备考2021中考数学高频考点分类突破《13 三角形和勾股定理》(解析版)

备考2021中考数学高频考点分类突破

三角形和勾股定理

选择题

1.（2019•宜宾）如图，NEOF的顶点。是边长为2的等边AABC的重心，/E。尸的两边与AABC的边交

于E,F,/EOF=120。，则NEOF与AABC的边所围成阴影部分的面积是（）

【解答】解：连接08、OC,过点。作。ML8C,垂足为M

•••△ABC为等边三角形，

ZABC=ZACB=f>0°,

;点。为AABC的内心

11

/.NOBC=ZOBA=/ABC,NOCB=q乙ACB.

：.ZOBA=ZOBC=ZOCB=30°.

/.OB=OC.ZBOC=\20°,

VON.LBC,BC=2,

:.BN=NC=\,

：.ON=tanNOBC・BN=苧x1=冬

1M

:&OBC=少C・ON=y.

ZEOF=ZBOC=120°,

：.4EOF-NBOF=ZBOC-NBOF,即NEOB=ZFOC.

在AE03和△FOC中，

LOBE=乙OCF=30°

OB=OC,

"OB=Z.FOC

...△EOBdFOC(.ASA).

•C-c_百

•"S阴影一SAOBC=手

故选：C.

2.（2019•泰州）如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点A、B、C、。、E、F、G在小正方形的顶

点上，则AABC的重心是（）

A.点。B.点EC.点FD.点G

【解答】解：根据题意可知，直线CO经过A48C的A8边上的中线，直线A/）经过的8c边上的中

线，

.•.点。是AABC重心.

故选：A.

3.（2019•临沂）如图，。是4B上一点，。尸交AC于点E,DE=FE,FC//AB,若AB=4,CF=3,则80

的长是（）

A.0.5B.1C.1.5D.2

【解答】解：A、2+3>4,能构成三角形，不合题意：

8、1+2=3,不能构成三角形，符合题意；

C、4+3>5,能构成三角形，不合题意；

D,4+5>6,能构成三角形，不合题意.

故选：B.

4.（2019•衢州）“三等分角”大约是在公元前五世纪由古希腊人提出来的，借助如图所示的“三等分角仪”能

三等分任一角.这个三等分角仪由两根有槽的棒0A，。8组成，两根棒在。点相连并可绕。转动、C点

固定，OC=CD=DE,点£>、E可在槽中滑动.若NBDE=75。,则/CDE的度数是（）

A.60°B.65°C.75°D.80°

【解答】解：；OC=CO=OE,

，NO=NODC,/DCE=NDEC,

：.ZDCE=ZO+ZODC=2ZODC,

•/ZO+ZOED=3ZODC=NBDE=75。,

AZODC=25°,

VZCDE+ZODC=180°-ZBDE=105°,

ZCDE=1050-ZODC=SO0.

故选：D.

5.（2019•毕节市）在下列长度的三条线段中，不能组成三角形的是（）

A.2cm,3cmf4cmB.3an,6cm,6cm

C.2cm,2cmf6cmD.5cm,6cm,1cm

【解答】解：4、2+3>4,能组成三角形；

B、3+6>6,能组成三角形；

C、2+2<6,不能组成三角形；

。、5+6>7,能够组成三角形.

故选：C.

6.（2019•扬州）己知〃是正整数，若一个三角形的3边长分别是"+2、〃+8、3”，则满足条件的”的值有

（）

A.4个B.5个C.6个D.7个

【解答】解：①若〃+2<”+肥3〃，则

（n+2+n+8>3n

in+8<3n

解得卜<1°,即49<10,

U>4

二正整数〃有6个：4,5,6,7,8,9；

②若A?+2<3H</?+8,则

jn+2+3n>n+8

13九<n4-8

解得任>2,即2</Z<4,

...正整数〃有2个：3和4；

综上所述，满足条件的〃的值有7个，

故选：D.

7.（2019•台州）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（）

A.3,4,8B.5,6,10C.5,5,11D.5,6,11

【解答】解：

A选项，3+4=7<8,两边之和小于第三边，故不能组成三角形

8选项，5+6=11>10,10-5<6,两边之各大于第三边，两边之差小于第三边，故能组成三角形

C选项，5+5=10<11,两边之和小于第三边，故不能组成三角形

。选项，5+6=11,两边之和不大于第三边，故不能组成三角形

故选：B.

8.（2019•黄石）如图，在△ABC中，NB=50。，于点。，N8C。和N8OC的角平分线相交于点区

F为边AC的中点，CD=CF,则NACD+NCE£>=（）

DB

A.125°B.145°C.175°D.190°

【解答】解：・・・CO，A3,尸为边AC的中点，

：.DF=^AC=CF,

又•：CD=CF,

:.CD=DF=CF,

•••△CD/是等边三角形，

JZACD=60°,

VZ/?=50°,

AZBCD+ZBDC=130°,

•:/BCD和N8DC的角平分线相交于点E,

；.NDCE+NCDE=65。,

AZCED=115°,

NACQ+NCEQ=600+l15。=175°,

故选：C.

9.（2019•西藏）如图，在。。中，半径。。垂直弦AB于。，点E在。。上，NE=22.5。，AB=2,则

半径08等于（）

A.1B.V2C.2D.2V2

【解答】解：•.•半径OC，弦48于点C,

：.AC=BC,

1

••.NE=*BOC=22.5。，

.•./8OO=45。，

.•.△008是等腰直角三角形，

：AB=2,

：.DB=OD=\,

则半径。8等于：V12+12=V2.

故选：B.

10.（2019•毕节市）如图，点E在正方形ABCZ）的边A8上，若EB=1,EC=2,那么正方形ABC。的面

积为（）

A.V3B.3C.V5D.5

【解答】解：：四边形A8co是正方形,

・・.N8=90。，

：.BC2=EC2-EB2=2Z-12=3,

・•・正方形45co的面积=802=3.

故选：B.

11.（2019•河南）如图，在四边形ABC。中，AD//BC,NQ=90。，AO=4,BC=3.分别以点A,C为圆

心，大于长为半径作弧，两弧交于点E,作射线BE交4。于点凡交AC于点。若点。是4。的

中点，则CO的长为（）

A.2V2B.4C.3D.V10

【解答】解：如图，连接尸C,则4尸=尸。.

■:AD//BC,

：・NFAO=NBCO.

在AFOA与△BOC中，

Z-FAO=乙BCO

0A=0C,

Z.AOF=乙COB

(ASA),

:・AF=BC=3,

：.FC=AF=3,FD=AD-AF=4-3=\.

在AFQC中，VZD=90°,

：.CD1+DF2^FC2,

.•.CD2+12=32,

:.CD=2a.

故选：A.

12.（2019•滨州）如图，在AOAB和AOCD中，OA=OB,OC=OD,OA>OC,NAOB=NCOO=40。，连

接AC,BD交于点M,连接OM.下列结论：①AC=B。；②NAMB=40。；③。用平分NBOC；®MO

平分/8MC.其中正确的个数为（）

C.2D.1

【解答】解：；NAOB=NCOQ=40。,

ZAOB+ZAOD^ZCOD+ZAOD,

即NA0C=N8。。,

OA=OB

在AAOC和"。。中，,乙40C=NB。。，

.OC=OD

.♦.△AOC空△BOO(SAS),

：.ZOCA=ZODB,AC=BD,①正确；

：.NOAC=NOBD,

由三角形的外角性质得：ZAMB+ZOAC=ZAOB+ZOBD,

；./AMB=/4O8=40。，②正确；

作OG_LMC于G,OHLMB于H,如图2所示：

则NOGC=NOHD=90。,

AOCA=乙ODB

^^OCG^^ODH^P，z.OGC=Z.OHD,

.OC=OD

:.△OCG/4ODH(A4S),

：.OG=OH,

MO平分/BMC,④正确；

•?ZAOB=ZCOD,

.•.当/OOM=/AOM时，OM才平分/BOC,

假设NOOA/=/AOM

「△AOC空△BOO,

：.ZCOM=ZBOM,

：MO平分/BMC,

：.ZCMO=ZBMO,

/.COM=乙BOM

在△COM和A8OM中，OM=OM

.乙CMO=乙BMO

,△COM<△BOM(ASA),

r.OB=OC,

•：OA=OB

：.OA=OC

与OA>OC矛盾，

，③错误；

正确的个数有3个；

故选：B.

图2

二.填空题

13.（2019•梧州）如图，已知在AABC中，D、E分别是AB、4c的中点，尸、G分别是A。、AE的中点,

且FG=2cm,则BC的长度是cm.

【解答】解：：。是AC的中点，且BCAC,

：.AB=BC=lcm,AD=^AC=3cm,

'：ED//BC,

：.AE^BE=^AB=3.5cm,ED=^BC=3.5cm,

：./\AED的周长=AE+E£»+AO=10cm.

故答案为：1（）.

14.（2019•株洲）如图所示，在RtAABC中，/ACB=90。，CM是斜边A8上的中线，E、尸分别为M3、

BC的中点，若EF=1,贝ijAB=.

【解答】解：如图，♦.,△4DE中，F、G分别是A。、AE•的中点,

:.DE=2FG=4cm,

VD,E分别是A8,AC的中点，

.♦.CE是AABC的中位线，

.•.8C=2OE=8CTM,

故答案为：8.

15.（2019•长沙）如图，要测量池塘两岸相对的A,B两点间的距离，可以在池塘外选一点C,连接AC,

BC,分别取AC,BC的中点。，E,测得。E=50",则”的长是m.

A

【解答】解：YE、1分别为M-的中点,

:,CM=2EF=2,

VZACB=90°1CM是斜边AB上的中线,

：.AB=2CM=4f

故答案为：4.

16.（2019•鸡西）如图，四边形OAAiBi是边长为1的正方形，以对角线04为边作第二个正方形。442及,

连接A42,得到△A4M2;再以对角线OA2为边作第三个正方形OA泊3a,连接443,得到△A1A2A3；再以对角

线0A3为边作第四个正方形，连接A2A4,得到AAM3A4记A4A1A2、ZkAiA2A3、Al2A3A4的面积分别为Si、

S2、S3,如此下去，则S2019=.

【解答】解：•・•点Q,E分别是AC,8C的中点，

，。七是△A3C的中位线，

・・・AB=2OE=2x50=100米.

故答案为：100.

【解答】解：・・•四边形OA4向是正方形,

.\OA=AA\=A]B\=\,

・11

..51=x1x1=

VZOA4i=90°,

AOAI2=124-12=2,

**•OA2=A2A3=2,

S2=x2x1=1,

同理可求：S3=x2x2=2,S4=4…,

Sn=2"2,

AS2019-22017,

故答案为：22017.

17.（2019•北京）如图，已知"BC,通过测量、计算得的面积约为.cm2.（结果保留一位小

数）

B

【解答】解：过点C作COLA8的延长线于•点力，如图所示.

经过测量，AB=2.2cm,CD=L7cm,

I1,

/.5A4BC=^AB-CD=2X2.2x1.7-1.9(c/n2).

故答案为：L9.

18.（2019•成都）如图，在平面直角坐标系x。），中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A

15

的坐标为（5,0）,点B在x轴的上方，AOAB的面积为一，则AOAB内部（不含边界）的整点的个数

2

为.

【解答】解：设8（m,〃），

・・・8在x轴上方，

•・•点A的坐标为（5,0）,

：.OA=5f

Z\OAB的面积=2x5・〃=竽

n=3,

:.B(m,3).

由图形的对称性,

设m>

①当〃?=5时，可得AOAB内部的整数点4个,

②当m>|目.时,

OB的直线解析式y=看

AB的直线解析式尸岛X-忌

设直线y=2与直线OB与直线A3分别交于点C,D,

2m2m+5

C(—,2),D(--------,2),

33

；.CO=|,

内部（不含边界）直线y=2上的整点的个数为1或2,

同理可得，△048内部（不含边界）直线y=l上的整点的个数为3或4,

综上所述，AOAB内部（不含边界）的整点的个数为4或5或6.

故答案为4或5或6：

19.（2019•永州）如图，已知点F是AABC的重心，连接BF并延长，交AC于点E,连接CF并延长，交

A8于点。，过点尸作FG〃BC,交4c于点G.设三角形EFG,四边形FBCG的面积分别为Si,52,则

S1：S?=.

G

BC

【解答】解：•・,点尸是AABC的重心,

JBF=2EF,

:・BE=3EF,

■:FG//BC,

：./\EFGS/\EBC,

EF1Si101

BE3S&EBC39

•*.5i：S2=g；

1

故答案为：一.

8

20.（2019•大庆）如图，在△A8C中，D、E分别是3C,AC的中点，AO与BE相交于点G,若DG=1,

贝ijAD=.

【解答】解：・・・。、E分别是BC,AC的中点,

，点G为AABC的重心，

：.AG=2DG=2f

：.AD=AG+DG=2+\=3.

故答案为3.

三.解答题(共31小题)

21.(2019•益阳)已知，如图，AB=AE,AB//DE,NECB=70°,ZD=110°,求证：AABC丝△EAD

【解答】证明：由/ECB=70。得乙4cB=110。

又

二ZACB-ZD

'JAB//DE

：.ZCAB=ZE

."△ABC和△EAO中

Z.ACB=ZLD

乙CAB=4E

.AB=AE

.•.△A8C丝△EAZ)(AAS).

22.(2019•杭州)如图，在AABC中,AC<AB<BC.

(1)已知线段A8的垂直平分线与BC边交于点尸，连接4P,求证：NAPC=2N8.

(2)以点8为圆心，线段AB的长为半径画弧，与BC边交于点、Q,连接AQ.若/AQC=3/8,求

的度数.

A

【解答】解：(1)证明：・・•线段45的垂直平分线与8C边交于点P,

：.PA=PB,

:.NB=NBAP,

/APC=NB+/BAP,

ZAPC=2ZB；

(2)根据题意可知84=3。，

：.ZBAQ=ZBQA,

VZAgC=3ZB,NAQC=N8+/8AQ,

・・.NBQA=2NB,

,/ZBAQ+ZBQA+ZB=180°f

.'.5ZB=180°,

・・・NB=36。.

23.(2019•呼和浩特)如图，在3c中，内角A、B、。所对的边分别为〃、b、

(1)若〃=6,2=8,c=12,请直接写出NA与N8的和与NC的大小关系；

(2)求证：AABC的内角和等于180。；

aJ(a+b+c)

(3)若一—=---------,求证：AABC是直角三角形.

a-b+cc

B

【解答】解：(1)•.•在AABC中，4=6,6=8,cR2,

(2)如图，过点8作MN〃AC,

'：MN//AC,

：.ZMBA^ZA,NNBC=NC(两直线平行，内错角相等)，

VZMBA+ZABC+ZNBC=180°(平角的定义)，

...NA+/ABC+/C=180。(等量代换)，

即：三角形三个内角的和等于180。；

a3(a+b+c)

(3),/---------=---------------,

Q-b+CC

1100

ac—2(a+b+c)(a-b+c)=引(a+2ac+c)-/?],

.\2ac=a1+2ac+c1-b2,

/•△ABC是直角三角形.

24.（2019•大庆）如图，一艘船由4港沿北偏东60。方向航行10%加至8港，然后再沿北偏西30。方向航行

10攵加至。港.

(1)求A,C两港之间的距离(结果保留到0.1km,参考数据：鱼々1.414,遮“1.732)；

(2)确定C港在A港的什么方向.

北

C个

A\N

(

【解答】解：(1)由题意可得，NP8C=30。，/M48=60。，

：.ZCBQ=60°fNBAN=30。,

NABQ=30。，

JZABC=90°.

*：AB=BC=Wt

：.AC=NAB?+BC2=10A/2«14.1.

答：4、C两地之间的距离为14.1®!.

(2)由(1)知，AABC为等腰直角三角形,

/8AC=45。，

；./CAM=60。-45。=15。，，C港在A港北偏东15。的方向上.

25.(2019•江西)在图1,2,3中，已知口ABC。，ZABC=120°,点E为线段BC上的动点，连接AE,以

AE为边向上作菱形AEFG,且NEAG=120。.

(1)如图1,当点E与点8重合时，/CEF=°；

(2)如图2,连接AF.

①填空：ZFADNEAB(填“<“，“=”)；

②求证：点尸在/A8C的平分线上；

BC

(3)如图3,连接EG,DG,并延长OG交朋的延长线于点儿当四边形AEGH是平行四边形时，求——

AB

的值.

【解答】解：(1),・•四边形AE/G是菱形，

ZAEF=180°-ZEAG=60°f

：.ZCEF=ZAEC-ZAEF=60°,

故答案为：60°；

(2)①・・,四边形ABC。是平行四边形，

ND48=180。-NABC=60。，

•・•四边形AEFG是菱形，Z£AG=120°,

.\ZME=60°,

：.ZFAD=ZEABr

故答案为：=;

②当84V3E时，如图2,作8c于M,FMLBA交3A的延长线于N,

则/FNB=ZFM^=90°,

AZNFM=60°,又/AFE=60°,

4AFN=ZEFM,

'：EF=EA,ZFAE=60°,

...△AEF为等边三角形，

：.FA=FE,

在AAFN和AEPM中，

ZAFN=LEFM

乙FNA=乙FME,

.FA=FE

.,.△AFN丝△EFMCAAS)

:.FN=FM,又FMLBC,FNA.BA,

点尸在NABC的平分线上，

当BA=BE时，如图4,

；BA=BE,NABC=120。，

；./BAE=NBEA=30°,

；/EAG=120。，四边形AEFG为菱形,

AZEAF=60°,又EA=EF,

...△AEP为等边三角形，

AZFEA=60°,FA=FE,

则/1RW=/FEB=90°,又E4=FE,

点尸在NABC的平分线上，

当BA>BE时，同理可证，点/在NABC的平分线上,

综上所述，点尸在N48C的平分线上;

(3):四边形AEFG是菱形，Z£AG=120°,

・・・NAG尸=60。，

ZFGE=ZAGE=30°,

V四边形AEGH为平行四边形，

J.GE//AH,

：.ZGAH=ZAGE=30°,NH=NFGE=3U。,

・・・NGAN=90。，又NAGE=30。，

:・GN=2AN,

9：ZDAB=60°,N"=30。，

，NAO”=30。，

；.AD=AH=GE,

・・•四边形ABC。为平行四边形，

:.BC=AD9

：・BC=GE,

9：ZHAE=ZEAB=30°,

，平行四边形ABEN为菱形,

:・AB=AN=NE,

：.GE=3AB,

DC

26.(2019•扬州)如图，平面内的两条直线/1、12,点A,B在直线/1上，点C、。在直线/2上，过4、8

两点分别作直线/2的垂线，垂足分别为4,Bi,我们把线段481叫做线段AB在直线/2上的正投影，其

长度可记作TMB,c0或T,特别地线段AC在直线/2上的正投影就是线段4c.

(AR127v

请依据上述定义解决如下问题：

(1)如图1,在锐角ZV1BC中，AB=5,7,AC,A8>=3,则T(BC,AB>=:

(2)如图2,在RSABC中，ZACB=90°,TfAc,AB>=4,T(BC,AB)=9,求AABC的面积；

(3)如图3,在钝角A4BC中，/A=60。，点。在A2边上，ZACD=90°,4c>=2,T,BC,AB)=

6,求7(BC.CD),

图1

图2图3

【解答】解：(1)如图1中，作CHLAB.

,•*T（AC,AB）=3,

：.AH=3f

'：AB=5f

：.BH=5-3=2,

:・T（BC.AB）=BH=2,

故答案为2.

(2)如图2中，作Ca_LA8于”.

图2

,:T(AC.AB>=4,T(BC,AB)=9>

・・・A