2022年湖北省十堰市中考数学真题（解析版）

2022年十堰市初中毕业生学业水平考试

数学试题

注意事项：

1.本卷共4页，25小题，满分120分，考试时限120分钟.

2.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡指定的位

置，并认真核对条形码上的准考证号和姓名，在答题卡规定的位置贴好条形

码.

3.选择题必须用2B铅笔在指定位置填涂；非选择题必须使用0.5毫米黑色签

字笔，按照题目在答题卡对应的答题区域内作答，超出答题区域和在试卷、草

稿纸上答题无效.要求字体工整，笔迹清晰.

4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一并上交.

一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分）下面每小题给出的四

个选项中，只有一个是正确的，请把正确选项的字母填涂在答题卡中相应的格

子内.

1.2的相反数是（）

A.2B.-2C.士D.--

22

【答案】B

【解析】

【详解】2的相反数是-2.

故选：B.

2.下列四个几何体中，主视图与俯视图不同的几何体是（）

【解析】

【分析】正方体的主视图与俯视图都是正方形，圆柱横着放置时，主视图与俯视图都是长

方形，球体的主视图与俯视图都是圆形，只有圆锥的主视图与俯视图不同.

【详解】解：A、正方体的主视图与俯视图都是正方形，选项不符合题意；

B、圆柱横着放置时，主视图与俯视图都是长方形，选项不符合题意；

C、圆锥的主视图与俯视图分别为圆形、三角形，故符合题意；

D、球体的主视图与俯视图都是圆形，故不符合题意.

故选：C.

【点睛】本题考查了简单的几何体的三视图，从不同方向看物体的形状所得到的图形可能

不同.

3.下列计算正确的是()

A.a6^a3=a2B./+2/=3/

C.(2a)3=6a3D.(«+1)2=a2+\

【答案】B

【解析】

【分析】根据同底数幕相除，合并同类项，积的乘方，完全平方公式，逐项判断即可求

解.

【详解】解：A、「6+。3="3,故本选项错误，不符合题意；

B、标+2/=3/,故本选项正确，符合题意；

C、(2a)3=8a3,故本选项错误，不符合题意；

D、(。+1)2=/+2。+1,故本选项错误，不符合题意；

故选：B

【点睛】本题主要考查了同底数募相除，合并同类项，积的乘方，完全平方公式，熟练掌

握相关运算法则是解题的关键.

4.如图，工人砌墙时，先在两个墙脚的位置分别插一根木桩，再拉一条直的参照线，就能

使砌的砖在一条直线上.这样做应用的数学知识是()

A.两点之间，线段最短B.两点确定一条直线

C.垂线段最短D.三角形两边之和大于第三边

【答案】B

【解析】

【分析】由直线公理可直接得出答案.

【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙脚的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的

参照线，这种做法用几何知识解释应是：两点确定一条直线.

故选：B.

【点睛】此题主要考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点.

5.甲、乙两人在相同的条件下，各射击10次，经计算：甲射击成绩的平均数是8环，方

差是1.1：乙射击成绩的平均数是8环，方差是15下列说法中不：足正确的是（）

A.甲、乙的总环数相同B.甲的成绩比乙的成绩稳定

C.乙的成绩比甲的成绩波动大D.甲、乙成绩的众数相同

【答案】D

【解析】

【分析】根据方差、平均数的意义进行判断，平均数相同则总环数相同，方差越大，波动

越大即可求出答案.

【详解】解：：甲射击成绩的方差是1」，乙射击成绩的方差是15且平均数都是8环，

；.5甲2Vsz2,

...甲射击成绩比乙稳定，

...乙射击成绩的波动比甲较大，

•.•甲、乙射靶10次，

甲、乙射中的总环数相同，

故A、B、C选项都正确，

但甲、乙射击成绩的众数不一定相同，

故D错误；

故选：D.

【点睛】本题考查了平均数、方差的意义.方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差

越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表

明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定.

6.我国古代数学名著《张丘建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醐洒一斗直粟

三斗，今持粟三斛，得酒五斗，问清陋酒各几何？”大意是：现有一斗清酒价值10斗谷

子，一斗醺酒价值3斗谷子，现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清洒，醋酒各几斗？

如果设清酒x斗，那么可列方程为（）

A.10x+3（5-x）=30B,3x+10（5—x）=30

x30-xx30—x

C.-+—=5D.—+------=5

310103

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意直接列方程即可.

【详解】解：根据题意，得：10x+3(5—x)=30,

故选：A.

【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键.

7.如图，某零件的外径为10cm,用一个交叉卡钳(两条尺长AC和3。相等)可测量零件

的内孔直径A8.如果。4：OC=OB：OD=3,且量得CA>3cm,则零件的厚度x为()

A.0.3cmB.0.5cmC.0.7cmD.1cm

【答案】B

【解析】

【分析】求出△408和相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算求出A8,再根

据外径的长度解答.

【详解】解：VOA：OC=OB：00=3,ZAOB=ZCOD,

：.^AOB^/XCOD,

：.AB：C£>=3,

：.AB：3=3,

,,.AB=9(cm),

•.•外径为10cm,

19+Zr=10,

.'.x=0.5(cm).

故选：B.

【点睛】本题考查相似三角形的应用，解题的关键是利用相似三角形的性质求出A8的

长.

8.如图，坡角为a的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树AB,当太阳光线与水平线成45。

角沿斜坡照下，在斜坡上的树影BC长为帆，则大树A8的高为()

A.m(coscr-sincr)B.m(sincr-cos6Z)C.机(cosa-tana)D.

mm

sinacosa

【答案】A

【解析】

【分析】应充分利用所给的。和45。在树的位置构造直角三角形，进而利用三角函数求

解.

【详解】解：如图，过点。作水平线与AB的延长线交于点。，则AO1_C。，

:./BCD=a,ZACD=45°.

在RtLCDB中，CD=mcosa,BD=msina,

在RdCZM中，

A£>=C£)xtan45°

=/nxcosaxtan45°

二fncosa,

：.AB=AD-BD

=(77?cosa-/Hsina)

-m(cosa-sina).

故选：A.

【点睛】本题考查锐角三角函数的应用.需注意构造直角三角形是常用的辅助线方法，另

外，利用三角函数时要注意各边相对.

9.如图，。0是等边△A3C的外接圆，点。是弧AC上一动点(不与A,C重合)，下列

结论：®ZADB=ZBDC；②D4=OC；③当05最长时，DB=2DC；④

DA+DC=DB,其中一定正确的结论有()

A

1//O\/

----------,C

A.1个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【解析】

【分析】根据等边三角形的性质可得/=宓，从而得到NADB=N8OC,故①正确；根

据点。是才"上一动点，可得心）不一定等于占＞，故②错误；当最长时，DB为圆0

的直径，可得N8CD=90°,再由。。是等边AABC的外接圆，可得

ZABD=ZCBD^30°,可得O8=2OC,故③正确；延长D4至点E,使4E=AO,证明

△ABE丝△C8。，可得BD=AE,ZABE=ZDBC,从而得到△BOE是等边三角形，可得到

DE=BD,故④正确；即可求解.

【详解】解：:△ABC是等边三角形，

：.AB=BC,NABC=60°,

♦♦

••AB=BCf

：.ZADB=ZBDC,故①正确；

丁点。是1上上一动点，

.••G不一定等于后），

.•.D4=OC不一定成立，故②错误；

当08最长时，为圆0直径，

AZBCD=90°,

,/GO是等边AABC的外接圆，ZABC=60°,

：.BD±AC,

：.NABD=NCBD=30°,

:.DB=2DC，故③正确；

如图，延长D4至点E,使AE=CC,

・・・四边形ABCD为圆0的内接四边形,

：.ZBCD+ZBAD=\SO°,

VZBAE+ZBy4D=180°，

:./BAE=/BCD,

・；AB=BC,AE=CD,

：.△ABE^ACBD,

：.BD=AEf/ABE=NDBC,

：.ZABE+ZABD=ZDBC+ZABD=ZABC=60°,

・・・△BOE是等边三角形，

：,DE=BD,

\9DE=AD+AE=AD+CD,

：.DA+DC=DB,故④正确；

・••正确的有3个.

故选：C.

【点睛】本题主要考查了圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四边形的性质，垂径定

理，等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理，三角形的外接圆，圆内接四

边形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质等知识是解题的关键.

10.如图，正方形ABCD的顶点分别在反比例函数y=§（勺〉0）和y=§（%2>0）的图

象上.若5。〃了轴，点。的横坐标为3,则仁+网=（）

D.9

【答案】B

【解析】

kk

【分析】设以=P8=PC=PD=r（#0）,先确定出0（3,二），C（3-r,二K）,由点C在

33

反比例函数尸k的图象上，推出仁3-2,进而求出点3的坐标（3,6--

1），再点。在

x3

反比例函数）=勺的图象上，整理后，即可得出结论.

X

【详解】解：连接AC,与8。相交于点P,

...点。的坐标为（3,殳），

3

.,.点C的坐标为（3-6g+f）.

•・•点C在反比例函数），=%的图象上,

X

(3-t)(——+t)=心，化简得：t=3—~>

33

.,.点8的纵坐标为二+2/=-+2(3—-)=6--.

3333

点B坐标为(3,6--),

3

A3x(6告)=匕，整理，得:勺+&2=18.

故选：B.

【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质，解题的关键是利用

反比例函数图象上点的坐标特征，找出左，网之间的关系.

二、填空题(本题有6个小题，每小题3分，共18分)

11.袁隆平院士被誉为“杂交水稻之父”，经过他带领的团队多年努力，目前我国杂交水

稻种植面积约为2.5亿亩.将250000000用科学记数法表示为2.5x10",则”=

【答案】8

【解析】

【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为axlO",其中l4|a|V10,〃为整

数.

【详解】解:••1250000000=2.5x108=2.5x10".

n=8

故答案为：8.

【点睛】本题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为ax10"的形式，其中

141al<10,〃为整数.确定"的值时，要看把原来的数，变成。时，小数点移动了多少

位，〃的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值210时，〃是正数；当原数的绝

对值VI时，〃是负数，确定。与〃的值是解题的关键.

12.关于x的不等式组中的两个不等式的解集如图所示，则该不等式组的解集为

---------------•---------------------------6------------►

0------------------1

【答案】O〈X<1

【解析】

【分析】不等式组解集在数轴上的表示方法：把每个不等式的解集在数轴上表示出来

（>，2向右画；<,4向左画），数轴上的点把数轴分成若干段，如果数轴的某一段上面表

示解集的线的条数与不等式的个数一样，那么这段就是不等式组的解集.有几个就要几

个.在表示解集时“2”，“4”要用实心圆点表示；“<"，"〉”要用空心圆点表示.

【详解】解：该不等式组的解集为O〈X<1

故答案为：O«x<l

【点睛】本题考查了不等式组解集在数轴上的表示方法，数形结合是解题的关键.

13.“美丽乡村”建设使我市农村住宅旧貌变新颜，如图所示为一农村民居侧面截图，屋坡

AF>4G分别架在墙体的点8,C处，且AB=AC,侧面四边形BDEC为矩形，若测

得NFBD=55°,则NA=°.

【答案】110

【解析】

【分析】根据矩形的性质可得"80=90°，求出N4BC=35。，根据等边对等角可得

ZACB=ZABC=35°,然后根据三角形内角和定理即可求解.

【详解】•••四边形8DEC为矩形

:.ZDBC=90°

•••/FBD=55°,

.'.ZABC=90°-55°=35°

•••AB^AC

:.ZACB=ZABC=35°

NA=180。—NABC—ACB=110°

故答案为：110.

【点睛】本题考查了矩形的性质，等边对等角，三角形内角和定理，掌握以上知识是解题

的关键.

14.如图，某链条每节长为2.8cm,每两节链条相连接部分重叠的圆的直径为1cm,按这

种连接方式，50节链条总长度为cm.

【解析】

【分析】通过观察图形可知，1节链条的长度是2.8cm，2节链条的长度是(2.8X2-1)

cm,3节链条的长度是(2.8x3-lx2)cm,"节链条的长度是2.8〃-lx(/j-1)cm,据此解

答即可求解.

【详解】解：2节链条的长度是(2.8x2/)cm,

3节链条的长度是(2.8x3-lx2)cm,

〃节链条的长度是2.8/i-lx(n-1)cm,

所以50节链条的长度是：2.8x50-lx(50-1)

=140-1x49

=91(cm)

故答案为：91

【点睛】此题考查的图形类规律，关键是找出规律，得出“节链条长度为2.5X〃-0.8X(〃一

1).

15.如图，扇形AOB中，ZAOB=90°,。4=2,点C为OB上一点，将扇形AOB沿

AC折叠，使点8的对应点9落在射线A。上，则图中阴影部分的面积为.

【答案】2万+1近

【解析】

【分析】连接AB,在刘zkAOB中，由勾股定理，求得A8=20，由折叠可得：

AB'=AB=2O,CB'=CB,则。？=20-2,设"=x,则CB'=CB=2-x,在

CO3'中，由勾股定理，得(2血一2,+%2=(2—1)2,解得：m2及一2，最

后由S阴影=S扇形・2SAAOC求解即可.

【详解】解：连接A以

CB

B'

在配AAOB中，由勾股定理，得

AB=V(9A2+OC2=V22+22=2V2，

由折叠可得：AB'=AB=2亚,CP=CB,

•••QB'=2五—2，

设OC=x,则CB'=CB=2-X,

在朋△COB'中，由勾股定理，得

(20_2『+%2=(27)2,

解得：x=2及-2，

S阴影=S质形・2S\AOC

90^-x22c1八，

=-------------2x-OAOC

1802

90〃x2?c1c/cA?c\

=---------2x-x2xI2A/2-2)

1802、>

=2%+4口血,

故答案为：2%+4~4-

【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，扇形的面积，利用折叠的性质和勾股定理求出

OC长是解题的关键.

16.【阅读材料】如图①，四边形ABC。中，AB=AD，NB+NO=180°,点E，F

分别在8C,8上，若NBAD=2NEAF，则石尸=8£+。尸.

A

图①

【解决问题】如图②，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形A3CO.已知

CZ）=CB=100m,ZD=60°,ZABC=\20°,ZBCZ）=150°,道路AO，A8上分

别有景点M,N,且。M=100m,BN=50（G—l）m,若在M,N之间修一条直

路，则路线N的长比路线AfN的长少m（结果取整数，参考数

据：6x1.7）.

【答案】370

【解析】

【分析】延长交于点£,根据已知条件求得NE=90°,进而根据含30度角的直

角三角形的性质，求得EC,EB,AE,AD,从而求得AN+A”的长，根据材料可得

MN=DM+BN,即可求解.

【详解】解：如图，延长AB,DC交于点E，连接CM,CN,

A

DM

•••/£>=60°,Z/WC=120°,/BCD=150。,

.•.ZA=30。，NE=90°,

DC=DM=100

：.ADCM等边三角形，

：.ZDCM=6D°,

"CM=90。,

在RSBCE中，BC=100,ZECB=180°-ZBCD=30°,

EB=；BC=50,EC=6EB=5。6,

DE=DC+EC=1QQ+5073，

RtZkADE中，A£>=2£>E=200+10073-AE==1006+150，

•••AM=AO-OM=200+100百-100=100+10()6，

AN=AB—BN=(AE—EB)—BN

=(10073+150-50)-50(^-1)

=5073+150;

/.AM+A7V=100+10073+5073+150=250+150M，

R3CMB中，BM=y/BC2+CM2=1(X)V2

EN=EB+BN=50+-1)=5。6=EC

.,.△£CN是等腰直角三角形

ZNCM=NBCM-4NCB=NBCM-(NNCE-NBCE)=75。=；NDCB

由阅读材料可得MN=QM+BN=100+50(G-1)=50(G+1),

•••路线N的长比路线AfN的长少

250+150^-50(^+1)=200+100^®370m.

故答案为:370.

【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，理解题意是解题的关键.

三、解答题(本题有9个小题，共72分)

17.计算：(I]—阎—(―1严2.

【答案】A/5

【解析】

【分析】根据负整数指数幕、乘方、绝对值的性质化简后计算即可.

［详解］解：+|2-V5|-(-l)2022

=3+75-2-1

=#)■

【点睛】本题考查实数的混合运算，解题的关键是根据负整数指数基、绝对值的性质化

简.

b?—2ab'

18.计算:a+----------

a)

,,,,a+h

【答案］--

a-b

【解析】

【分析】先根据分式的加减计算括号内的，同时利用除法法则变形，约分即可得到结果.

(a+bya-b)(a2+h2-lab

【详解】解：原式——-——------------------

aa

+叽a

a

_a+h

a-h

【点睛】本题考查了分式的混合运算，正确的计算是解题的关键.

19.已知关于龙的一元二次方程》2一21一3机2=0.

(1)求证：方程总有两个不相等的实数根；

(2)若方程的两个实数根分别为a,力，且。+24=5,求加的值.

【答案】(1)见解析(2)加=±1

【解析】

【分析】(1)根据根的判别式A=〃-4ac，即可判断;

(2)利用根与系数关系求出。+，=2,由a+2/?=5即可解出a,£,再根据

a•夕=-3//Z2,即可得到加的值.

【小问1详解】

△=/—4ac=(—2)--4x1-(—3m2)=4+12m2,

V12m2>0«

•••4+12加2>4>0.

该方程总有两个不相等的实数根；

【小问2详解】

・•,方程的两个实数根a,B,

由根与系数关系可知，a+尸=2,aj3=-3m2,

'：a+2/3=5,

：.a=5-2/3,

：.5-2(3+(3=2,

解得：,=3,£z=-l,

•*--3AM2=-1X3=-3>即加=±1.

【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是掌握根的判别式以及

根与系数的关系.

20.某兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，将调查结果进行统计分

析，绘制成如下不完整的统计图表.

抽取的学生视力情况统计表

类别调查结果人数

4正常48

B轻度近视76

C中度近视60

D重度近视m

抽取的学生视力情况统计图

请根据图表信息解答下列问题：

(1)填空：m=,n-

(2)该校共有学生1600人，请估算该校学生中“中度近视”的人数；

(3)某班有四名重度近视的学生甲、乙、丙、丁，从中随机选择两名学生参加学校组织的

•爱眼护眼'’座谈会，请用列表或画树状图的方法求同时选中甲和乙的概率.

【答案】（1）200,108

（2）估计该校学生中“中度近视''的人数约为480人；

（3）甲和乙两名学生同时被选中的概率为;.

【解析】

【分析】（1）从所取样本中根据“正常”的人数和所占比例求出所抽取的学生总人数；根据

“中度近视''的人数求出所占比例，乘以360。即可求解；

（2）由全校共有学生人数乘以“中度近视”人数所占的比例即可；

（3）画树状图列出所有等可能结果，再利用概率公式计算可得.

【小问1详解】

解：所抽取的学生总数为〃?=48+24%=200（人），

60

n=360x---=108,

200

故答案为：200,108；

【小问2详解】

解：1600X空=480（人），

200

即估计该校学生中“中度近视”的人数约为480人；

【小问3详解】

解：画树状图为：

开始

甲乙丙

/NZN/N

乙丙丁甲丙丁甲乙丁甲乙丙

共有12种等可能的结果数，其中甲和乙两名学生同时被选中的结果数为2,

所以甲和乙两名学生同时被选中的概率为.

126

【点睛】本题考查扇形统计图、统计表以及用样本估计总体以及列表法与树状图法等知

识；利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果”，再从中选出符合事件A或8的结果

数目m,然后利用概率公式计算事件A或事件B的概率.

21.如图，QABCD中，AC,80相交于点。，E，尸分别是Q4,0c的中点.

DC

（1）求证：BE=DF；

AC

（2）设——=k,当％为何值时，四边形DEBF是矩形？请说明理由.

BD

【答案】（1）证明见解析

（2）当攵=2时，四边形DEM是矩形，理由见解析

【解析】

【分析】（1）连接DE,BF,先根据平行四边形的性质可得OA=OC,OB=OD,再根据

线段中点的定义可得OE^-OA^-OC=OF,然后根据平行四边形的判定可得四边形

22

OEB/是平行四边形，最后根据平行四边形的性质即可得证；

（2）先根据矩形的判定可得当如=石尸时，四边形/是矩形，再根据线段中点的

定义、平行四边形的性质可得AC=2砂，由此即可得出攵的值.

【小问1详解】

证明：如图，连接。

•••四边形ABC。是平行四边形，

OA=OC,OB=OD,

・・・瓦尸分别是。4,OC的中点,

:.OE^-OA^-OC^OF,

22

•••四边形£）£3尸是平行四边形，

：.BE=DF.

【小问2详解】

解：由（1）已证：四边形。石3厂平行四边形，

要使平行四边形OEBf是矩形，则BD=EF，

•.OE=-OA=-OC=OF,

22

EF=OE+OF=-OA+-OC=OA=-AC,即AC=2EF,

222

AC2EF

..k==----=2,

BDEF

故当左=2时，四边形。£8尸是矩形.

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、矩形的判定等知识点，熟练掌握平行四边

形的判定与性质是解题关键.

22.如图，AASC中，AB^AC,。为AC上一点，以8为直径的0。与A8相切于

点E，交BC于点、F，FG1AB,垂足为G.

（1）求证：EG是0。的切线;

(2)若8G=1，BF=3,求CF的长.

【答案】（1）见解析（2）逑

3

【解析】

【分析】（1）连接。”。/，设40DF=NOFD=。，4OFC=a，根据已知条件以

及直径所对的圆周角相等，证明a+〃=9（）°,进而求得即可

证明FG是O。的切线;

（2）根据已知条件结合（1）的结论可得四边形GEOR是正方形，进而求得QC的长,

根据ZBEG=N£DC=/?,sin尸=毁=三，即可求解.

BFDC

【小问1详解】

如图，连接。尸,。厂，

•.OF=OD,

则N。。/=NOFD,

设4ODF=4OFD=B，Z.OFC=a,

■：OF=OC,

:.NOFC=4OCF=cc,

为。0的直径，

.-.ZDFC=90°,

ZDFO+OFC=ZDFC=90°,

即a+〃=90。，

-AB=AC，

；.NB=ZACB=a，

-,-FG1AB,

ZGFB=90°-ZB=90°-a=J3,

ZDFB=ZDFC=90°,

ZDFG=900-NGFB=90°—/?=a,

NGFO=GFD+DFO=a+尸=90°,

•.•0/为。。的半径，

.•.EG是OO的切线；

【小问2详解】

如图，连接OE,

QA8是OO的切线，则O£_LAB,又OF上FG,FG工AB,

二四边形GEO尸是矩形，

•;OE=OF,

...四边形GEOE是正方形,

:.GF=OF=LDC,

2

在RtAG£8中，BG=T,BF=3,

：.FG=^BF2-GB2=2V2,

OC=2贬，

由（1）可得Z-BFG=Z.FDC=0,

­.FG1AB.DF±FCf

..“卫=生

BFDC

1_FC

,-3-2V2,

解得尸。=2也.

3

【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，正弦

的定义，掌握切线的性质与判定是解题的关键.

23.某商户购进一批童装，40天销售完毕.根据所记录的数据发现，日销售量）（件）与

2x,0<x<30

销售时间x（天）之间的关系式是y，ccc八，八，销售单价〃（元/件）与

-6x+240,30<x<40

销售时间X（天）之间的函数关系如图所示.

P（元/件）

（1）第15天的日销售量为件；

（2）当0<xW30时，求日销售额的最大值；

（3）在销售过程中，若日销售量不低于48件的时间段为“火热销售期”，则“火热销售期

共有多少天？

【答案】(1)30(2)2100元

(3)9天

【解析】

【分析】(1)将x=15直接代入表达式即可求出销售量；

(2)设销售额为w元，分类讨论，当0<xW20时，由图可知，销售单价，=40：当

20<xW30时，有图可知，p是x的一次函数，用待定系数法求出p的表达式；分别列出

函数表达式，在自变量取值范围内求取最大值即可；

(3)分类讨论，当20<x<30和0<xW30时列出不等式，解不等式，即可得出结果.

【小问1详解】

解：当x=15时，销售量y=2x=30；

故答案为30；

【小问2详解】

设销售额为卬元，

①当0<xK20时，由图可知，销售单价p=40,

此时销售额狡=40xy=40x2x=80x

V8O>O,

二卬随X的增大而增大

当x=20时，w取最大值

此时卬=8()x2()=16(X)

②当20<xW30时，有图可知，P是尤的一次函数，且过点(20,40)、(40,30)

设销售单价〃=辰+。仅H0),

将(20,40)、(40,30)代入得:

2(R+0=40

解得2

40/:+/?=30

b=50

15

••p=——x+50

1

w=py=1-gx+50).2x=-x+100%=-(x-50)2+2500

•r-l<0,

...当20<xW30时，卬随x的增大而增大

当x=30El寸，卬取最大值

此时卬=—(30—50)2+2500=2100

V160()<2100

二w的最大值为2100,

.•.当0<xW30时，日销售额的最大值为2100元；

【小问3详解】

当0WXW30时，2x248

解得x224

A24<x<30

当30<尤440,-6x+240>48

解得x<32

A30<x<32

.,.24<x<32,共9天

；•日销售量不低于48件的时间段有9天.

【点睛】本题考查一元一次方程、一次函数、一元一次不等式、二次函数，是初中数学应

用题的综合题型，解题的关键在于利用题目中的等量关系、不等关系列出方程、不等式，

求出函数表达式，其中自变量取值范围是易错点、难点.

24.已知NABN=90°,在乙4BN内部作等腰AABC,AB^AC,

N6AC=a(0°<aW90。).点。为射线8N上任意一点(与点8不重合)，连接AO,将

线段AD绕点A逆时针旋转a得到线段AE，连接EC并延长交射线BN于点F.

(1)如图1,当a=90。时，线段班'与CT的数量关系是；

(2)如图2,当0。<&<90。时，(1)中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不

成立，请说明理由；

(3)若e=6()°,AB=4BBD=m,过点E作EPLBN,垂足为P,请直接写出

的长(用含有"?的式子表示).

【答案】(1)BF=CF

(2)成立；理由见解析

(3)PD-6----或P£>=0或P£>=——6

22

【解析】

【分析】(1)连接AF,先根据“SAS”证明得出

N4CE=NA5£)=90°，再证明RJAB厂且RjACE,即可得出结论；

(2)连接4尸，先说明NE4C=NBAO,然后根据“SAS”证明班)，得出

NAC£=NA3O=90°，再证明RtA/W尸gRtAACF,即可得出结论；

(3)先根据a=60°,AB=AC,得出AABC为等边三角形，再按照/84£><60°,

Zfi4D=60°,/84。>60。三种情况进行讨论，得出结果即可.

【小问1详解】

解：BF=CF；理由如下：

连接4凡如图所示：

根据旋转可知，ZDAE=a=90°,AE=AD,

'：ZBAC=90°,

二NE4c+ZCAD=90°,ZBAD+ZCAD=90°,

...ZEAC=ZBAD,

'：AC=AB,

AACEWAA5O(SAS),

ZACE=ZABD=90%

/.ZACF=180°-90°=90°,

AB=AC

在Rt^ABF与RtAACF中〈，

AF=AF

：.Rt^ABF^Rt^ACF(HL),

：.BF=CF.

故答案为：BF=CF.

【小问2详解】

成立；理由如下：

连接A凡如图所示:

根据旋转可知I,ZDAE=a,AE=AD,

,：ZBAC=a,

/.ZEAC-ZCAD=a,ZBAD-ZCAD=a，

：.ZEAC=ZBAD,

•：AC=AB,

AACE^MfiD,

/.ZACE=ZABD=90°，

：.ZACF=180°-90°=90°,

AB=AC

,：在RtA/lBF与RtAACF中<,

AF=AF

：.Rt^ABF^Rt^ACF(HL),

BF=CF.

【小问3详解】

,?«=60°,4B=AC,

J./XABC等边三角形，

/.ZABC=ZACB=ABAC=60°，AB=AC=BC=46，

当NA4£Y60°时，连接AF,如图所示:

根据解析（2）可知，Rt△ABF^RtAACF,

NBAF=ZCAF=-ZBAC=30°，

2

,/AB=，

tanZBAF-tan30°=，

AB

即3F=A8xtan30°=4百x上=4,

3

，CF=BF=4,

根据解析（2）可知，AACE^MBD,

CE-BD-m,

:.EF-CF+CE=4+m,

ZFBC=NFCB=90°-60。=30°,

ZEFP=NFBC+NFCB=60°,

•••NE产产=90°,

NFE尸=90。—60。=30。，

i1i-yj

：.PF=—EF=—（4+m）=2+—，

22、,2

mm

BP^BF+PF^4+2+—^6+—,

22

mm

：.PD=BP—BD=6+——m=6——；

22

当N8A/)=60。时，AD与AC重合，如图所示:

E

：ZZM£=60。，AE=AD^

：.AADE为等边三角形,

：.ZADE=60°,

ZAD3=90°—ZS4C=30。，

ZADE=60。+30°=90°,

此时点P与点。重合，PD=0；

当N84D>60°时，连接AF,如图所示:

NBAF=ZCAF=-ZBAC=30°,

2

•/AB=4瓜

/.tanZBAF=tan30°=

AB

即BP=ABxtan30°=45/3x—4,

3

，CF=BF=4,

根据解析（2）可知，MCE^AABD,

CE=BD=m,

:.EF=CF+CE=4+m,

,：NFBC=ZFCB=90°-60°=30°,

ZEFP=NFBC+ZFCB=60°,

/EPF=90°，

ZFEP=90°—60°=30°,

：.BP^BF+PF^4+2+—^6+—,

22

/.==m—1+羡卜3-6；

综上分析可知，PD=6一一或尸0=0或PO=——6.

22

Q

25.已知抛物线y=or+1X+c与*轴交于点A（l,0）和点8两点，与V轴交于点

C（0,-3）.

（1）求抛物线的解析式：

（2）点尸是抛物线上一动点（不与点A,B,C重合），作PD_Lx轴，垂足为£>,连接

PC.

①如图1,若点P在第三象限，且NCPD=45。，求点尸的坐标；

②直线PD交直线8C于点E，当点E关于直线尸。的对称点E落在y轴上时，求四边形

PECE'的周长.

3Q

【答案】（1）y=-x2+-x-3

44

⑵①49野鳄畤

【解析】

【分析】（1）把点A（1,O）,C（0,-3）代入，即可求解；

（2）①过点C作CQ，。尸于点。，可得△CPQ为等腰直角三角形，从而得至UPQ=CQ,设

39

点尸I加，：加2+二加一3则0£）=-m,PD=--m2一一m+3,再由四边形0C。。为矩

144）44

39

形，可得QC=O£>=PQ=-M,OQ=OC=3,从而得到PQ=-二I一一m；即可求解：②过点

44

E作EM〃x轴于点先求出直线BC的解析式为y=——3,证得四边形PECE'为菱