必修第二章 全省一等奖

2.3.1平面向量基本定理第二章

§2.3平面向量的基本定理及坐标表示学习目标1.理解平面向量基本定理的内容，了解向量的一组基底的含义.2.在平面内，当一组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量.3.会应用平面向量基本定理解决有关平面向量的综合问题.问题导学达标检测题型探究内容索引问题导学知识点一平面向量基本定理思考1如果e1，e2是两个不共线的确定向量，那么与e1，e2在同一平面内的任一向量a能否用e1，e2表示？依据是什么？答案能.依据是数乘向量和平行四边形法则.思考2如果e1，e2是共线向量，那么向量a能否用e1，e2表示？为什么？答案不一定，当a与e1共线时可以表示，否则不能表示.梳理(1)平面向量基本定理：如果e1，e2是同一平面内的两个_______向量，那么对于这一平面内的

向量a，

实数λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.(2)基底：

的向量e1，e2叫做表示这一平面内

向量的一组基底.不共线任意有且只有一对不共线所有知识点二两向量的夹角与垂直思考1平面中的任意两个向量都可以平移至起点，它们存在夹角吗？若存在，向量的夹角与直线的夹角一样吗？答案存在夹角，不一样.∵△ABC为等边三角形，∴∠ABC＝60°，则∠CBD＝120°，故向量a与b的夹角为120°.非零向量∠AOB当θ＝0°时，a与b

；当θ＝180°时，a与b

.(2)垂直：如果a与b的夹角是90°，则称a与b垂直，记作a⊥b.同向反向[思考辨析判断正误]1.平面内任意两个向量都可以作为平面内所有向量的一组基底.(

)答案提示提示只有不共线的两个向量才可以作为基底.2.零向量可以作为基向量.(

)提示由于0和任意向量共线，故不可作为基向量.3.平面向量基本定理中基底的选取是唯一的.(

)提示基底的选取不是唯一的，不共线的两个向量都可作为基底.×××题型探究类型一对基底概念的理解答案解析例1

(2017·衡水高一检测)设e1，e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是

A.e1＋e2和e1－e2

B.3e1－4e2和6e1－8e2C.e1＋2e2和2e1＋e2

D.e1和e1＋e2解析选项B中，6e1－8e2＝2(3e1－4e2)，∴6e1－8e2与3e1－4e2共线，∴不能作为基底，选项A，C，D中两向量均不共线，可以作为基底.故选B.√反思与感悟

考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否非零且不共线.此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来.跟踪训练1若e1，e2是平面内的一组基底，则下列四组向量能作为平面向量的基底的是

A.e1－e2，e2－e1 B.2e1－e2，e1－

e2C.2e2－3e1，6e1－4e2 D.e1＋e2，e1＋3e2解析√解析选项A中，两个向量为相反向量，即e1－e2＝－(e2－e1)，则e1－e2，e2－e1为共线向量；选项B中，2e1－e2＝

也为共线向量；选项C中，6e1－4e2＝－2(2e2－3e1)，为共线向量.根据不共线的向量可以作为基底，只有选项D符合.答案类型二用基底表示向量解答解∵四边形ABCD是平行四边形，E，F分别是BC，DC边上的中点，解答解取CF的中点G，连接EG.∵E，G分别为BC，CF的中点，反思与感悟将不共线的向量作为基底表示其他向量的方法有两种：一种是利用向量的线性运算及法则对所求向量不断转化，直至能用基底表示为止；另一种是列向量方程组，利用基底表示向量的唯一性求解.答案解析类型三向量的夹角解答例3

已知|a|＝|b|＝2，且a与b的夹角为60°，设a＋b与a的夹角为α，a－b与a的夹角是β，求α＋β.因为|a|＝|b|＝2，所以△OAB为正三角形，所以∠OAB＝60°＝∠ABC，即a－b与a的夹角β＝60°.因为|a|＝|b|，所以平行四边形OACB为菱形，所以OC⊥AB，所以∠COA＝90°－60°＝30°，即a＋b与a的夹角α＝30°，所以α＋β＝90°.反思与感悟(1)求两个向量夹角的关键是利用平移的方法使两个向量起点重合，作两个向量的夹角，按照“一作二证三算”的步骤求出.(2)特别地，a与b的夹角为θ，λ1a与λ2b(λ1，λ2是非零常数)的夹角为θ0，当λ1λ2<0时，θ0＝180°－θ；当λ1λ2>0时，θ0＝θ.答案解析√达标检测1.给出下列三种说法：①一个平面内只有一组不共线的向量可作为表示该平面内所有向量的基底；②一个平面内有无数组不共线向量可作为表示该平面内所有向量的基底；③零向量不可作为基底中的向量.其中，说法正确的为

A.①②

B.②③

C.①③

D.①②③答案1234√52.如图所示，设O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，给出下列向量组：其中可作为该平面内所有向量的基底的是

A.①②

B.①③

C.②④

D.③④√12345答案解析3.已知向量e1，e2不共线，实数x，y满足(2x－3y)e1＋(3x－4y)e2＝6e1＋3e2，则x＝________，y＝________.答案1234解析5解析∵向量e1，e2不共线，－12－15答案解析1234512345解答1234512345因为D，E，F依次是边AB的四等分点，规律与方法1.对基底的理解(1)基底的特征基底具备两个主要特征：①基底是两个不共线向量；②基底的选择是不唯一的.平面内两向量不共线是这两个向量可以作为这个平面内所有向量的一组基底的条件.(2)零向量与