步可以得到每束花中每种花的数量．【详解】解：∵∴这56朵花最多能做成8束花，每束花中百合有3朵．故答案为8；3．【点睛】本题考查因数分解的应用，熟练地对给定的数进行因数分解是解题关键．压轴题2余数问题例题2一批玩具要送给偏远地区某个幼儿园的小朋友，玩具总数在100~150之间．若按一个小朋友3个玩具这样分，分到玩具的小朋友中就有一个小朋友少2个；若按一个小朋友4个玩具这样分，分到玩具的小朋友中就有一个小朋友少3个；若按一个小朋友5个玩具这样的分，分到玩具的小朋友中就有一个小朋友少4个．求这批玩具有多少个？【答案】121个【分析】根据题意得到每个人分3、4、5个玩具，总有一个小朋友只有1个，所有玩具的总数是3、4、5的倍数再加上1．求出3、4、5的最小公倍数，再根据玩具总数的范围，即可求解．【详解】解：由题意得，每个人分3、4、5个玩具，总有一个小朋友只有1个，所有玩具的总数是3、4、5的倍数再加上1．因为3、4、5的最小公倍数是3×4×5=60，由于玩具总数在100~150之间，所以玩具总数是60×2+1=121（个）【点睛】本题考查了用最小公倍数解实际问题，根据题意得到玩具总数是3、4、5的倍数再加上1是解题关键．变式2某数被2除余1，被3除余2，被4除余3，被5除余4，满足以上条件的数中最小的那个是多少？【答案】59【分析】这个数，加上1，就能同时被2，3，4，5整除，2，3，4，5的最小公倍数为60，满足要求的最小的数为：60−1＝59，据此解答即可．【详解】2，3，4，5的最小公倍数为60，满足要求的最小的数为：60−1＝59，故答案为：59．【点睛】本题考查了孙子定理，这道题如果按孙子定理去解答的话比较麻烦，本题通过转化表述方法使问题变得简单．压轴题3插旗问题例题3在1.5千米长的公路一侧等距离种树（两端都种），原计划每隔10米一棵，并已放好种树的标志，后来改成每隔12米一棵，那么不用移动的标志有几个？【答案】26个【分析】根据题意，首先确定不用移动的标记是10和12的公倍数，再求出最小公倍数，即间隔多少米的标记不动，然后求出一共有多少个这样的长度即可解答，注意首尾都要种树，所以要加上一个标记．【详解】因为10=2×5，12=2×2×3，所以10和12的最小公倍数是2×5×2×3=60，即每隔60米一个标记不动，又1.5千米=1500米，所以不用移动的标志有1500÷60+1=26（个），故答案为：26．【点睛】本题考查了公倍数和最小公倍数的应用，理解题意，将实际问题转化为公倍数和最小公倍数的数学问题来解决是解答的关键．变式3在1.8千米长的公路一侧有一排电线杆，相邻两根之间距离都是60米．由于电缆的增多，负荷增大，需要把电线杆之间的距离改为45米，起点那根电线杆不动，那么从起点开始到第一根不必移动的电线杆之间的距离是多少？并计算不用移动的电线杆有多少根？【答案】180米，11根【分析】由题意可知：不必移动的电线杆距离起点的米数既是45的倍数，又是60的倍数，是45与60的公倍数．45与60的最小公倍数是180，所以至少再隔180米可以有一根电线杆不移动．用公路总长÷180再加1即可求出不用移动的电线杆的数量.【详解】45＝3×3×5，60＝2×2×3×5，因为45和60的最小公倍数是：2×2×3×3×5＝180，所以至少再隔180米又有一根不必移动；1.8千米=1800米，1800÷180+1=11（根）答：从起点开始到第一根不必移动的电线杆之间的距离是180米，不用移动的电线杆有11根．【点睛】解决此题的关键是求出60和45的最小公倍数，从而问题得解．压轴题4整除证明问题例题4如果设为大于3的正偶数，那么紧邻它而比它小的偶数可以表示为，紧邻它而比它大的偶数可以表示为．因为，所以我们可以说三个连续的偶数之和一定能被3整除．试用上面的方法说明“三个连续的正整数之和能被3整除”．【答案】见解析【分析】我们可设a为大于1的正整数，那么和它相邻的两个整数为a-1和a+1，求出这三个数之和，然后再做判断即可．【详解】设a为大于1的正整数，那么和它相邻的两个整数为a-1和a+1∴三个数之和为a-1+a+a+1=3a∴三个连续的正整数之和一定能被3整除．【点睛】本题考查了数的整除，需仔细分析题意，才可解决问题．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系．变式4我们把形如：，，，的正整数叫“轴对称数”，例如：22，131，2332，40604……(1)写出一个最小的五位“轴对称数”．(2)设任意一个位的“轴对称数”为，其中首位和末位数字为，去掉首尾数字后的位数表示为，求证：该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除．(3)若一个三位“轴对称数”个位数字小于或等于4与整数的和能同时被5和9整除，求出所有满足条件的三位“轴对称数”．【答案】(1)最小的五位“轴对称数”是10001；(2)证明见解析；(3)满足条件的三位“轴对称数”为：131，222，313，404，494【分析】（1）写出最小的五位“轴对称数”，即首位数字和个位数字为，其它为的数；（2）先表示这个任意的位“轴对称数”：，再表示“轴对称数”与它个位数字的11倍的差，合并同类项并提公因式，可得结论；（3）设这个三位“轴对称数”为，根据与的和能同时被5和9整除，即能被45整除，设，化为，所以能同时被45整除，分情况计算可得结论．【详解】（1）解：最小的五位“轴对称数”是10001；（2）证明：由题意得：，该“轴对称数”与它个位数字的11倍的差能被10整除；（3）解：设这个三位“轴对称数”为，与整数的和能同时被5和9整除，设，则，，∵能同时被5和9整除，∴能同时被5和9整除，即的值为0或45或90或135，又，当时，这个三位“轴对称数”是131，当时，这个三位“轴对称数”是222，当时，这个三位“轴对称数”是313，当时，这个三位“轴对称数”是404，当时，这个三位“轴对称数”是494，所有满足条件的三位“轴对称数”为：131，222，313，404，494．压轴题5末位零个数问题例题5的积的末尾有几个连续的0？【答案】24【分析】找规律，本来个位数字就是0的，个位数字是5与偶数相乘，个位可得到0的，据此分析解答．【详解】这100个数中，个位为0的数有：10，20，30，40，60，70，80，90，100共10；因为每个5乘以偶数都是10，所以剩下的每有一个个位是5的就再加一个：5，15，35，45，55，65，85，95共8；25，75，50乘以4的倍数会有各2个0，所以要再加上6个；10＋8＋6＝24，答：这100个数的乘积的末尾会有24个连续的0．【点睛】本题主要考查多个数连乘的知识点，寻找乘积的个位数的规律的知识，尤其注意5的倍数特征．变式5.1×2＋3×4＋5×6＋…＋199×200的结果是奇数还是偶数？为什么？【答案】偶数，理由见详解【分析】计算时，第一步先算乘，乘都是奇数乘偶数，积都是偶数；第二步再算加，都是偶数相加，和还是偶数，所以最后的结果一定是偶数．【详解】结果是偶数，因为每一个乘积都是偶数，这些偶数的和一定是偶数．压轴题6奇偶性判断例题6已知是一个素数，是一个偶数，，求的值，并把它分解素因数．【答案】【分析】2、3、5、7、11、13、17、19是常见的素数，利用这些素数进行分析求解．【详解】，是偶数，2018是偶数，因此一定是偶数，而偶数中只有2是素数，因此，，．【点睛】本题考查对素数的认识，20以内的素数：2、3、5、7、11、13、17、19，熟练掌握是关键．变式6阳光小学五年级同学参加学校举办的数学竞赛，共有20道题．评分标准是：答对一道题得5分，答错一道题倒扣1分，不答不扣分也不得分．如果所有题都答，那么参赛的同学总分数是奇数还是偶数？【答案】偶数【分析】如果答对了奇数道，则也答错了奇数道，又因1和5也是奇数，奇数之积为奇数，而奇数之差为偶数；如果答对了偶数道，则也答错了偶数道，又偶数与奇数之积为偶数，偶数之差为偶数，据此解答．【详解】如果全答对可得20×5＝100（分）即总分为偶数；若错一道要从中扣去5＋1＝6（分），根据偶数之差为偶数，所以总分为偶数；若一题都不答得0分，所以无论答错或答得分都为偶数．故答案为：偶数巩固训练1.一个四位数，千位上是最小的合数，百位上是最小的奇数，十位上是最小的素数，个位上是最小的自然数，这个数是．【答案】4120【分析】根据合数、奇数、素数和自然数的定义，按照要去写出对应数位上的数．【详解】最小的合数是4，所以千位上的数字是4；最小的奇数是1，所以百位上的数字是1；最小的素数是2，所以十位上的数字是2；最小的自然数是0，所以个位上的数字是0．故答案是：4120．【点睛】本题考查合数、奇数、素数和自然数的定义，解题的关键是熟练掌握这些数的定义，能够确定最小的是多少．2.一间客厅长8米，宽4.5米，现要铺正方形的地砖，市场上地砖有，，，四种规格．请问选择哪种规格的地砖能整块铺满，并计算出需要这样的地砖多少块？【答案】选规格，需要144块【分析】要想地砖能整块铺满，那么正方形地砖的边长应是客厅的地面长和宽的公因数，在四种尺寸中，边长50是客厅的地面的长和宽的公因数，所以该选50×50的正方形地砖；然后求出块数即可，据此解答．【详解】（1）该选50×50的正方形地砖；（2）地砖需要的块数：8m＝800cm，4.5m＝450cm，（800÷50）×（450÷50）＝16×9＝144（块）答：该选50×50的正方形地砖；需要144块．【点睛】本题实际考查了灵活应用公因数问题解决实际问题，关键要从地砖整块铺满这个角度，找到符合要求的公因数．3.将48名参加义务植树的学生平均分成若干组，使每组人数不少于4人，也不多于30人，应该怎样分组？【答案】每组4人分12组或每组6人分8组或每组8人分6组或每组12人分4组或每组16人分3组或每组24人分2组．【分析】找出48的大于等于4且小于等于30的因数，有几个因数，就有几种分组方法．【详解】解：因为所以48的大于等于4、小于等于30的因数有4、6、8、12，16、24．因此，48人分组使每组人数不少于4人，也不多于30人，可有6种分组方法．答：每组4人分12组或每组6人分8组或每组8人分6组或每组12人分4组或每组16人分3组或每组24人分2组．4.甲、乙两个小朋友各有一袋糖，每袋糖都不到20粒，如果甲给乙一定数量的糖后，甲剩余的糖粒数就是乙现有糖粒数的2倍；如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖粒数就是乙的糖粒数的3倍，那么甲、乙两个小朋友共有___________粒糖．【答案】24【分析】根据甲给乙一定数量的糖后，甲的糖数就是乙的糖数的2倍，所以甲乙共有的糖的总数是3的倍数，又如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖数就是乙的糖数的3倍，所以甲乙共有的糖的总数是4的倍数，同时是3和4的倍数且总数不超过40的数有12，24，36，再进行分类讨论即可．【详解】如果甲给乙一定数量的糖后，甲的糖数就是乙的糖数的2倍，所以甲乙共有的糖的总数是3的倍数，又如果乙给甲同样数量的糖后，甲的糖数就是乙的糖数的3倍，所以甲乙共有的糖的总数是4的倍数，同时是3和4的倍数且总数不超过40的数有12，24，36，①甲乙总数为12：那么甲给乙一定数量后，乙的糖数为4颗，乙给甲一定数量后，乙的糖数为3颗．显然矛盾的；②甲乙总数为24：那么甲给乙一定数量后，乙的糖数为8颗，乙给甲一定数量后，乙的糖数为6颗，所以甲原先有17颗，乙有7颗．是合理的；③甲乙总数为36：那么甲给乙一定数量后，乙的糖数为12颗，乙给甲一定数量后，乙的糖数为9颗，这时甲的数量肯定大于24颗与题目矛盾，综上可得甲乙两个小朋友共有24颗糖．答：甲乙两个小朋友一共有24颗糖．故答案为：24．5.一本陈年老账上记着：84只桶共□22.4□元．□处字迹已不清楚，请把□处数字补上，并求出桶的单价．【答案】522.48，单价6.22元；或622.44，单价7.41元；或722.40，单价8.60元【分析】，22.4不管它最前面是什么数都是可以被4除尽，所以最后的数字必为4或8或0，才能除