2023-2024学年河南省驻马店市西平县八年级（上）期中数学试卷（含解析）

2023-2024学年河南省驻马店市西平县八年级第一学期期中数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（）A． B． C． D．2．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形3．如图，已知∠ACB＝∠ACD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．AC平分∠BAD C．AB＝AD D．∠B＝∠D4．在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（）A．（4，1） B．（﹣1，4） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣1，﹣4）5．若三角形的三边长分别为3，1+2x，8，则x的取值范围是（）A．2＜x＜5 B．3＜x＜8 C．4＜x＜7 D．5＜x＜96．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，则BC等于（）A．4 B．5 C．6 D．87．如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心；大于的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分∠EAF B．AO垂直EF C．GH垂直平分EF D．AO＝OF8．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里9．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA交于点M，联结OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（）A．62° B．56° C．52° D．46°10．如图，在△ABC中，点E为BC边上一点，AC＝CE，连结AE，CD⊥AE交AE于点F，连结DE，∠CAB＝2∠B，若CE＝5，AD＝3，则BC的长为（）A．6 B．7 C．8 D．10二、填空题（每小题3分，共15分）11．在生活中，我们常常看到在电线杆的两侧拉有两根钢线用来固定电线杆（如图所示），这样做的数学原理是．12．如果一个多边形的每个外角都等于相邻的内角的，则这个多边形的边数是．13．一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是边形．14．如图，△ABC≌△FDE，AB＝FD，BC＝DE，AE＝20cm，FC＝10cm，则AF的长是cm．15．如图，在等边△ABC中，点D为边BC的中点；点E为AB上一点，连接AD，AD＝3，且P为AD上的动点，连接EP，BP，则BP+EP的最小值为．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，EF平分∠AED交BC于点F，求∠BFE的度数．17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（2，3）、B（3，1）、C（﹣2，﹣2）．（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′（A，B，C的对称点分别是A′，B′，C′），并直接写出A′，B′，C′的坐标．（2）求△A′B′C′的面积．18．如图，AC与BD相交于点E，AB＝CD，∠A＝∠D．（1）试说明△ABE≌△DCE；（2）连接AD，判断AD与BC的位置关系，并说明理由．19．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．20．如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．21．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．22．如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．（1）判断△CEF的形状，并说明理由；（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．23．【初步探索】（1）如图1：在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，探究图中∠BAE、∠FAD、∠EAF之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长FD到点G，使DG＝BE．连接AG，先证明△ABE≌△ADG，再证明△AEF≌△AGF，可得出结论，他的结论应是．【灵活运用】（2）如图2，若在四边形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分别是BC、CD上的点，且EF＝BE+FD，上述结论是否仍然成立，并说明理由．

参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1．中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（）A． B． C． D．【分析】根据轴对称图形的概念进行判断即可．解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；B、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；C、是轴对称图形，故此选项符合题意；D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意；故选：C．【点评】本题主要考查了轴对称图形的概念，熟知：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．这条直线是它的对称轴．2．三角形一边上的中线把原三角形分成两个（）A．形状相同的三角形 B．面积相等的三角形 C．直角三角形 D．周长相等的三角形【分析】根据三角形的面积公式以及三角形的中线定义，知三角形的一边上的中线把三角形分成了等底同高的两个三角形，所以它们的面积相等．解：三角形一边上的中线把原三角形分成两个面积相等的三角形．故选：B．【点评】考查了三角形的中线的概念．构造面积相等的两个三角形时，注意考虑三角形的中线．3．如图，已知∠ACB＝∠ACD，那么添加下列一个条件后，仍无法判定△ABC≌△ADC的是（）A．CB＝CD B．AC平分∠BAD C．AB＝AD D．∠B＝∠D【分析】分别根据全等三角形的判定方法判断即可．解：A．∵∠ACB＝∠ACD，CB＝CD，CA＝CA，根据SAS可判定△ABC≌△ADC，不符合题意；B．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∵∠ACB＝∠ACD，CA＝CA，根据ASA可判定△ABC≌△ADC，不符合题意；C．∵∠ACB＝∠ACD，AB＝AD，CA＝CA，根据SSA不能判定△ABC≌△ADC，符合题意；D．∵∠ACB＝∠ACD，∠B＝∠D，CA＝CA，根据AAS可判定△ABC≌△ADC，不符合题意．故选：C．【点评】本题考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的判定方法（即SSS、SAS、ASA、AAS和HL）是解题的关键．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等．判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角相等时，角必须是两边的夹角．4．在平面直角坐标系中，点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，则点A的坐标是（）A．（4，1） B．（﹣1，4） C．（﹣4，﹣1） D．（﹣1，﹣4）【分析】直接利用关于x轴对称点的性质，横坐标不变纵坐标改变符号进而得出答案．解：∵点B的坐标是（4，﹣1），点A与点B关于x轴对称，∴点A的坐标是：（4，1）．故选：A．【点评】此题主要考查了关于x轴对称点的性质，正确把握横纵坐标的关系是解题关键．5．若三角形的三边长分别为3，1+2x，8，则x的取值范围是（）A．2＜x＜5 B．3＜x＜8 C．4＜x＜7 D．5＜x＜9【分析】首先根据三角形的三边关系定理三角形两边之和大于第三边．三角形的两边差小于第三边可得8﹣3＜1+2x＜3+8，解不等式即可．解：根据三角形的三边关系可得：8﹣3＜1+2x＜3+8，解得：2＜x＜5．故选：A．【点评】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握第三边的范围是：大于已知的两边的差，而小于两边的和．6．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，点D在BC上，AB⊥AD，AD＝2，则BC等于（）A．4 B．5 C．6 D．8【分析】根据等腰三角形性质求出∠B，求出∠BAC，求出∠DAC＝∠C，求出AD＝DC＝2，根据含30度角的直角三角形性质求出BD，即可求出答案．解：∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，∠BAC＝120°，∵AB⊥AD，∴∠BAD＝90°，∵AD＝2，∴BD＝2AD＝4，∵∠DAC＝120°﹣90°＝30°，∴∠DAC＝∠C，∴AD＝DC＝2，∴BC＝BD+DC＝4+2＝6，故选：C．【点评】本题考查了等腰三角形的性质，含30度角的直角三角形性质，三角形的内角和定理的应用，解此题的关键是求出BD和DC的长．7．如图，在△AEF中，尺规作图如下：分别以点E，点F为圆心；大于的长为半径作弧，两弧相交于G，H两点，作直线GH，交EF于点O，连接AO，则下列结论正确的是（）A．AO平分∠EAF B．AO垂直EF C．GH垂直平分EF D．AO＝OF【分析】根据作图可得，GH是线段EF的垂直平分线，即可得到答案．解：由作图可知，GH是线段EF的垂直平分线，∴GH垂直平分EF；故选：C．【点评】本题考查作图﹣基本作图，解题的关键是掌握线段垂直平分线的尺规作图方法．8．如图，一艘海轮位于灯塔P的南偏东70°方向的M处，它以每小时40海里的速度向正北方向航行，2小时后到达位于灯塔P的北偏东40°的N处，则N处与灯塔P的距离为（）A．40海里 B．60海里 C．70海里 D．80海里【分析】根据方向角的定义即可求得∠M＝70°，∠N＝40°，则在△MNP中利用内角和定理求得∠NPM的度数，证明三角形MNP是等腰三角形，即可求解．解：MN＝2×40＝80（海里），∵∠M＝70°，∠N＝40°，∴∠NPM＝180°﹣∠M﹣∠N＝180°﹣70°﹣40°＝70°，∴∠NPM＝∠M，∴NP＝MN＝80（海里）．故选：D．【点评】本题考查了方向角的定义，以及三角形内角和定理，等腰三角形的判定定理，理解方向角的定义是关键．9．如图，两把完全相同的长方形直尺按如图方式摆放，记两把尺的接触点为点P．其中一把直尺边缘恰好和射线OA重合，而另一把直尺的下边缘与射线OB重合，上边缘与射线OA交于点M，联结OP．若∠BOP＝28°，则∠AMP的大小为（）A．62° B．56° C．52° D．46°【分析】过P点作PD⊥OB，一把直尺边缘与OA的交点为E，如图，根据题意得到PD＝PE，根据角平分线的性质定理的逆定理可判断OP平分∠AOB，所以∠AOP＝∠BOP＝28°，然后根据平行线的性质求解．解：过P点作PD⊥OB，一把直尺边缘与OA的交点为E，如图，∵两把直尺为完全相同的长方形，∴PD＝PE，∵PE⊥OA，PD⊥OB，∴OP平分∠AOB，∴∠AOP＝∠BOP＝28°，∴∠AOB＝56°，∵PM∥OB，∴∠AMP＝∠AOB＝56°．故选：B．【点评】本题考查了角平分线的性质：在角的内部到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上．也考查了平行线的性质．10．如图，在△ABC中，点E为BC边上一点，AC＝CE，连结AE，CD⊥AE交AE于点F，连结DE，∠CAB＝2∠B，若CE＝5，AD＝3，则BC的长为（）A．6 B．7 C．8 D．10【分析】根据等腰三角形的性质得到CD垂直平分AE，再根据线段垂直平分线的性质得到AD＝DE，然后根据等腰三角形的性质和三角形的外角性质得到∠B＝∠EDB，进而得到BE＝DE＝3，据此可求出BC的长．解：∵AC＝CE＝5，CD⊥AE，∴AF＝EF，∴CD是线段AE的垂直平分线，∴AD＝DE＝3，∴∠DAE＝∠DEA，∵AC＝CE，∴∠CAE＝∠CEA，∴∠CAE+∠DAE＝∠CEA+∠DEA，即：∠CAB＝∠AED，∵∠CAB＝2∠B，∴∠CED＝2∠B又∵∠CED＝∠B+∠EDB，∴2∠B＝∠B+∠EDB，∴∠B＝∠EDB，∴BE＝DE＝3，∴BC＝CE+BE＝5+3＝8，故选：C．【点评】本题考查等腰三角形的判定与性质、线段垂直平分线的性质、三角形的外角性质，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解答的关键．二、填空题（每小题3分，共15分）11．在生活中，我们常常看到在电线杆的两侧拉有两根钢线用来固定电线杆（如图所示），这样做的数学原理是三角形的稳定性．【分析】根据三角形的三边一旦确定，则形状大小完全确定，即三角形的稳定性．解：结合图形，为了防止电线杆倾倒，常常在电线杆上拉两根钢筋来加固电线杆，所以这样做根据的数学道理是三角形的稳定性．故答案为：三角形的稳定性．【点评】本题考查三角形稳定性的实际应用．三角形的稳定性在实际生活中有着广泛的应用，如钢架桥、房屋架梁等，因此要使一些图形具有稳定的结构，往往通过连接辅助线转化为三角形而获得．12．如果一个多边形的每个外角都等于相邻的内角的，则这个多边形的边数是12．【分析】根据每个外角都等于相邻内角的，并且外角与相邻的内角互补，就可求出外角的度数；根据外角度数就可求得边数．解：设外角是x度，则相邻的内角是5x度．根据题意得：x+5x＝180，解得x＝30．则多边形的边数是：360÷30＝12．故答案为：12．【点评】此题主要考查了多边形的外角和是360度，外角和不随边数的变化而变化．13．一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是五边形．【分析】根据多边形的内角和公式列方程并解方程即可．解：设此多边形的边数为n，则（n﹣2）•180°＝540°，解得：n＝5，即此多边形为五边形，故答案为：五．【点评】本题考查多边形的内角和公式，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握．14．如图，△ABC≌△FDE，AB＝FD，BC＝DE，AE＝20cm，FC＝10cm，则AF的长是5cm．【分析】根据全等三角形的对应边相等得到AC＝EF，结合等式的性质推知AF＝CE，结合已知相关线段的长度解答．解：∵AE＝20cm，FC＝10cm，∴AF+CE＝AE﹣FC＝10cm．∵△ABC≌△FDE，AB＝FD，BC＝DE，∴AC＝EF．∴AC﹣FC＝EF﹣FC，∴AF＝CE．∴AF＝（AF+CE）＝5cm．故答案为：5．【点评】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出AF＝CE是解题关键．15．如图，在等边△ABC中，点D为边BC的中点；点E为AB上一点，连接AD，AD＝3，且P为AD上的动点，连接EP，BP，则BP+EP的最小值为3．【分析】因为△ABC是等边三角形，故点B关于AD的对称点为点C，过点C作垂线交AB于点E1，交AD于点P1，此时BP+EP有最小值．解：∵△ABC是等边三角形，点D为边BC的中点；∴点B关于AD的对称点为点C，过点C作垂线交AB于点E1，交AD于点P1，如图所示：则此时BP+EP有最小值：垂线段最短，BP+EP≥CP1+P1E1＝CE1，因为等边三角形的三边都满足“三线合一”故CE1＝AD＝3，此时BP+EP有最小值为3，故答案为：3．【点评】本题考查了轴对称﹣最短路线问题，等边三角形的性质，轴对称的性质，掌握轴对称求线段和最小值的方法是解题的关键．三、解答题（本大题共8个小题，满分75分）16．如图，五边形ABCDE的每个内角都相等，EF平分∠AED交BC于点F，求∠BFE的度数．【分析】先根据多边形的内角和定理计算出∠AED，然后根据角平分线的性质求出∠AEF，再求∠BFE的度数即可．解：五边形的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，∵五边形ABCDE的每个内角都相等，∴∠A＝∠B＝∠AED＝540°÷5＝108°，∵EF平分∠AED，∴，∵四边形ABFE的内角和为360°，∴∠BFE＝360°﹣（108°+108°+54°）＝90°．【点评】本题考查了多边形的内角和定理，解题的关键是熟记定理并灵活运用，多边形内角和定理：（n﹣2）•180°（n≥3且n为整数）．17．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A（2，3）、B（3，1）、C（﹣2，﹣2）．（1）请在图中作出△ABC关于y轴的轴对称图形△A′B′C′（A，B，C的对称点分别是A′，B′，C′），并直接写出A′，B′，C′的坐标．（2）求△A′B′C′的面积．【分析】（1）分别作出点A，B，C的对称点A′，B′，C′，顺次连接即可得；（2）利用割补法求解可得．解：（1）如图所示，点A′（﹣2，3），B′（﹣3，1），C′（2，﹣2）；（2）用大正方形面积减去三个直角三角形面积，S△A′B′C′＝25﹣（×4×5+×1×2+×5×3）＝6.5．【点评】本题主要考查轴对称变换的作图，熟练掌握轴对称变换的性质是解题的关键．18．如图，AC与BD相交于点E，AB＝CD，∠A＝∠D．（1）试说明△ABE≌△DCE；（2）连接AD，判断AD与BC的位置关系，并说明理由．【分析】（1）由“AAS”可证△ABE≌△DCE；（2）由全等三角形的性质可得AE＝DE，BE＝CE，可得∠ADE＝∠DAE，∠BCE＝∠CBE，由外角性质可得∠ADE＝∠EBC，可证AD∥BC．【解答】证明：（1）∵AB＝CD，∠A＝∠D，∠AEB＝∠DEC∴△ABE≌△DCE（AAS）（2）AD∥BC理由如下：如图，连接AD∵△ABE≌△DCE；∴AE＝DE，BE＝CE，∴∠ADE＝∠DAE，∠BCE＝∠CBE∵∠AEB＝∠ADE+∠DAE＝∠BCE+∠CBE∴∠ADE＝∠EBC∴AD∥BC【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定，证明△ABE≌△DCE的本题的关键．19．作图题：（不写作法，但必须保留作图痕迹）如图：某地有两所大学和两条相交叉的公路，（点M，N表示大学，AO，BO表示公路）．现计划修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等．你能确定仓库P应该建在什么位置吗？在所给的图形中画出你的设计方案．【分析】先连接MN，根据线段垂直平分线的性质作出线段MN的垂直平分线DE，再作出∠AOB的平分线OF，DE与OF相交于P点，则点P即为所求．解：如图所示：（1）连接MN，分别以M、N为圆心，以大于MN为半径画圆，两圆相交于DE，连接DE，则DE即为线段MN的垂直平分线；（2）以O为圆心，以任意长为半径画圆，分别交OA、OB于G、H，再分别以G、H为圆心，以大于GH为半径画圆，两圆相交于F，连接OF，则OF即为∠AOB的平分线（或∠AOB的外角平分线）；（3）DE与OF相交于点P，则点P即为所求．【点评】本题考查的是线段的垂直平分线及角平分线的作法及性质，熟知此知识是解答此题的关键．20．如图，AC＝AE，BC＝DE，BC的延长线与DE相交于点F，∠ACF+∠AED＝180°．求证：AB＝AD．【分析】由已知∠ACF+∠AED＝180°，可得到∠ACB＝∠AED，再利用SAS证明△ABC≌△ADE，从而得到AB＝AD．【解答】证明：∵∠ACF+∠AED＝180°，∠ACF+∠ACB＝180°，∴∠ACB＝∠AED，在△ABC和△ADE中，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴AB＝AD．【点评】本题考查全等三角形的判定，掌握SAS判定定理是解题的关键．21．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC，交AB于点E．（1）求证：∠EBD＝∠EDB．（2）当AB＝AC时，请判断CD与ED的大小关系，并说明理由．【分析】（1）利用角平分线的定义和平行线的性质可得结论；（2）利用平行线的性质可得∠ADE＝∠AED，则AD＝AE，从而有CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，可知BE＝DE，等量代换即可．【解答】（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠CBD＝∠EBD，∵DE∥BC，∴∠CBD＝∠EDB，∴∠EBD＝∠EDB．（2）解：CD＝ED，理由如下：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵DE∥BC，∴∠ADE＝∠C，∠AED＝∠ABC，∴∠ADE＝∠AED，∴AD＝AE，∴CD＝BE，由（1）得，∠EBD＝∠EDB，∴BE＝DE，∴CD＝ED．【点评】本题主要考查了平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义等知识，熟练掌握平行与角平分线可推出等腰三角形是解题的关键．22．如图，点D在等边△ABC的外部，连接AD、CD，AD＝CD，过点D作DE∥AB交AC于点F，交BC于点E．（1）判断△CEF的形状，并说明理由；（2）连接BD，若BC＝10，CF＝4，求DE的长．【分析】（1）根据平行线的性质和等边三角形的判定和性质定理即可得到结论；（2）根据等边三角形的性质得到AB＝BC，CF＝CE＝4．推出BD是线段AC的垂直平分线，根据角平分线的定义得到∠ABD＝∠CBD．根据平行线的性质得到∠ABD＝∠BDE，于是得到结论．解：（1）△CEF是等边三角形，理由如下：∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC＝∠ACB＝60°．∵AB∥DE，∴∠CEF＝∠ABC＝60°，∴∠CEF＝∠CFE＝∠ECF＝60°，∴△CEF是等边三角形；（2）∵△ABC是等边三角形，△CEF是等边三角形，∴AB＝BC，CF＝CE＝4．∵AD＝CD，∴BD是线段AC的垂直平分线，∴BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD．∵AB∥DE，∴∠ABD＝∠BDE，∴∠BDE＝∠CBD，∴BE＝DE．∵BC＝BE+EC＝DE+CF，∴DE＝BC﹣CF＝10﹣4＝6．【点评】本题考查了等边三角形的性质和判定，