工程流体力学 第2版 项目5 流体动力学基础

流体动力学是研究流体在外力作用下的运动规律，即研究流体动力学物理量和运动学物理量之间的关系的科学。任务2粘性流体的运动微分方程任务3理想流体的能量方程任务4实际流体的伯努利方程项目5流体动力学基础任务1理想流体运动微分方程任务6恒定流的动量矩方程任务5恒定流的动量方程

离奇撞船

【案例导入】1912年秋，“奥林匹克”号——当时世界上最大的远洋货轮之一与比它小得多的铁甲巡洋舰“哈克”号几乎平行地高速行驶着。忽然，“哈克”号好像中了“魔”——调转船头，猛然朝“奥林匹克”号直冲而去。更匪夷所思的是，在这千钧一发之际，舵手无论怎样操纵都没有用，大家只好眼睁睁地看着它将“奥林匹克”号的船舷撞出一个大洞。那么，是什么原因造成了这些离奇的船祸呢？任务1理想流体运动微分方程

欧拉运动方程

关于欧拉方程的讨论

葛罗米柯方程一、

理想流体运动微分方程（欧拉方程）的建立dxabcda’b’dydzc’d’xyzoC

运用牛顿第二定律，对理想流体建立运动方程，描述动压强、质量力和流速之间的关系。

压强p,流速(ux,uy.uz),质量力(X,Y,Z)

作用于六面体微元沿y方向的表面力的合力为六面体

流体微团(系统)中心点C

作用于六面体微元沿y

方向的质量力为dxabcda’b’dydzc’d’xyzoC

根据牛顿第二定律，y方向运动方程为

作用于六面体微元沿y

方向的惯性力为时变

惯性力位变

惯性力质量力压差力矢量形式欧拉方程

同理，可得x、z方向运动方程二、关于欧拉方程的讨论（1）欧拉方程既适用于绝对运动，也适用于相对运动。但对于相对运动，质量力还应包括惯性力，而流体的速度则应采取相对速度。至此，我们可明确流体相对平衡的真正含义，即相对于参考坐标系的全加速度为零。（2）欧拉方程（5.5）与

一起，构成不可压缩理想流体的欧拉方程组。因为

是已知的，未知变量（p和u）的数目恰好等于方程数目。结合初始条件和边界条件，方程组有确定的解。

该方程又称葛罗米柯方程，其优点是针对某些特殊流场容易推导出解析解。矢量形式迁移加速度的x分量可写成同理三、葛罗米柯方程一、粘性流体微团运动微分方程任务2粘性流体的运动微分方程流体微团运动微分方程可表示为：粘性流体微元六面体二、牛顿流体的本构方程（1）基本假设（a）应力与变形速率成线性关系。（b）应力与变形速率的关系各向同性。（c）静止流场中，切应力为零，各正应力均等于静压强。流体力学中，称单位时间的应变为变形速率（2）牛顿流体本构方程在粘性流体中对于不可压缩流体，应用连续性方程

，上式可写成N-S方程这就是不可压缩粘性流体的运动微分方程，通常称为著名的纳斯—斯托克斯方程，简称N-S方程N-S方程矢量形式时变

惯性力位变

惯性力质量力压差力粘性力拉普拉斯算子

流体静止时，只受质量力、压差力的作用，运动方程简化为平衡方程例

任务3理想流体的能量方程沿流线的伯努利定理重力场中理想流体的伯努利方程伯努利方程的能量意义和几何意义

上式左边可改写为：质量力有势，势函数W，即质量力有势，势函数W，即一、沿流线的伯努利定理右边后三项为不可压缩流体，密度为常数最终原等式可写成则右边前三项是力势函数W

的全微分或

在理想流体的恒定流动中，同一流线上各点的

值是一个常数。其中W

是力势函数，

是不可压缩流体的密度。从推导过程看，积分是在流线上进行的，所以不同的流线可以有各自的积分常数，将它记作C，称为伯努利常数。伯努利积分积分C：伯努利常数

结论

（1）无旋流，即=0；（2）

沿着涡线，即

垂直于

；（3）螺旋流，流场处处满足=0，即

与

同向，流线与涡线重合；（4）流体静止，即=0。伯努利定理表明，有势力场作用下常密度理想流体的恒定流中单位质量流体的机械能沿着流线守恒。物理意义适用范围前提条件质量力有势流动恒定

这就是重力场中理想流体的伯努利方程，又称能量方程伯努利积分可写为或对同一流线上任意两点1

和2

利用伯努利积分，即有12zuo伯努利方程o流线二、重力场中理想流体的伯努利方程位置水头压强水头测压管水头速度水头总水头三、伯努利方程的能量意义和几何意义在符合推导伯努利方程的限制条件下，沿流线（或微小流束）单位重量流体的机械能（位能、压能和动能）可以相互转化，但总和不变。****************能量意义

几何意义

伯努利方程在流线上成立，也可认为在元流上成立，所以伯努利方程也就是理想流体恒定元流的能量方程。

伯努利方程是能量守恒原理在流体力学中的具体体现，故被称为能量方程。

总机械能不变，并不是各部分能量都保持不变。三种形式的能量可以各有消长，相互转换，但总量不会增减。

伯努利方程可理解为：元流的任意两个过流断面的单位总机械能相等。由于是恒定流，通过元流各过流断面的质量流量相同，所以在单位时间里通过各过流断面的总机械能（即能量流量）也相等。*********************************************************************************几何意义

将各项水头沿程变化的情况几何表示出来。水头线测压管水头线总水头线位置水头线oo水平基准线理想流体恒定元流的总水头线是水平的。一、元流的伯努利方程元流中（即流线上）单位重力流体在两个断面之间的流程上损失的机械能，称元流的水头损失，以

表示，它具有长度量纲。********************************任务4实际流体的伯努利方程三个条件（1）常密度流体的恒定流动（2）质量力仅含重力****************（3）断面1-1和2-2是同一元流的两个断面

实际流体元流的水头线水头线

注意到

、两点的任意性，可得到结论：均匀流的同一过流断面上各点的测管水头

等值，动压强剖面特性与静压强相同。对于流线近似平行的渐变流，该结论近似成立。***************************

二、恒定总流的能量方程代入积分均匀流中柱体受力平衡（1）均匀流测管水头的剖面特性***************************（2）总流能量的断面积分元流的任意两断面满足总流平均单位重量流体流过截面1、2的能量守恒关系式（2）总流能量的断面积分为了推导方便，用W表示单位时间内通过总流断面A的流体具有的机械能，即能量守恒关系式在断面上积分，得到（3）势能的断面积分势能积分

与断面分布有关。假定两个断面均满足均匀流或渐变流条件。利用=常数的特性，容易把势能断面积分写成（4）动能积分动能修正系数动能积分可简洁地表示成（5）水头损失积分

（6）恒定总流的能量方程实际流体恒定总流能量方程称它为总流伯努利方程。若定义总流的断面平均总能头

应用条件（1）常密度流体的恒定流动，质量力只含重力；（2）两个过流断面符合均匀流或渐变流的条件（断面之间容许有急变流）；（3）两断面间的总流段上除了水头损失外，无其他机械能的输入或输出；（4）两断面间的总流段上没有质量的输入或输出，即总流的流量沿程不变。在管道里沿流线装设迎着流动方向开口的直角弯管（如图所示），可以用来测量管道中流体的总压，这种装置称为总压管。总压管与测压管连接，可以测量某点的速度。皮托管是总压管与测压管的组合，其测量原理为沿流线的伯努里方程。三、总流能量方程的应用举例恒定总流能量方程表明三种机械能相互转化和总机械能守恒的规律，由此可根据具体流动的边界条件求解实际总流问题。%%%%%%%%%%%%皮托管/毕托管皮托管测速%%%%%%%%%*******

文丘里流量计是装在管路中用来测量流量的常用仪器，由一段渐缩管、一段渐扩管以及它们之间的喉管组成，如图所示。@@@@

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（2）文丘里流量计文丘里管

1－1为收缩前过流截面，2－2为喉部截面，都为缓变流截面，两截面处分别开测压孔并与U形管连接。取0－0为基准面，暂忽略阻力损失，列1-1和2-2断面的伯努利方程：

移项得

由3-3平面为U形管中工作液体的等压面，可得：

因截面1、2为缓变流，故可得由连续性方程得流过管路的流量为修正集流器是风机试验中常用的测量流量的装置，如图所示。该装置前面为一圆弧形或圆锥形入口，在集流器后的直管段上沿四周均匀安装四个静压孔，并把它们连到U形管差压计上，读出压差，即可计算流量。

（3）集流器

【解】以集流器轴心线为基准，对截面1－1和2－2列伯努里方程，忽略损失若考虑损失，速度应乘以一个集流器系数

四、有能量输入或输出的能量方程

水泵轴功率风机的轴功率水轮机的轴功率P称为水轮机出力。设H表示单位重量水体给予水轮机的能量，

表示水轮机的效率。轴功率的算式为

水泵排水【解】因截面1－2间有能量输入，取截面1为基准

例5-4

下图为一轴流风机。已测得进口相对压强

，出口相对压强

。设截面1－2间压强损失

，求风机的全压P（为风机输送给单位体积气体的能量）。风机通风总流能量方程应写成五、质量的输入或输出的能量方程***********当两个过流断面之间的总流段存在质量的输入或输出时，可采用流道分割法转化成简单流道。例如，图（a）所示分叉管道，以流面

为界面，可分成上、下两个分流道（I）和（II）。分流道各自满足总流的流量沿程不变的条件，故方程（5.44）可以直接应用于分流道。连续方程和总流能量方程应写成（a）（b）六、大气浮力对气流的作用的能量方程***********

虹吸管***********如图所示液体由管道从较高液位的一端经过高出液面的管段自动流向较低液位的另一端，这种作用称为虹吸作用，这样的管道称为虹吸管。虹吸管下面用伯努里方程分析虹吸管中的流速、流量和3－3截面的真空度。（1）以2－2为基准面，对1－1和2－2截面列伯努里方程流量为：（2）以1－1为基准面，对1－1和3－3截面列伯努里方程真空度为：例5-5

下图所示虹吸管从水池引水至B点，基准面过虹吸管进口断面的中心A点。C点为虹吸管最高点所在位置，

。B点为虹吸管出口断面的中心，

。若不计水头损失，试求C点的压能和动能。虹吸管【解】根据式（5.44），不计水头损失时总流段1-2的能量方程为C点的动能：由断面1-1与C断面之间的能量方程C点的压能单位时间里通过总流过流断面的动量——动量通量

控制体：上游过流断面A1和下游过流断面A2之间的一段总流管

一.恒定总流动量方程的推导A2u1u2A1dA1dA2任务5恒定流的动量方程单位时间一段总流管内流体动量的增加单位时间净流入这段总流管的动量这段总流管内流体所受合力===按照欧拉观点表述总流动量守恒定律A1A2u1u2V恒定条件下为零dA1dA20单位时间净流入这段总流管的动量这段总流管内流体所受合力==表述恒定总流动量守恒定律A1A2u1u2移项这段总流管内流体所受合力单位时间净流出这段总流管的动量dA1dA2

断面平均流速v的定义是：过流断面的体积流量除断面面积：流量意义上的平均

在渐变流条件下，将过流断面上动量通量的积分结果用断面平均流速v表达。*********把渐变流过流断面上动量通量的表达一维化

渐变流的流线是平行直线，过流断面为平面图形，断面上各点流速u的方向一致，均为断面法向n，而其大小u一般不均匀。渐变流断面平均流速目的

定义v的大小为v，方向为断面法向n，即u的方向。用v代替u，用v

代替u，设：大于1.0的数，其大小取决于断面上的流速分布。在一般的渐变流中的值为1.02-1.05.为简单起见，也常采用=1.0动量修正系数*********把渐变流过流断面上动量通量的表达一维化*****办法

上游水流作用于断面A1上的动水压力P1，下游水流作用于断面A2上的动水压力P2，重力G和总流侧壁边界对这段水流的总作用力R’。其中只有重力是质量力，其它都是表面力。一维化的恒定总流动量方程或GA1A2P1P2R’v1v2*************

水流对侧壁的作用力R是R’的反作用力恒定总流动量方程建立了流出与流进控制体的动量流量之差与控制体内流体所受外力之间的关系，避开了这段流动内部的细节。对于有些水力学问题，能量损失事先难以确定，用动量方程来进行分析常常是方便的。恒定总流动量方程是矢量方程，实际使用时一般都要写成分量形式二、求解恒定总流问题的几点说明（1）动量方程描述的是流体的动量变化和导致这种变化的作用力之间的关系，因而对分析流体机械和管道受力十分有用。（2）控制体的选取可以包括管道，也可不包括管道，而只限于内部的流体，区别在于计算侧面的表面力时不同。当不包括管道时，控制体侧面的表面力就是管道内壁对流体作用的总力。因任何物体均受大气压的作用，且大气压的作用自动平衡（相互抵消），所以计算这类问题时，流体的压强只需用相对压强即可。（3）动量方程中的

表示所选定的控制体所受的合外力，即诸质量力和表面力的合力。应用动量方程时，尤其要注意方程中的力指的是作用于流体上的力（外力），而流体作用于管道设备上的力则是其反力。（4）在应用动量方程分析实际问题时，通常都采用其分量形式，因而首先要建立合适的坐标系，然后按方向逐一列出动量方程，当未知量较多时，通常要联合应用连续性方程。

支撑弯管【解】由连续方程

可得：对1-1和2-2两个过流截面列伯努利方程可得：分别列出x、y方向的动量方程：再利用连续性方程

，则有：弯管对控制体内水流作用力的合力F大小为

（1）喷嘴与水管接头处所受拉力；（2）若水流冲入煤壁后，沿已开切口均匀向四周分开，则水流沿轴线方向对煤壁的冲击力为多少。不及阻力损失。水枪落煤设在接头处（即1-1截面）喷嘴对控制体内流体的作用力为F，由于重力与x轴垂直，对于x方向由连续性方程可得：以轴心线为基准，对1-1、2-2截面列伯努利方程，得：

平板射流列出x和y方向的动量方程：根据已知条件和连续性方程：将其他已知条件带入，可以求得：射流对平板的作用力

，方向向右。动量方程适用于运动的流体与固体壁面间的相互作用力，而在实际应用中还会遇到需要计算运动的流体与固体壁面间的相互作用力矩，这时应用动量矩定理更加方便。将流体系统的动量和作用力对转轴取矩可得到关于系统的动量矩方程，再用输运公式将其转化为关于控制体的形式。控制体形式的动量矩方程是求解流体旋转机械如风扇、离心泵、涡轮机、压缩机等流动问题的基本公式，控制体可以是固定的（惯性参考系），也可以是与转轴一起旋转的（非惯性参考系）。任务6恒定流的动量矩方程一、恒定流的动量矩方程固定不变形的控制体的流体动量矩方程设流体动量矩的空间分布量，即单位体积流体元对坐标原点的动量矩为（1）定常流动动量矩方程

若用

和

分别表示力矩矢量

和速度矩矢量

在x、y、z方向的分量，则动量矩方程在x、y、z方向的分量式分别为对于定常流动，动量矩随体导数中的当地项为零，只有迁移项。动量矩方程为当流体绕一固定轴旋转时常将由转轴产生的力矩

单独列出，称为轴矩，即

将动量矩方程应用于定轴旋转的流体机械时，在一般情况下，流体的重力和表面力对转轴的力矩与轴矩相比可以忽略不计，而且在正常运行时流动可视为定常的，因此式可简化为上式称为定轴匀速旋转流场的动量矩方程，常用于涡轮机械。（2）定轴旋转流场的动量矩方程下面应用动量矩方程导出叶轮机械（如离心式水泵和风机）的基本方程，下图为涡轮机转子示意图。二、欧拉涡轮机方程叶轮控制体称为欧拉涡轮方程单位时间内叶轮对流体所做的功（即功率）为

单位重量流体自