传感器原理及工程应用课件

第1章傳感與檢測技術的理論基礎1.1測量概論

1.2測量數據的估計和處理1.1測量概論1.1.1測量測量是以確定被測量的值或獲取測量結果為目的的一系列操作。所以,測量也就是將被測量與同種性質的標準量進行比較，確定被測量對標準量的倍數。它可由下式表示：(1-1)(1-2)式中：x——被測量值；

u——標準量，即測量單位；

n——比值（純數），含有測量誤差。由測量所獲得的被測量的量值叫測量結果，測量結果可用一定的數值表示，也可以用一條曲線或某種圖形表示，但無論其表現形式如何，測量結果應包括比值和測量單位。測量結果僅僅是被測量的最佳估計值，並非真值，所以還應給出測量結果的品質，即測量結果的可信程度。這個可信程度用測量不確定度表示，測量不確定度表徵測量值的分散程度。因此測量結果的完整表述應包括估計值、測量單位及測量不確定度。

被測量值和比值等都是測量過程的資訊，這些資訊依託於物質才能在空間和時間上進行傳遞。被測量作用到實際物體上，使其某些參數發生變化，參數承載了資訊而成為信號。選擇其中適當的參數作為測量信號，例如熱電偶溫度感測器的工作參數是熱電偶的電勢，差壓流量感測器中的孔板工作參數是差壓Δp。測量過程就是感測器從被測對象獲取被測量的資訊，建立起測量信號，經過變換、傳輸、處理，從而獲得被測量量值的過程。1.1.2測量方法實現被測量與標準量比較得出比值的方法，稱為測量方法。針對不同測量任務，進行具體分析，找出切實可行的測量方法，對測量工作是十分重要的。對於測量方法，從不同角度，有不同的分類方法。根據獲得測量值的方法可分為直接測量、間接測量和組合測量；根據測量方式可分為偏差式測量、零位式測量與微差式測量；根據測量條件不同可分為等精度測量與不等精度測量；根據被測量變化快慢可分為靜態測量與動態測量；根據測量敏感元件是否與被測介質接觸可分為接觸式測量與非接觸式測量；根據測量系統是否向被測對象施加能量可分為主動式測量與被動式測量等。

1.直接測量、間接測量與組合測量在使用儀錶或感測器進行測量時，測得值直接與標準量進行比較，不需要經過任何運算，直接得到被測量的數值，這種測量方法稱為直接測量。被測量與測得值之間關係可用下式表示：y=x(1-3)式中：y——被測量的值；

x——直接測得值。

例如，用磁電式電流錶測量電路的某一支路電流，用彈簧管壓力錶測量壓力等，都屬於直接測量。直接測量的優點是測量過程簡單而又迅速，缺點是測量精度不容易達到很高。在使用儀錶或感測器進行測量時，首先對與被測量有確定函數關係的幾個量進行直接測量，將直接測得值代入函數關係式，經過計算得到所需要的結果，這種測量稱為間接測量。間接測量與直接測量不同，被測量y是一個測得值x或幾個測得值x1，x2，…，xn的函數，即y=f(x)或y=f(x1,x2,…,xn)(1-4)(1-5)

被測量y不能直接測量求得，必須有測得值x或xi（i=1，2，…，n）及與被測量y的函數關係確定。如直接測量電壓值U和電阻值R，根據式P=U2/R求電功率P即為間接測量的實例。間接測量手續較多，花費時間較長，一般用在直接測量不方便，或者缺乏直接測量手段的場合。若被測量必須經過求解聯立方程組求得，如有若干個被測量y1，y2，…，ym，直接測得值為x1,x2,…,xn,把被測量與測得值之間的函數關係列成方程組，即(1-6)方程組中方程的個數n要大於被測量y的個數m，用最小二乘法求出被測量的數值，這種測量方法稱為組合測量。組合測量是一種特殊的精密測量方法，操作手續複雜，花費時間長，多適用於科學實驗或特殊場合。

2.偏差式測量、零位式測量與微差式測量用儀錶指針的位移（即偏差）決定被測量的量值，這種測量方法稱為偏差式測量。應用這種方法測量時，儀錶刻度事先用標準器具分度。在測量時，輸入被測量按照儀錶指針在尺規上的示值，決定被測量的數值。偏差式測量,其測量過程簡單、迅速，但測量結果的精度較低。用指零儀錶的零位反映測量系統的平衡狀態，在測量系統平衡時，用已知的標準量決定被測量的量值，這種測量方法稱為零位式測量。在零位測量時，已知標準量直接與被測量相比較，已知標準量應連續可調，指零儀錶指零時，被測量與已知標準量相等。例如天平測量物體的品質、電位差計測量電壓等都屬於零位式測量。零位式測量的優點是可以獲得比較高的測量精度，但測量過程比較複雜，費時較長，不適用於測量變化迅速的信號。

微差式測量是綜合了偏差式測量與零位式測量的優點而提出的一種測量方法。它將被測量與已知的標準量相比較，取得差值後，再用偏差法測得此差值。應用這種方法測量時，不需要調整標準量，而只需測量兩者的差值。設：N為標準量，x為被測量，Δ為二者之差，則x=N+Δ。由於N是標準量，其誤差很小，且ΔN，因此可選用高靈敏度的偏差式儀錶測量Δ，即使測量Δ的精度不高，但因Δx，故總的測量精度仍很高。微差式測量的優點是反應快，而且測量精度高，特別適用於線上控制參數的測量。3.等精度測量與不等精度測量在整個測量過程中，若影響和決定誤差大小的全部因素（條件）始終保持不變，如由同一個測量者，用同一臺儀器，用同樣的方法，在同樣的環境條件下，對同一被測量進行多次重複測量，稱為等精度測量。在實際中，極難做到影響和決定誤差大小的全部因素（條件）始終保持不變，所以一般情況下只是近似認為是等精度測量。有時在科學研究或高精度測量中，往往在不同的測量條件下，用不同精度的儀錶，不同的測量方法，不同的測量次數以及不同的測量者進行測量和對比，這種測量稱為不等精度測量。

4.靜態測量與動態測量

被測量在測量過程中認為是固定不變的，對這種被測量進行的測量稱為靜態測量。靜態測量不需要考慮時間因素對測量的影響。若被測量在測量過程中是隨時間不斷變化的，對這種被測量進行的測量稱為動態測量。1.1.3測量系統

1.測量系統構成

測量系統應具有對被測對象的特徵量進行檢測、傳輸、處理及顯示等功能，一個測量系統是感測器、變送器（變換器）和其他變換裝置等的有機組合。圖1-1表示測量系統組成結構框圖。圖1-1測量系統組成框圖

感測器是感受被測量（物理量、化學量、生物量等）的大小，並輸出相對應的可用輸出信號（一般多為電量）的器件或裝置。變送器將感測器輸出的信號變換成便於傳輸和處理的信號，大多數變送器的輸出信號是統一的標準信號（目前多為4～20mA直流電流），信號標準是系統各環節之間的通信協議。當測量系統的幾個功能環節獨立地分隔開時，必須由一個地方向另一個地方傳輸信號，傳輸環節就是完成這種傳輸功能的。傳輸通道將測量系統各環節間的輸入、輸出信號連接起來，通常用電纜連接，或用光導纖維連接，以用來傳輸數據。

信號處理環節將感測器輸出信號進行處理和變換。如對信號進行放大、運算、線性化、數—模或模—數轉換，使其輸出信號便於顯示、記錄。這種信號處理環節可用於自動控制系統，也可與電腦系統連接，以便對測量信號進行資訊處理。顯示裝置是將被測量資訊變成人的感官能接受的形式，以完成監視、控制或分析的目的。測量結果可以採用模擬顯示，也可採用數字顯示或圖形顯示，也可以由記錄裝置進行自動記錄或由印表機將數據列印出來。

2.開環測量系統與閉環測量系統（1）開環測量系統開環測量系統全部資訊變換只沿著一個方向進行，如圖1-2所示。其中x為輸入量，y為輸出量，k1、k2、k3為各個環節的傳遞係數。輸入輸出關係表示如下：y=k1k2k3x

因為開環測量系統是由多個環節串聯而成的，因此系統的相對誤差等於各環節相對誤差之和。即(1-7)(1-8)式中，δ——系統的相對誤差；

δi——各環節的相對誤差。採用開環方式構成的測量系統，結構較簡單，但各環節特性的變化都會造成測量誤差。圖1-2開環測量系統框圖

（2）閉環測量系統閉環測量系統有兩個通道，一為正向通道，一為回饋通道，其結構如圖1-3所示。其中Δx為正向通道的輸入量，β為回饋環節的傳遞係數，正向通道的總傳遞係數k=k1k2。由圖1-3可知：當k>>1時，則(1-9)系統的輸入輸出關係為(1-10)

顯然，這時整個系統的輸入輸出關係由回饋環節的特性決定，放大器等環節特性的變化不會造成測量誤差，或者說造成的誤差很小。圖1-3閉環測量系統框圖1.1.4測量誤差

測量誤差是測得值減去被測量的真值。由於真值往往不知道，因此測量的目的是希望通過測量獲取被測量的真實值。但由於種種原因，例如，感測器本身性能不十分優良，測量方法不十分完善，外界干擾的影響等，造成被測量的測得值與真實值不一致，因而測量中總是存在誤差。由於真值未知，所以在實際中，有時用約定真值代替真值，常用某量的多次測量結果來確定約定真值；或用精度高的儀器示值代替約定真值。

在工程技術及科學研究中，對被測量進行測量時，測量的可靠性至關重要，不同場合對測量結果可靠性的要求也不同。例如，在量值傳遞、經濟核算、產品檢驗場合應保證測量結果有足夠的準確度。當測量值用作控制信號時，則要注意測量的穩定性和可靠性。因此，測量結果的準確程度，應與測量的目的與要求相聯系，相適應，那種不惜工本，不顧場合，一味追求越准越好的作法是不可取的，要有技術與經濟兼顧的意識。

1.測量誤差的表示方法

測量誤差的表示方法有多種，含義各異。（1）絕對誤差絕對誤差可用下式定義：Δ=x-L式中:Δ——絕對誤差；x——測量值；L——真值。絕對誤差是有正、負並有量綱的。(1-11)

在實際測量中，有時要用到修正值，修正值是與絕對誤差大小相等、符號相反的值，即c=-Δ(1-12)式中，c為修正值，通常用高一等級的測量標準或標準儀器獲得修正值。利用修正值可對測量值進行修正，從而得到準確的實際值,修正後的實際測量值x′為x′=x+c

(1-13)修正值給出的方式，可以是具體的數值，也可以是一條曲線或公式。

採用絕對誤差表示測量誤差，不能很好說明測量品質的好壞。例如，在溫度測量時，絕對誤差Δ=1℃，對體溫測量來說是不允許的，而對鋼水溫度測量來說是極好的測量結果，所以用相對誤差可以比較客觀地反映測量的準確性。（2）實際相對誤差實際相對誤差的定義由下式給出：(1-14)式中：δ——實際相對誤差，一般用百分數給出；

Δ——絕對誤差；

L——真值。由於被測量的真值L無法知道，實際測量時用測量值x代替真值L進行計算，這個相對誤差稱為標稱相對誤差，即(1-15)

（3）引用誤差引用誤差是儀錶中通用的一種誤差表示方法。它是相對於儀錶滿量程的一種誤差，又稱滿量程相對誤差，一般也用百分數表示。即式中：γ——引用誤差；

Δ——絕對誤差。儀錶精度等級是根據最大引用誤差來確定的。例如，0.5級表的引用誤差的最大值不超過±0.5%；1.0級表的引用誤差的最大值不超過±1%。在儀錶和感測器使用時，經常會遇到基本誤差和附加誤差兩個概念。(1-16)

（4）基本誤差基本誤差是指感測器或儀錶在規定的標準條件下所具有的誤差。例如，某感測器是在電源電壓(220±5)V、電網頻率(50±2)Hz、環境溫度(20±5)℃、濕度65%±5%的條件下標定的。如果感測器在這個條件下工作，則感測器所具有的誤差為基本誤差。儀錶的精度等級就是由基本誤差決定的。（5）附加誤差附加誤差是指感測器或儀錶的使用條件偏離額定條件下出現的誤差。例如，溫度附加誤差、頻率附加誤差、電源電壓波動附加誤差等。2.測量誤差的性質根據測量數據中的誤差所呈現的規律及產生的原因可將其分為系統誤差、隨機誤差和粗大誤差。（1）隨機誤差在同一測量條件下，多次測量被測量時，其絕對值和符號以不可預定方式變化著的誤差稱為隨機誤差。在我國新制訂的國家計量技術規範JJF1001-1998《通用計量術語及定義》中，對隨機誤差的定義是根據國際標準化組織（ISO）等七個國際組織制訂的《測量不確定度表示指南》定義的，即隨機誤差是將測量結果與在重複性條件下，對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值之差。重複性條件包括：相同的測量程式，相同的觀測者，在相同的條件下使用相同的測量儀器，相同的地點，在短時間內重複測量。隨機誤差可用下式表示：(1-17)式中：xi——被測量的某一個測量值；

x∞——重複性條件下無限多次的測量值的平均值，即(n→∞)

由於重複測量實際上只能測量有限次，因此實用中的隨機誤差只是一個近似估計值。對於隨機誤差不能用簡單的修正值來修正，當測量次數足夠多時，隨機誤差就整體而言，服從一定的統計規律，通過對測量數據的統計處理可以計算隨機誤差出現的可能性的大小。

（2）系統誤差在同一測量條件下，多次測量被測量時，絕對值和符號保持不變，或在條件改變時，按一定規律（如線性、多項式、週期性等函數規律）變化的誤差稱為系統誤差。前者為恒值系統誤差，後者為變值系統誤差。在我國新制訂的國家計量技術規範JJF1001-1998《通用計量術語及定義》中，對系統誤差的定義是，在重複性條件下對同一被測量進行無限多次測量所得結果的平均值與被測量的真值之差。它可用下式表示：系統誤差=x∞-L

式中,L為被測量的真值。

因為真值不能通過測量獲知，所以通過有限次測量的平均值x與L的約定真值近似地得出系統誤差，稱之為系統誤差的估計，得出的系統誤差可對測量結果進行修正，但由於系統誤差不能完全獲知，因此通過修正值對系統誤差只能有限程度地補償。引起系統誤差的原因複雜，如測量方法不完善，零點未調整，採用近似的計算公式，測量者的經驗不足等等。對於系統誤差，首先要查找誤差根源，並設法減小和消除，而對於無法消除的恒值系統誤差，可以在測量結果中加以修正。

（3）粗大誤差超出在規定條件下預期的誤差稱為粗大誤差，粗大誤差又稱疏忽誤差。這類誤差的發生是由於測量者疏忽大意，測錯、讀錯或環境條件的突然變化等引起的。含有粗大誤差的測量值明顯地歪曲了客觀現象，故含有粗大誤差的測量值稱為壞值或異常值。在數據處理時，要採用的測量值不應該包含有粗大誤差，即所有的壞值都應當剔除。所以進行誤差分析時，要估計的誤差只有系統誤差和隨機誤差兩類。1.2測量數據的估計和處理1.2.1隨機誤差的統計處理

1.正態分佈多次等精度地重複測量同一量值時，得到一系列不同的測量值，即使剔除了壞值，並採取措施消除了系統誤差，然而每個測量值數據各異，可以肯定每個測量值還會含有誤差。這些誤差的出現沒有確定的規律，具有隨機性，所以稱為隨機誤差。隨機誤差的分佈規律，可以在大量測量數據的基礎上總結出來，就誤差的總體來說是服從統計規律的。由於大多數隨機誤差服從正態分佈，因而正態分佈理論就成為研究隨機誤差的基礎。

隨機誤差一般具有以下幾個性質：①絕對值相等的正誤差與負誤差出現的次數大致相等，誤差所具有的這個特性稱為對稱性。②在一定測量條件下的有限測量值中，其隨機誤差的絕對值不會超過一定的界限，這一特性稱為有界性。③絕對值小的誤差出現的次數比絕對值大的誤差出現的次數多，這一特性稱為單峰性。④對同一量值進行多次測量，其誤差的算術平均值隨著測量次數n的增加趨向於零，這一特性稱為誤差的抵償性。

抵償性是由第一個特性推導出來的,因為絕對值相等的正誤差與負誤差之和可以互相抵消。對於有限次測量，隨機誤差的平均值是一個有限小的量，而當測量次數無限增多時，它趨向於零。抵償性是隨機誤差的一個重要特徵，凡是具有抵償性的，原則上都可以按隨機誤差來處理。設對某一被測量進行多次重複測量，得到一系列的測量值為xi，設被測量的真值為L，則測量列中的隨機誤差δi為δi=xi-L

i=1,2,…,n(1-19)正態分佈的概率分佈密度f(δ)為(1-20)

正態分佈的分佈密度曲線如圖1-4所示，即為一條鐘形的曲線，稱為正態分佈曲線，其中L、σ（σ>0）是正態分佈的兩個參數。從圖中還可以看到，曲線在L±σ（或±σ）處有兩個拐點。圖1-4正態分佈曲線

2.隨機誤差的數字特徵

(1)算術平均值x

正態分佈是以x=L為對稱軸，它是正態總體的平均值。由於在測量過程中，不可避免地存在隨機誤差，因此我們無法求得測量的真值。但如隨機誤差服從正態分佈，算術平均值處隨機誤差的概率密度最大，即算術平均值與被測量的真值最為接近，隨著測量次數增加，算術平均值越趨近於真值。如果對某一量進行無限多次測量，就可以得到不受隨機誤差影響的值，或其影響甚微，可以忽略。由於實際上是有限次測量，因而有限次直接測量中算術平均值是諸測量值中最可信賴的，把它作為等精度多次測量的結果，即被測量的最佳估計值。

對被測量進行等精度的n次測量，得n個測量值x1,x2,…,xn，它們的算術平均值為(1-21)

由於被測量的真值為未知，不能按式（1-19）求得隨機誤差，這時可用算術平均值代替被測量的真值進行計算，則有式中,vi為xi的殘餘誤差（簡稱殘差）。(1-22)

（2）標準偏差σ

標準偏差簡稱為標準差，又稱均方根誤差。標準差σ刻劃總體的分散程度，圖1-5給出了L相同，σ不同（σ=0.5，σ=1，σ=1.5）的正態分佈曲線，σ值愈大，曲線愈平坦，即隨機變數的分散性愈大；反之，愈小，曲線愈尖銳（集中），隨機變數的分散性愈小。標準差σ由下式算得:(1-23)圖1-5不同σ的正態分佈曲線σ是在當測量次數趨於無窮時得到的，它是正態總體的平均值，稱為理論標準差或總體標準差。但在實際測量中不可能得到，因為被測量是在重複性條件下進行有限次測量，用算術平均值代替真值，此時表徵測量值（隨機誤差）分散性的量用標準差的估計值σs表示，它是評定單次測量值不可靠性的指標，由貝塞爾公式計算得到，即(1-24)

式中：xi——第i次測量值；

x——n次測量值的算術平均值；

vi——

殘餘誤差，即vi=xi-x。標準差的估計值σs也可用代號s表示。標準差的估計值又稱為樣本標準差，它是作為總體標準差σ的估計值，但並不是σ的無偏估計，而樣本方差σ2s才是總體方差σ2的無偏估計。標準差的估計值是方差的正平方根，具有與xi相同的量綱。

若對被測量進行m組的“多次重複測量”，若這些測量值已消除了系統誤差，只存在隨機誤差，各組所得的算術平均值x1,x2,…,xm各不相同，也是隨機變數，它們分佈在期望值附近，但比測量值靠近於期望值，隨著測量次數的增多，平均值將收斂於期望值。算術平均值的可靠性指標用算術平均值的標準差σx來評定，它與標準差的估計值σs的關係如下：(1-25)

由上式可見，在測量條件一定的情況下，算術平均值的標準差σx隨著測量次數n的增加而減小，算術平均值愈接近期望值。圖1-6所示為σx/σs比值與n的關係曲線。從圖中可見，當n增加到一定次數（例如10次）以後，σx的減小就變得緩慢，所以不能單靠無限地增加測量次數來提高測量精度。實際上測量次數愈多，愈難保證測量條件的穩定，從而帶來新的誤差。所以在一般精密測量中，重複性條件下測量的次數n大多少於10，此時如要進一步提高測量精度，則應採取其他措施（如提高儀器精度，改進測量方法，改善環境條件等）來解決。圖1-6σx/σs

與n的關係曲線

3.正態分佈隨機誤差的概率計算如隨機變數符合正態分佈，它出現的概率就是正態分佈曲線下所包圍的面積。因為全部隨機變數出現的總的概率為1，所以曲線所包圍的面積應等於1，即隨機變數落在任意區間（a，b）的概率為式中,Pa為置信概率。

σ是正態分佈的特徵參數，區間通常表示成σ的倍數，如kσ。由於隨機變數分佈對稱性的特點，常取對稱的區間，即在±kσ區間的概率為式中:k——置信係數；

±kσ——置信區間(誤差限)。表1-1正態分佈的k值及其相應的概率

隨機變數落在±kσ範圍內出現的概率為Pa，則超出的概率稱為置信度，又稱為顯著性水準，用α表示α=1-Pa

（1-27）圖1-7Pa與α關係

從表1-1可知，當k=1時，Pa=0.6827，即測量結果中隨機誤差出現在-σ～+σ範圍內的概率為68.27%,而|v|>σ的概率為31.73%。出現在-3σ～+3σ範圍內的概率是99.73%,因此可以認為絕對值大於3σ的誤差是不可能出現的，通常把這個誤差稱為極限誤差δlim，即極限誤差δlim=±3σ。【例1-1】對某一溫度進行10次精密測量，測量數據如表1-2所示，設這些測得值已消除系統誤差和粗大誤差，求測量結果。表1-2測量數據解：算術平均值標準差的估計值算術平均值的標準差測量結果可表示為或

按照上面分析，測量結果可用算術平均值表示，因為算術平均值是被測量的最佳估計值，在測量結果中還應包括測量不確定度。

4.不等精度直接測量的權與誤差前面講述的內容是等精度測量的問題。嚴格地說，絕對的等精度測量是很難保證的，但對條件差別不大的測量，一般都當作等精度測量對待，某些條件的變化，如測量時溫度的波動等，只作為誤差來考慮。但有時在科學研究或高精度測量中，為了獲得足夠的資訊，有意改變測量條件，比如不同的地點、用不同精度的儀錶，或是用不同的測量方法等進行測量，這樣的測量屬於不等精度測量。對於不等精度的測量，測量數據的分析和綜合不能套用前面等精度測量的數據處理的計算公式，需推導出新的計算公式。

（1）“權”的概念在等精度測量中，即多次重複測量得到的各個測得值具有相同的精度，可用同一個標準偏差σ值來表徵，或者說各個測得值具有相同的可信程度，並取所有測量值的算術平均值作為測量結果。在不等精度測量時，對同一被測量進行m組獨立無系統誤差及無粗大誤差的測量，得到m組測量列（進行多次測量的一組數據稱為一測量列）的測量結果及其誤差，由於各組測量條件不同，各組的測量結果及誤差不能同等看待，即各組測量結果的可靠程度不一樣。測量精度高（即標準差小）的測量列具有較高的可靠性。為了衡量這種可靠性和可信賴程度，引進“權”的概念。

“權”可理解為各組測量結果相對的可信賴程度。測量次數多，測量方法完善，測量儀錶精度高，測量的環境條件好，測量人員的水準高，則測量結果可靠，其權也大。權是相比較而存在的。權用符號p表示，有兩種計算方法：①用各組測量列的測量次數n的比值表示p1∶p2∶….∶pm=n1∶n2∶…..∶nm

(1-28)②用各組測量列的標準差平方的倒數的比值表示

從式（1-29）可看出：每組測量結果的權與其相應的標準差平方成反比。如果已知各組算術平均值的標準差，即可確定回應權的大小。測量結果權的數值只表示各組間的相對可靠程度，它是一個無量綱的數。通常在計算各組權時，令最小的權數為“1”，以便用簡單的數值來表示各組的權。(1-29)

（2）加權算術平均值xp

在等精度測量時，測量結果的最佳估計值用算術平均值表示;而在不等精度測量時，測量結果的最佳估計值用加權算術平均值表示。加權算術平均值不同於一般的算術平均值，它是各組測量列的全體平均值，不僅要考慮各測得值，而且還要考慮各組權。若對同一被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量列的算術平均值 ，相應各組的權分別為p1,p2,….,pm，則加權平均值可用下式表示：（1-30）

（3）加權算術平均值的標準差用加權算術平均值作為不等精度測量結果的最佳估計值時，其精度由加權算術平均值的標準差來表示。對同一個被測量進行m組不等精度測量，得到m個測量結果 ，則加權算術平均值xp的標準差可由下式計算:(1-31)【例1-2】用三種不同的方法測量某電感量，三種方法測得的各平均值與標準差為求電感的加權算術平均值及其加權算術平均值的標準差。解：令p3=1，則加權算術平均值為加權算術平均值的標準差為1.2.2系統誤差的通用處理方法

1.從誤差根源上消除系統誤差

由於系統誤差的特殊性，在處理方法上與隨機誤差完全不同。主要是如何有效地找出系統誤差的根源，並減小或消除。查找誤差根源的關鍵，就是要對測量設備、測量對象和測量系統作全面分析，明確其中有無產生明顯系統誤差的因素，並採取相應措施予以修正或消除。由於具體條件不同，在分析查找誤差根源時，並沒有一成不變的方法，這與測量者的經驗、水準以及測量技術的發展密切相關。通常，我們可以從以下幾個方面進行分析考慮。①所用感測器，測量儀錶或組成元件是否準確可靠。比如感測器或儀錶靈敏度不足，儀錶刻度不准確，變換器、放大器等性能不太優良等都會引起誤差，而且是常見的誤差。②測量方法是否完善，如用電壓表測量電壓，電壓表的內阻對測量結果有影響。③感測器儀錶安裝、調整或放置是否正確合理。例如，未調好儀錶水準位置，安裝時儀錶指針偏心等都會引起誤差。④感測器或儀錶工作場所的環境條件是否符合規定條件。例如，環境、溫度、濕度、氣壓等的變化也會引起誤差。⑤測量者操作是否正確。例如，讀數時視差、視力疲勞等都會引起系統誤差。

2.系統誤差的發現與判別

發現系統誤差一般比較困難，下麵只介紹幾種發現系統誤差的一般方法。（1）實驗對比法這種方法是通過改變產生系統誤差的條件從而進行不同條件的測量，來發現系統誤差的。這種方法適用於發現固定的系統誤差。例如，一臺測量儀錶本身存在固定的系統誤差，即使進行多次測量也不能發現，只有用更高一級精度的測量儀錶測量時，才能發現這臺測量儀錶的系統誤差。

（2）殘餘誤差觀察法這種方法是根據測量值的殘餘誤差的大小和符號的變化規律，直接由誤差數據或誤差曲線圖形來判斷有無變化的系統誤差。把殘餘誤差按照測量值先後順序作圖，如圖1-8所示。圖(a)殘餘誤差有規律地遞增(或遞減)，表明存在線性變化的系統誤差；圖(b)中殘餘誤差大小和符號大體呈週期性，可以認為有週期性系統誤差；圖(c)殘餘誤差變化規律較複雜，懷疑同時存在線性系統誤差和週期性系統誤差。圖1-8殘餘誤差變化規律

（3）準則檢查法目前已有多種準則供人們檢驗測量數據中是否含有系統誤差。不過這些準則都有一定適用範圍。如馬利科夫判據將殘餘誤差前後各半分為兩組，若“∑vi前”與“∑vi後”之差明顯不為零，則可能含有線性系統誤差。阿貝檢驗法是檢查殘餘誤差是否偏離正態分佈，若偏離，則可能存在變化的系統誤差。將測量值的殘餘誤差按測量順序排列,且設 A=v21+v22+…+v2n

B=(v1-v2)2+(v2-v3)2+…+(vn-1-vn)2+(vn-v1)2若則可能含有變化的系統誤差，但類型不能判定。

3.系統誤差的消除（1）在測量結果中進行修正對於已知的恒值系統誤差，可以用修正值對測量結果進行修正；對於變值系統誤差，設法找出誤差的變化規律，用修正公式或修正曲線對測量結果進行修正；對未知系統誤差，則按隨機誤差進行處理。（2）消除系統誤差的根源在測量之前，仔細檢查儀表，正確調整和安裝；防止外界干擾影響；選好觀測位置消除視差；選擇環境條件比較穩定時進行讀數等。（3）在測量系統中採用補償措施找出系統誤差規律在測量過程中自動消除系統誤差。如用熱電偶測量溫度時，熱電偶參考端溫度變化會引起系統誤差，消除此誤差的辦法之一是在熱電偶回路中加一個冷端補償器，從而實現自動補償。

（4）即時回饋修正由於自動化測量技術及微機的應用，可用即時回饋修正的辦法來消除複雜的變化系統誤差。當查明某種誤差因素的變化對測量結果有明顯的複雜影響時，應盡可能找出其影響測量結果的函數關係或近似的函數關係。在測量過程中，用感測器將這些誤差因素的變化，轉換成某種物理量形式（一般為電量），及時按照其函數關係，通過電腦算出影響測量結果的誤差值，並對測量結果作即時的自動修正。1.2.3粗大誤差

1.3σ準則前面已講到，通常把等於3σ的誤差稱為極限誤差，對於正態分佈的隨機誤差，落在±3σ

以外的概率只有0.27%，它在有限次測量中發生的可能性很小。3σ準則就是如果一組測量數據中某個測量值的殘餘誤差的絕對值|vi|>3σ時，則該測量值為可疑值（壞值），應剔除。

3σ準則又稱萊以達準則。3σ準則是最常用也是最簡單的判別粗大誤差的準則，它應用於測量次數充分多的情況。

2.肖維勒準則

肖維勒準則是以正態分佈為前提的，假設多次重複測量所得的n個測量值中，某個測量值的殘餘誤差|vi|>Zcσ,則剔除此數據。實用中Zc<3，所以在一定程度上彌補了3σ準則的不足。肖維勒準則中的Zc值見表1-3。表1-3肖維勒準則中的Zc值3.格拉布斯準則格拉布斯準則也是以正態分佈為前提的，理論上較嚴謹，使用也較方便。某個測量值的殘餘誤差的絕對值|vi|＞Gσ，則判斷此值中含有粗大誤差，應予剔除，此即格拉布斯準則。G值與重複測量次數n和置信概率Pa有關，見表1-4。表1-4格拉布斯準則中的G值

以上準則是以數據按正態分佈為前提的，當偏離正態分佈，特別是測量次數很少時，判斷的可靠性就差。因此，對待粗大誤差，除用剔除準則外，更重要的是要提高工作人員的技術水準和工作責任心。另外，要保證測量條件的穩定，以防止因環境條件劇烈變化而產生的突變影響。

【例1-3】對某一電壓進行12次等精度測量，測量值如表1-5所示，若這些測量值已消除系統誤差，試判斷有無粗大誤差，並寫出測量結果。解：①求算術平均值及標準差:表1–5測量值②判斷有無粗大誤差。由於本例中測量次數比較少，不採用3σ準則判斷粗大誤差。這裏採用格拉布斯準則,已知測量次數n=12，取置信概率Pa=0.95,查表1-4,得格拉布斯係數G=2.28。Gσs=2.28×0.032=0.073<|v6|故U6應剔除,剔除後重新計算算術平均值和標準差。再次判斷粗大誤差，查表1-4得格拉布斯係數G=2.23。

Gσs2=2.23×0.0145=0.032所有vi2均小於Gσs2,故其他11個測量值中無壞值。③計算算術平均值的標準差④最後測量結果可表示為

Pa=99.73%1.2.4測量數據處理中的幾個問題

1.間接測量中的測量數據處理

前面主要是針對直接測量的誤差分析，在直接測量中，測量誤差就是直接測得值的誤差。而對於間接測量，是通過直接測得值與被測量之間的函數關係，經過計算得到被測量的，所以間接測量的誤差則是各個直接測得值誤差的函數。

一個測量系統或一個感測器都是由若干部分組成的，設各環節分別為x1,x2,…,xn，系統總的輸入輸出之間的函數關係為y=f(x1,x2,…,xn)，而各部分又都存在誤差，也會影響測量系統或感測器總的誤差，這類誤差的分析也可歸納到間接測量的誤差分析。在間接測量中，已知各直接測得值的誤差（或局部誤差），求總的誤差，即誤差的合成（也稱誤差的綜合）；反之，確定了總的誤差後，各環節（或各部分）具有多大誤差才能保證總的誤差值不超過規定值，這叫做誤差的分配。在感測器和測量系統的設計時經常用到誤差的分配。下麵介紹誤差的合成。

（1）絕對誤差和相對誤差的合成如被測量為y，設各直接測得值x1,x2,…,xn之間相互獨立，則與被測量y之間函數關係為y=f(x1,x2,…,xn)

各測得值的絕對誤差分別為Δx1,Δx2,….,Δxn,因為誤差一般均很小，其誤差可用微分來表示，則被測量y的誤差可表示為(1-32)

實際計算誤差時，以各環節的絕對誤差Δx1,Δx2,…,Δxn來代替上式中的dx1,dx2,…,dxn，即(1-33)式中，Δy為綜合後總的絕對誤差。如測得值與被測量的函數關係為y=x1+x2+…+xn，則綜合絕對誤差Δy=Δx1+Δx2+…+Δxn如被測量y的綜合誤差用相對誤差表示，則

但當誤差項數較多時，相對誤差的合成一般情況下按方和根合成比較符合統計值，即式中，

（2）標準差的合成設被測量y與各直接測得值x1,x2,…,xn之間的函數關係為y=f(x1,x2,…,xn)，各測得值的標準差分別為σ１，σ２，…，σn，當各測得值相互獨立時，被測量y的標準差為(1-34)【例1-4】

用手動平衡電橋測量電阻Rx（如圖1-9所示）。已知R1=100Ω，R2=1000Ω，RN=100Ω，各橋臂電阻的恒值系統誤差分別為ΔR1=0.1Ω，ΔR2=0.5Ω，ΔRN=0.1Ω。求消除恒值系統誤差後的Rx值。圖1-9測量電阻Rx的平衡電橋原理線路圖

解：被測電阻Rx變化時，調節可變電阻RN的大小，使檢流計指零，電橋平衡，此時有

R1·RN=R2·Rx

即不考慮R1、R2、RN的系統誤差時，有

由於R1、R2、RN存在誤差，因此測量電阻RN也將產生系統誤差，利用式（1-33）可得消除ΔR1、ΔR2、ΔRN的影響，即修正後的電阻Rx應為Rx=Rx0-ΔRx=10-0.015=9.985Ω

2.最小二乘法的應用最小二乘法原理是一數學原理，要獲得最可信賴的測量結果，應使各測量值的殘餘誤差平方和為最小，這就是最小二乘法原理。可用算術平均值作為多次測量的結果，因為它們符合最小二乘法原理。最小二乘法作為一種數據處理手段，在組合測量的數據處理、實驗曲線的擬合及在其他多種學科方面，均獲得了廣泛的應用。下麵以組合測量為例說明最小二乘法原理及基本運算。設有線性函數方程組為(1-35)式中:X1,X2,…,Xm——被測量；

Y1,Y2,…,Yn——直接測得值。

由於在測量中不可避免會引入誤差，所求得的結果必然會帶有一定的誤差，為了減小隨機誤差的影響，測量次數n大於所求未知數個數m（n>m），顯然，用一般的代數方法無法求解，而只有採用最小二乘法來求解。根據最小二乘法原理，在直接測得值有誤差的情況下，欲求被測量最可信賴的值，應使殘餘誤差的平方之和為最小，即

若x1,x2,…,xm是被測量X1,X2,…,Xm最可信賴的值，又稱最佳估計值，則相應的估計值亦有下列函數關係:(1-36)

設l1，l2，…，ln為帶有誤差的實際直接測得值，它們與相應的估計值y1,y2,…,yn之間的偏差即為殘餘誤差，殘餘誤差方程組為(1-37)

按最小二乘法原理，要得到可信賴的結果x1,x2,…,xm，上述方程組的殘餘誤差平方和為最小。根據求極值條件，應使(1-38)將上述偏微分方程式整理，最後可寫成(1-39)式(1-39）即為重複性測量的線性函數最小二乘估計的正規方程。式中

正規方程是一個m元線性方程組，當其係數行列式不為零時，有唯一確定的解，由此可解得欲求被測量的估計值x1,x2,…,xm,即為符合最小二乘原理的最佳解。線性函數的最小二乘法處理應用矩陣這一工具進行討論有許多便利之處。將誤差方程（式1-37）用下列的矩陣表示：(1-40)式中，係數矩陣為被測量估計值矩陣為直接測得值矩陣為殘餘誤差矩陣為殘餘誤差平方和最小這一條件的矩陣形式為即V′V=最小或將上述線性函數的正規方程式（1-39）用殘餘誤差表示，可改寫成(1-41)寫成矩陣形式為即A′V=0(1-42)由式（1-40）有（1-43）式（1-43）即為最小二乘估計的矩陣解。【例1-5】銅電阻的電阻值R與溫度t之間關係為Rt=R0(1+αt)，在不同溫度下，測得銅電阻的電阻值如下表所示。試估計0℃時的銅電阻的電阻值R0和銅電阻的電阻溫度係數α。解：列出誤差方程式中,rti為溫度ti下測得的銅電阻電阻值。令x=r0,y=αr0,則誤差方程可寫為76.3-(x+19.1y)=v177.8-(x+25.0y)=v2

79.75-(x+30.1y)=v3

80.80-(x+36.0y)=v4

82.35-(x+40.0y)=v583.9-(x+45.1y)=v6

85.10-(x+50.0y)=v7

按式（1-39），其正規方程為於是有將各值代入上式，得到7x+245.3y=566245.3x+9325.38y=20044.5解得x=70.8Ωy=0.288Ω/℃即r0=70.8Ω用矩陣求解，則有所以

3.用經驗公式擬合實驗數據——回歸分析

在工程實踐和科學實驗中，經常遇到對於一批實驗數據，需要把它們進一步整理成曲線圖或經驗公式。用經驗公式擬合實驗數據，工程上把這種方法稱為回歸分析。回歸分析就是應用數理統計的方法，對實驗數據進行分析和處理，從而得出反映變數間相互關係的經驗公式，也稱回歸方程。當經驗公式為線性函數時，例如y=b0+b1x1+b2x2+…+bnxn

(1-44)稱這種回歸分析為線性回歸分析，它在工程中應用價值較高。線上性回歸分析中，當獨立變數只有一個時，即函數關係為y=b0+bx

這種回歸稱為一元線性回歸，這就是工程上和科研中常遇到的直線擬合問題。設有n對測量數據(xi,yi)，用一元線性回歸方程擬合，則根據測量數據值，實際上只要求出方程中係數b0、b的最佳估計值，一元線性回歸方程也就確定了。求取一元線性回歸方程中係數b0、b的值，最常用的方法是利用最小二乘法原理，即應使各測量數據點與回歸直線的偏差平方和為最小，見圖1-10。圖1-10用最小二乘法求回歸直線誤差方程組為(1-46)式中： 分別為在x1,x2,…,xn點上y的估計值。

用最小二乘法求係數b0、b同上，這裏不再敘述。在求經驗公式時，有時用圖解法分析顯得更方便、直觀，將測量數據值（xi,yi）繪製在座標紙上(稱之為散點圖)，把這些測量點直接連接起來，根據曲線（包括直線）的形狀、特徵以及變化趨勢，可以設法給出它們的數學模型（即經驗公式）。這不僅可把一條形象化的曲線與各種分析方法聯繫起來，而且還在相當程度上擴展了原有曲線的應用範圍。1.2.5測量不確定度測量的目的是確定被測量的值或獲取測量結果，測量結果的完整表述應包括估計值、測量單位及測量不確定度。眾所周知，沒有測量單位的數據不能表徵被測量的大小，沒有測量不確定度的測量結果不能評定測量的品質，從而失去或削弱了測量結果的可用性和可比性。不確定度這個術語雖然在測量領域已廣泛使用，但表示方法各不相同。為此，早在1978年國際計量大會(CIPM)責成國際計量局(BIPM)協同各國的國家計量標準局制定一個表述不確定度的指導檔。1993年，以國際標準化組織(ISO)等7個國際組織的名義制定了一個指導性的檔，即《測量不確定度表示指南》（GUM）。

為此，國際上有了一致的普遍承認的表徵測量結果品質的概念。我國於1999年頒佈了適合我國國情的《測量不確定度評定與表示》的技術規範(JJF1059-1999)，其內容原則上採用了《測量不確定度表示指南》的基本方法，以利於國際間的交流與合作，與國際接軌。測量不確定度定義為表徵合理賦予被測量之值的分散性，與測量結果相聯系的參數。從詞義上理解，測量不確定度意味著對測量結果的可靠性和有效性的懷疑程度或不能肯定的程度。

測量不確定度可用標準差u(即前面的σ)表示，用標準差表示的測量不確定度稱為標準不確定度。一般測量不確定度包括若干個分量，將這些分量合成後的不確定度稱為合成標準不確定度，用uc表示。對正態分佈而言，合成標準不確定度的置信概率只有68%。在一些重要的測量中，要求給出較高的置信概率，需採用擴展不確定度U，它是合成不確定度的倍數，即U=kuc。測量不確定度是一個與測量結果聯繫在一起的參數。在測量結果的完整表示中，應有測量值的估計值y和測量不確定度U，即y±U。

評定不確定度實際上是對測量結果的品質進行評定。不確定度按其評定方法可分為A類評定和B類評定。A類評定是用統計方法進行評定。即對某被測量進行等精度的獨立的多次重複測量，得到一系列的測得值。A類評定通常以算術平均值x作為被測量的估計值，以x的標準差σx作為測量結果的A類標準不確定度uA。B類評定用非統計分析方法，它不是由一系列的測得值確定，而是利用影響測得值分佈變化的有關資訊和資料進行分析，並對測量值進行概率分佈估計和分佈假設的科學評定，得到B類標準不確定度uB。B類評定在不確定度評定中佔有重要地位，因為有時不確定度無法用統計方法來評定，或者可用統計法，但不經濟可行,所以B類評定在實際工作中應用很多。2.1感測器的組成和分類

感測器是能感受規定的被測量並按照一定的規律轉換成可用輸出信號的器件或裝置。在有些學科領域，感測器又稱為敏感元件、檢測器、轉換器等。這些不同提法，反映了在不同的技術領域中，只是根據器件用途對同一類型的器件使用著不同的技術術語而已。如在電子技術領域，常把能感受信號的電子元件稱為敏感元件，如熱敏元件、磁敏元件、光敏元件及氣敏元件等，在超聲波技術中則強調的是能量的轉換，如壓電式換能器等。這些提法在含義上有些狹窄，因此感測器一詞是使用最為廣泛而概括的用語。

感測器輸出信號通常是電量，它便於傳輸、轉換、處理、顯示等。電量有很多形式，如電壓、電流、電容、電阻等，輸出信號的形式由感測器的原理確定。通常，感測器由敏感元件和轉換元件組成（如圖2-1所示）。其中，敏感元件是指感測器中能直接感受或回應被測量的部分；轉換元件是指感測器中能將敏感元件感受或回應的被測量轉換成適於傳輸或測量的電信號部分。由於感測器輸出信號一般都很微弱，需要有信號調理與轉換電路，進行放大、運算調製等，此外信號調理轉換電路以及感測器的工作必須有輔助的電源，因此信號調理轉換電路以及所需的電源都應作為感測器組成的一部分。隨著半導體器件與集成技術在感測器中的應用，感測器的信號調理轉換電路與敏感元件一起集成在同一晶片上，安裝在感測器的殼體裏。圖2-1感測器組成方框圖

感測器技術是一門知識密集型技術。感測器的原理有各種各樣，它與許多學科有關，其種類十分繁多，分類方法也很多，但目前一般採用兩種分類方法：一種是按被測參數分類，如溫度、壓力、位移、速度等；另一種是按感測器的工作原理分類，如應變式、電容式、壓電式、磁電式等。本書是按後一種分類方法來介紹各種感測器的，而感測器的工程應用則是根據工程參數進行敘述的。對於初學者和應用感測器的工程技術人員來說，先從工作原理出發，瞭解各種各樣感測器，而對工程上的被測參數，應著重於如何合理選擇和使用感測器。2.2感測器的基本特性2.2.1感測器的靜態特性感測器的靜態特性是指被測量的值處於穩定狀態時的輸出與輸入的關係。如果被測量是一個不隨時間變化，或隨時間變化緩慢的量，可以只考慮其靜態特性，這時感測器的輸入量與輸出量之間在數值上一般具有一定的對應關係，關係式中不含有時間變數。對靜態特性而言，感測器的輸入量x與輸出量y之間的關係通常可用一個如下的多項式表示：y=a0+a1x+a2x2+…+anxn

式中：a0——輸入量x為零時的輸出量；

a1，a2，…，an——非線性項係數。各項係數決定了特性曲線的具體形式。感測器的靜態特性可以用一組性能指標來描述，如靈敏度、遲滯、線性度、重複性和漂移等。

1.靈敏度靈敏度是感測器靜態特性的一個重要指標。其定義是輸出量增量Δy與引起輸出量增量Δy的相應輸入量增量Δx之比。用S表示靈敏度，即它表示單位輸入量的變化所引起感測器輸出量的變化，很顯然，靈敏度S值越大，表示感測器越靈敏。（2-2）圖2-2感測器的靈敏度

2.線性度感測器的線性度是指感測器的輸出與輸入之間數量關係的線性程度。輸出與輸入關係可分為線性特性和非線性特性。從感測器的性能看，希望具有線性關係，即理想輸入輸出關係。但實際遇到的感測器大多為非線性（如圖2-3所示）。在實際使用中，為了標定和數據處理的方便，希望得到線性關係，因此引入各種非線性補償環節，如採用非線性補償電路或電腦軟體進行線性化處理，從而使感測器的輸出與輸入關係為線性或接近線性，但如果感測器非線性的方次不高，輸入量變化範圍較小時，可用一條直線（切線或割線）近似地代表實際曲線的一段，使感測器輸入輸出特性線性化，所採用的直線稱為擬合直線。圖2-3線性度

感測器的線性度是指在全量程範圍內實際特性曲線與擬合直線之間的最大偏差值ΔLmax與滿量程輸出值YFS之比。線性度也稱為非線性誤差，用γL表示，即式中：ΔLmax——最大非線性絕對誤差；

YFS——滿量程輸出值。圖2-4幾種直線擬合方法(a)理論擬合；(b)過零旋轉擬合；(c)端點連線擬合；(d)端點平移擬合

3.遲滯感測器在輸入量由小到大（正行程）及輸入量由大到小（反行程）變化期間其輸入輸出特性曲線不重合的現象稱為遲滯(如圖2-5所示)。也就是說，對於同一大小的輸入信號，感測器的正反行程輸出信號大小不相等，這個差值稱為遲滯差值。感測器在全量程範圍內最大的遲滯差值ΔHmax與滿量程輸出值YFS之比稱為遲滯誤差，用γH表示，即（2-4）

產生這種現象的主要原因是由於感測器敏感元件材料的物理性質和機械另部件的缺陷所造成的，例如彈性敏感元件彈性滯後、運動部件摩擦、傳動機構的間隙、緊固件鬆動等。遲滯誤差又稱為回差或變差。圖2-5遲滯特性

4.重複性

重複性是指感測器在輸入量按同一方向作全量程連續多次變化時，所得特性曲線不一致的程度（見圖2-6）。重複性誤差屬於隨機誤差，常用標準差σ計算，也可用正反行程中最大重複差值ΔRmax計算，即（2-5）或（2-6）圖2-6重複性

5.漂移感測器的漂移是指在輸入量不變的情況下，感測器輸出量隨著時間變化，此現象稱為漂移。產生漂移的原因有兩個方面：一是感測器自身結構參數；二是周圍環境（如溫度、濕度等）。最常見的漂移是溫度漂移，即周圍環境溫度變化而引起輸出的變化，溫度漂移主要表現為溫度零點漂移和溫度靈敏度漂移。溫度漂移通常用感測器工作環境溫度偏離標準環境溫度（一般為20℃）時的輸出值的變化量與溫度變化量之比(ξ)來表示，即(2-7)

式中：Δt——工作環境溫度t偏離標準環境溫度t20之差，即Δt=t-t20；

yt——感測器在環境溫度t時的輸出；

y20——感測器在環境溫度t20時的輸出。2.2.2感測器的動態特性感測器的動態特性是指輸入量隨時間變化時感測器的回應特性。由於感測器的慣性和滯後，當被測量隨時間變化時，感測器的輸出往往來不及達到平衡狀態，處於動態過渡過程之中，所以感測器的輸出量也是時間的函數，其間的關係要用動態特性來表示。一個動態特性好的感測器，其輸出將再現輸入量的變化規律，即具有相同的時間函數。實際的感測器，輸出信號將不會與輸入信號具有相同的時間函數,這種輸出與輸入間的差異就是所謂的動態誤差。

為了說明感測器的動態特性，下麵簡要介紹動態測溫的問題。當被測溫度隨時間變化或感測器突然插入被測介質中，以及感測器以掃描方式測量某溫度場的溫度分佈等情況時，都存在動態測溫問題。如把一支熱電偶從溫度為t0℃環境中迅速插入一個溫度為t1℃的恒溫水槽中（插入時間忽略不計），這時熱電偶測量的介質溫度從t0突然上升到t1，而熱電偶反映出來的溫度從t0℃變化到t1℃需要經歷一段時間，即有一段過渡過程，如圖2-7所示。熱電偶反映出來的溫度與其介質溫度的差值就稱為動態誤差。

造成熱電偶輸出波形失真和產生動態誤差的原因，是溫度感測器有熱慣性（由感測器的比熱容和品質大小決定）和傳熱熱阻，使得在動態測溫時感測器輸出總是滯後於被測介質的溫度變化。如帶有套管熱電偶其熱慣性要比裸熱電偶大得多。這種熱慣性是熱電偶固有的，它決定了熱電偶測量快速變化的溫度時會產生動態誤差。影響動態特性的“固有因素”任何感測器都有，只不過它們的表現形式和作用程度不同而已。圖2-7動態測溫

1.感測器的基本動態特性方程感測器的種類和形式很多，但它們的動態特性一般都可以用下述的微分方程來描述：（2-8）式中，a0、a1、…,an,b0、b1、….,bm是與感測器的結構特性有關的常係數。1）零階系統在方程式（2-8）中的係數除了a0、b0之外，其他的係數均為零，則微分方程就變成簡單的代數方程，即a0y(t)=b0x(t)通常將該代數方程寫成y(t)=kx(t)式中，k=b0/a0為感測器的靜態靈敏度或放大係數。感測器的動態特性用方程式（2-9）來描述的就稱為零階系統。

零階系統具有理想的動態特性，無論被測量x(t)如何隨時間變化，零階系統的輸出都不會失真，其輸出在時間上也無任何滯後，所以零階系統又稱為比例系統。在工程應用中，電位器式的電阻感測器、變面積式的電容感測器及利用靜態式壓力感測器測量液位均可看作零階系統。2）一階系統若在方程式（2-8）中的係數除了a0、a1與b0之外，其他的係數均為零，則微分方程為上式通常改寫成為(2-10)

式中：τ——感測器的時間常數，τ=a1/a0；

k——感測器的靜態靈敏度或放大係數，k=b0/a0。時間常數τ具有時間的量綱，它反映感測器的慣性的大小，靜態靈敏度則說明其靜態特性。用方程式（2-10）描述其動態特性的感測器就稱為一階系統，一階系統又稱為慣性系統。如前面提到的不帶套管熱電偶測溫系統、電路中常用的阻容濾波器等均可看作為一階系統。3）二階系統二階系統的微分方程為二階系統的微分方程通常改寫為式中：k——感測器的靜態靈敏度或放大係數，k=b0/a0；

ξ——感測器的阻尼係數，

ωn——感測器的固有頻率，

根據二階微分方程特徵方程根的性質不同，二階系統又可分為：①二階慣性系統：其特點是特徵方程的根為兩個負實根，它相當於兩個一階系統串聯。②二階振盪系統：其特點是特徵方程的根為一對帶負實部的共軛複根。帶有套管的熱電偶、電磁式的動圈儀錶及RLC振盪電路等均可看作為二階系統。

2.感測器的動態回應特性感測器的動態特性不僅與感測器的“固有因素”有關，還與感測器輸入量的變化形式有關。也就是說，同一個感測器在不同形式的輸入信號作用下，輸出量的變化是不同的，通常選用幾種典型的輸入信號作為標準輸入信號，研究感測器的回應特性。

1）瞬態回應特性

感測器的瞬態回應是時間回應。在研究感測器的動態特性時，有時需要從時域中對感測器的回應和過渡過程進行分析，這種分析方法稱為時域分析法。感測器在進行時域分析時，用得比較多的標準輸入信號有階躍信號和脈衝信號，感測器的輸出瞬態回應分別稱為階躍回應和脈衝回應。(1)一階感測器的單位階躍回應一階感測器的微分方程為設感測器的靜態靈敏度k=1，寫出它的傳遞函數為對初始狀態為零的感測器，若輸入一個單位階躍信號，即t≤0t>0輸入信號x(t)的拉氏變換為一階感測器的單位階躍回應拉氏變換式為(2-13)對式(2-13)進行拉氏反變換，可得一階感測器的單位階躍回應信號為(2-14)

相應的回應曲線如圖2-8所示。由圖可見，感測器存在慣性，它的輸出不能立即複現輸入信號，而是從零開始，按指數規律上升，最終達到穩態值。理論上感測器的回應只在t趨於無窮大時才達到穩態值，但通常認為t=（3～4）τ時，如當t=4τ時其輸出就可達到穩態值的98.2%，可以認為已達到穩態。所以，一階感測器的時間常數τ越小，回應越快，回應曲線越接近於輸入階躍曲線，即動態誤差小。因此，τ值是一階感測器重要的性能參數。圖2-8一階感測器單位階躍回應(2）二階感測器的單位階躍回應二階感測器的微分方程為設感測器的靜態靈敏度k=1，其二階感測器的傳遞函數為(2-15)感測器輸出的拉氏變換為(2-16)

圖2-9二階感測器單位階躍回應

圖2-9為二階感測器的單位階躍回應曲線，二階感測器對階躍信號的回應在很大程度上取決於阻尼比ξ和固有角頻率ωn。ξ=0時，特徵根為一對虛根，階躍回應是一個等幅振盪過程，這種等幅振盪狀態又稱為無阻尼狀態；ξ>1時，特徵根為兩個不同的負實根，階躍回應是一個不振盪的衰減過程，這種狀態又稱為過阻尼狀態；ξ=1時，特徵根為兩個相同的負實根，階躍回應也是一個不振盪的衰減過程，但是它是一個由不振盪衰減到振盪衰減的臨界過程，故又稱為臨界阻尼狀態；0<ξ<1時，特徵根為一對共軛複根，階躍回應是一個衰減振盪過程，在這一過程中ξ值不同，衰減快慢也不同，這種衰減振盪狀態又稱為欠阻尼狀態。

阻尼比ξ直接影響超調量和振盪次數，為了獲得滿意的瞬態回應特性，實際使用中常按稍欠阻尼調整，對於二階感測器取ξ=0.6～0.7之間，則最大超調量不超過10%，趨於穩態的調整時間也最短，約為（3～4）/(ξω)。固有頻率ωn由感測器的結構參數決定，固有頻率ωn也即等幅振盪的頻率，ωn越高，感測器的回應也越快。(3）感測器的時域動態性能指標時域動態性能指標敘述如下：①時間常數τ：一階感測器輸出上升到穩態值的63.2%所需的時間,稱為時間常數。②延遲時間td：感測器輸出達到穩態值的50%所需的時間。③上升時間tr：感測器輸出達到穩態值的90%所需的時間。④峰值時間tp：二階感測器輸出回應曲線達到第一個峰值所需的時間。⑤超調量σ：二階感測器輸出超過穩態值的最