必修四.必修四

1.2.2

同角三角函数的基本关系同角三角函数基本关系问题思考1.填写下表,你能从中发现同一个角的三角函数值之间有什么关系?2.填空:同角的三角函数基本关系(1)平方关系:同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1,即sin2α+cos2α=1.3.做一做:(1)sin22019°+cos22019°=(

)A.0 B.1C.2019 D.2019°(2)若sinθ+cosθ=0,则tanθ=

.

解析(1)由平方关系知sin22

019°+cos22

019°=1.答案(1)B

(2)-14.已知sinα(cosα)的值,能否求出cosα(sinα),tanα的值?已知sinα±cosα的值,怎样求出sinαcosα的值?提示利用两种关系式的变形可以解决上述问题.5.填空:同角三角函数基本关系式的变形(1)平方关系sin2α+cos2α=1的变形①sin2α=1-cos2α;②cos2α=1-sin2α;③1=sin2α+cos2α;④(sinα+cosα)2=1+2sinαcosα;⑤(sinα-cosα)2=1-2sinαcosα.

①sinα=tanα·cosα;

思考辨析判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“√”,错误的打“×”.答案(1)×

(2)√

(3)×

(4)√

(5)×

(6)×

(7)×

(8)√探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析利用同角三角函数关系求值角度1

已知某个三角函数值,求其余三角函数值分析已知角的正弦值或余弦值,求其他三角函数值,应先判断三角函数值的符号,然后根据平方关系求出该角的正弦值或余弦值,再利用商数关系求解该角的正切值即可.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤第一步:由已知三角函数的符号,确定其角终边所在的象限;第二步:依据角的终边所在象限分类讨论;第三步:利用同角三角函数关系及其变形公式,求出其余三角函数值.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度2

已知tan

α,求关于sin

α和cos

α齐次式的值【例2】

已知tanα=2,则分析在这里,注意到所求式子都是关于sin

α、cos

α的分式齐次式(或可化为分式齐次式),将其分子、分母同除以cos

α的整数次幂,就把所求值的式子用tan

α表示,将tan

α=2整体代入,就能快速求其值.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析解析(1)注意到分式的分子和分母均是关于sin

α,cos

α的一次齐次式,可将分子分母同除以cos

α(∵cos

α≠0),然后整体代入tan

α=2的值.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析已知tan

α,求关于sin

α和cos

α齐次式的值的基本方法已知角α的正切值,求由sin

α和cos

α构成的齐次式(次数相同).探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度3

利用sin

α+cos

α,sin

α-cos

α与sin

αcos

α三者之间的关系求值探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析1.由(sin

α+cos

α)2=1+2sin

αcos

α,(sin

α-cos

α)2=1-2sin

αcos

α可知如果已知sin

α+cos

α,sin

α-cos

α,sin

αcos

α三个式子中任何一个的值,那么就可以利用平方关系求出其余的两个.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析2.sin

θ±cos

θ的符号的判定方法:(1)sin

θ-cos

θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=x上时,sin

θ=cos

θ,即sin

θ-cos

θ=0;当θ的终边落在直线y=x的上半平面区域内时,sin

θ>cos

θ,即sin

θ-cos

θ>0;当θ的终边落在直线y=x的下半平面区域内时,sin

θ<cos

θ,即sin

θ-cos

θ<0.如图①所示.

(2)sin

θ+cos

θ的符号的判定方法:由三角函数的定义知,当θ的终边落在直线y=-x上时,sin

θ=-cos

θ,即sin

θ+cos

θ=0;当θ的终边落在直线y=-x的上半平面区域内时,sin

θ>-cos

θ,即sin

θ+cos

θ>0;当θ的终边落在直线y=-x的下半平面区域内时,sin

θ<-cos

θ,即sin

θ+cos

θ<0.如图②所示.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析利用同角三角函数关系化简【例4】

化简下列各式:分析(1)对分子利用诱导公式一化简,对分母利用平方关系的变形化简;(2)先对被开方式通分化简,再化简根式.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析三角函数式的化简过程中常用的方法(1)化切为弦,即把非正弦、非余弦的函数都化成正弦、余弦函数,从而减少函数名称,达到化简的目的.(2)对于含有根号的,常把根号下式子化成完全平方式,去根号,达到化简的目的.(3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造sin2α+cos2α=1,以降低函数次数,达到化简的目的.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析(3)①原式=(cos2α+sin2α)(cos4α-cos2αsin2α+sin4α)+3sin2αcos2α=cos4α+2sin2αcos2α+sin4α=(sin2α+cos2α)2=1.②因为180°<α<270°,所以sin

α<0,探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析利用同角三角函数关系证明恒等式角度1

一般恒等式的证明探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析三角恒等式的证明方法非常多,其主要方法有:(1)从左向右推导或从右向左推导,一般由繁到简;(2)左右归一,即证明左右两边都等于同一个式子;(3)化异为同法,即针对题设与结论间的差异,有针对性地变形,以消除差异;探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析角度2

给出限制条件的恒等式证明问题【例6】

已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.分析切化弦→利用sin2θ+cos2θ=1将余弦转化为正弦→整理得证探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析含有条件的三角恒等式的证明的基本方法同前面,但应注意条件的利用,常用方法有:①直推法:从条件直推到结论;②代入法:将条件代入到结论中,转化为三角恒等式的证明;③换元法.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析【案例】

(开放探究题)从已知条件sinθ+cosθ=,且θ∈(0,π)可以得到以下结论:(1)

;

(2)

;

(3)

.

探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析对于此类结论开放型试题,在解题的过程中需明确方向,然后顺着这个方向进行,在此过程中充分运用各种关系进行衍生,显然本题的求解方向为同角三角函数之间的关系,更为重要的是,本题中所运用的恒等式如下:(sin

θ+cos

θ)2=1+2sin

θcos

θ;(sin

θ-cos

θ)2=1-2sin

θcos

θ;(sin

θ+cos

θ)2+(sin

θ-cos

θ)2=2;(sin

θ-cos

θ)2=(sin

θ+cos

θ)2-4sin

θcos

θ.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析忽视角的取值范围致误

以上解题过程及结果错在什么地方?你发现了吗?如何避免这类错误?提示错解中没有注意到角α∈(0,π),从而可推出sin

α>0,cos

α<0,因此解是唯一的.探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析探究一探究二探究三核心素养提升思维辨析在利用sin

θ±cos

θ,sin

θcos

θ之间的关系解题时,往往易忽略角的取值范围造成增根或丢根,在已知sin

θcos

θ的值求sin

θ+cos

θ或sin

θ-cos

θ的值时,需开方,因此要由角的范围确定取“+”还是“-”.12345答案B12345答案C12345答案C12345答案sinα123455.求证:2(1-sinα)(1+cosα)=(1-sinα+cosα)2.证法一左边=2-2sin

α+2cos

α-2sin

αcos

α=1+sin2α+cos2α-2sin

αcos

α+2(cos

α-sin

α)=1+2(cos

α-sin

α)+(cos

α-sin

α)2=(1-sin

α+cos

α)2=右边.所以原式成立.证法二左边=2-2sin

α+2cos

α-2sin

αcos

α,右边=1+