2024届高考数学二轮专题复习与测试第一部分专题四概率与统计微中微概率与统计创新题型

微中微概率与统计创新题型1．(2023·茂名二模)马尔可夫链是因俄国数学家安德烈·马尔可夫得名，其过程具备“无记忆”的性质，即第n＋1次状态的概率分布只跟第n次的状态有关，与第n－1，n－2，n－3，…次状态是“没有任何关系的”．现有甲、乙两个盒子，盒子中都有大小、形状、质地相同的2个红球和1个黑球．从两个盒子中各任取一个球交换，重复进行n(n∈N*)次操作后，记甲盒子中黑球个数为Xn，甲盒中恰有1个黑球的概率为an，恰有2个黑球的概率为bn.(1)求X1的分布列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)求Xn的期望．解：(1)由题可知，X1的可能取值为0，1，2，由相互独立事件概率乘法公式可知：P(X1＝0)＝eq\f(1,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(2,9)，P(X1＝1)＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,3)＝eq\f(5,9)，P(X1＝2)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,3)＝eq\f(2,9)，故X1的分布列如下表：X1012Peq\f(2,9)eq\f(5,9)eq\f(2,9)(2)由全概率公式可知：P(Xn＋1＝1)＝P(Xn＝1)P(Xn＋1＝1|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝1|Xn＝2)＋P(Xn＝0)P(Xn＋1＝1|Xn＝0)＝(eq\f(1,3)×eq\f(1,3)＋eq\f(2,3)×eq\f(2,3))P(Xn＝1)＋(eq\f(2,3)×1)P(Xn＝2)＋(1×eq\f(2,3))P(Xn＝0)＝eq\f(5,9)P(Xn＝1)＋eq\f(2,3)P(Xn＝2)＋eq\f(2,3)P(Xn＝0)，即an＋1＝eq\f(5,9)an＋eq\f(2,3)bn＋eq\f(2,3)(1－an－bn)，所以an＋1＝－eq\f(1,9)an＋eq\f(2,3)，所以an＋1－eq\f(3,5)＝－eq\f(1,9)(an－eq\f(3,5))，又a1＝P(X1＝1)＝eq\f(5,9)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(an－\f(3,5)))是以a1－eq\f(3,5)为首项，以－eq\f(1,9)为公比的等比数列，所以an－eq\f(3,5)＝－eq\f(2,45)×(－eq\f(1,9))n－1＝eq\f(2,5)×(－eq\f(1,9))n，即an＝eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)×(－eq\f(1,9))n.(3)由全概率公式可得：P(Xn＋1＝2)＝P(Xn＝1)P(Xn＋1＝2|Xn＝1)＋P(Xn＝2)·P(Xn＋1＝2|Xn＝2)＋P(Xn＝0)P(Xn＋1＝2|Xn＝0)＝(eq\f(2,3)×eq\f(1,3))P(Xn＝1)＋(eq\f(1,3)×1)P(Xn＝2)＋0×P(Xn＝0)，即：bn＋1＝eq\f(2,9)an＋eq\f(1,3)bn，又an＝eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)×(－eq\f(1,9))n，所以bn＋1＝eq\f(1,3)bn＋eq\f(2,9)×[eq\f(3,5)＋eq\f(2,5)×(－eq\f(1,9))n]，所以bn＋1－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)×(－eq\f(1,9))n＋1＝eq\f(1,3)×[bn－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)×(－eq\f(1,9))n]，又b1＝P(X1＝2)＝eq\f(2,9)，所以b1－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)×(－eq\f(1,9))＝eq\f(2,9)－eq\f(1,5)－eq\f(1,45)＝0，所以bn－eq\f(1,5)＋eq\f(1,5)×(－eq\f(1,9))n＝0，所以bn＝eq\f(1,5)－eq\f(1,5)×(－eq\f(1,9))n，所以E(Xn)＝an＋2bn＋0×(1－an－bn)＝an＋2bn＝1.2．(2023·惠州一模)为了避免就餐聚集和减少排队时间，某校开学后，食堂从开学第1天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐．已知某同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选一种，已知他第一天选择米饭套餐的概率为eq\f(2,3)，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为eq\f(1,4)，前一天选择面食套餐后一天继续选择面食套餐的概率为eq\f(1,2)，如此往复．(1)求该同学第2天中午选择米饭套餐的概率；(2)记该同学第n天选择米饭套餐的概率为Pn.①证明：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(2,5)))为等比数列；②证明：当n≥2时，Pn≤eq\f(5,12).(1)解：设A1＝“第1天选择米饭套餐”，A2＝“第2天选择米饭套餐”，则eq\o(A,\s\up6(－))1＝“第1天不选择米饭套餐”，由题意可得，P(A1)＝eq\f(2,3)，P(eq\o(A,\s\up6(－))1)＝eq\f(1,3)，P(A2|A1)＝eq\f(1,4)，P(A2|eq\o(A,\s\up6(－))1)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，由全概率公式可得，P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))1)·P(A2|eq\o(A,\s\up6(－))1)＝eq\f(2,3)×eq\f(1,4)＋eq\f(1,3)×eq\f(1,2)＝eq\f(1,3).(2)证明：①设An＝“第n天选择米饭套餐”，则Pn＝P(An)，则P(eq\o(A,\s\up6(－))n)＝1－Pn，由题意，P(An＋1|An)＝eq\f(1,4)，P(An＋1|eq\o(A,\s\up6(－))n)＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，由全概率公式可得，Pn＋1＝P(An＋1)＝P(An)P(An＋1|An)＋P(eq\o(A,\s\up6(－))n)P(An＋1|eq\o(A,\s\up6(－))n)＝eq\f(1,4)Pn＋eq\f(1,2)(1－Pn)＝－eq\f(1,4)Pn＋eq\f(1,2)，因此Pn＋1－eq\f(2,5)＝－eq\f(1,4)(Pn－eq\f(2,5))，因为P1－eq\f(2,5)＝eq\f(4,15)≠0，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(Pn－\f(2,5)))是以eq\f(4,15)为首项，－eq\f(1,4)为公比的等比数列．②由①可得Pn＝eq\f(2,5)＋eq\f(4,15)(－eq\f(1,4))n－1，当n为大于1的奇数时，Pn＝eq\f(2,5)＋eq\f(4,15)(eq\f(1,4))n－1≤eq\f(2,5)＋eq\f(4,15)(eq\f(1,4))2＝eq\f(5,12)；当n为正偶数时，Pn＝eq\f(2,5)－eq\f(4,15)(eq\f(1,4))n－1<eq\f(2,5)<eq\f(5,12).综上所述，当n≥2时，Pn≤eq\f(5,12).3．(2023·日照一模)第22届世界杯于2022年11月21日到12月18日在卡塔尔举办．在决赛中，阿根廷队通过点球战胜法国队获得冠军．(1)扑点球的难度一般比较大．假设罚点球的球员会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向射门，门将也会等可能地随机选择球门的左、中、右三个方向来扑点球，而且门将即使方向判断正确也有eq\f(2,3)的可能性扑不到球．不考虑其他因素，在一次点球大战中，求门将在前三次扑到点球的个数X的分布列和期望；(2)好成绩的取得离不开平时的努力训练，甲、乙、丙三名前锋队员在某次传接球的训练中，球从甲脚下开始，等可能地随机传向另外2人中的1人，接球者接到球后再等可能地随机传向另外2人中的1人，如此不停地传下去，假设传出的球都能接住，记第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，易知p1＝1，p2＝0.①证明：eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(pn－\f(1,3)))为等比数列；②设第n次传球之前球在乙脚下的概率为qn，比较p10与q10的大小．(1)解：X的所有可能取值为0，1，2，3，在一次扑球中，扑到点球的概率P＝eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×eq\f(1,3)×3＝eq\f(1,9)，所以P(X＝0)＝Ceq\o\al(0,3)(eq\f(8,9))3＝eq\f(512,729)，P(X＝1)＝Ceq\o\al(1,3)·eq\f(1,9)·(eq\f(8,9))2＝eq\f(192,729)，P(X＝2)＝Ceq\o\al(2,3)·(eq\f(1,9))2·eq\f(8,9)＝eq\f(24,729)，P(X＝3)＝Ceq\o\al(3,3)(eq\f(1,9))3＝eq\f(1,729)，所以X的分布列如下：X0123Peq\f(512,729)eq\f(192,729)eq\f(24,729)eq\f(1,729)E(X)＝eq\f(192,729)×1＋eq\f(24,729)×2＋eq\f(1,729)×3＝eq\f(1,3).(2)①证明：第n次传球之前球在甲脚下的概率为pn，则当n≥2时，第n－1次传球之前球在甲脚下的概率为pn－1，第n－1次传球之前球不在甲脚下的概率为1－pn－1，则pn＝pn－1×0＋(1－pn－1)×eq\f(1,2)＝－eq\f(1,2)pn－1＋eq\f(1,2)，即pn－eq\f(1,3)＝－eq\f(1,2)(pn－1－eq\f(1,3))，又p1－eq\f(1,3)＝eq\f(2,3)，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(pn－\f(1,3)))是以eq\f(2,3)为首项，公比为－eq\f(1,2)的等比数列．②解：由①可知pn＝eq\f(2,3)(－eq\f(1,2))n－1＋eq\f(1,3)，所以p10＝eq\f(2,3)(－eq\f(1,2))9＋eq\f(1,3)<eq\f(1,3)，所以q10＝eq\f(1,2)(1－p10)＝eq\f(1,2)[eq\f(2,3)－eq\f(2,3)(－eq\f(1,2))9]>eq\f(1,3)，故p10<q10.4．(2023·杭州二模)马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，Xt－2，Xt－1，Xt，Xt＋1，…，那么Xt＋1时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态Xt，即P(Xt＋1|…，Xt－2，Xt－1，Xt)＝P(Xt＋1|Xt)．现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型．假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为50%，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为50%，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为A(A∈N*，A<B)，赌博过程如图的数轴所示．当赌徒手中有n元(0≤n≤B，n∈N)时，最终输光的概率为P(n)，请回答下列问题：(1)请直接写出P(0)与P(B)的数值；(2)证明{P(n)}是一个等差数列，并写出公差d；(3)当A＝100时，分别计算B＝200，B＝1000时，P(A)的数值，并结合实际，解释当B→∞时，P(A)的统计含义．(1)解：当n＝0时，赌徒已经输光了，因此P(0)＝1.当n＝B时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率P(B)＝0.(2)证明：记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元下一场赢的事件，P(M)＝P(N)P(M|N)＋P(eq\o(N,\s\up6(－)))P(M|eq\o(N,\s\up6(－)))，即P(n)＝eq\f(1,2)P(n－1)＋eq\f(1,2)P(n＋1)，所以P(n)－P(n－1)＝P(n＋1)－P(n)，所以{P(n)}是一个等差数列，设P(n)－P(n－1)＝d，则P(n－1)－P(n－2)＝d，…，P(1)－P(0