2024届高三数学二轮复习培优练4：数列的递推关系（含解析）

培优练4数列的递推关系一、基本技能练1.数列{an}中，an＋1＝2an＋1，a1＝1，则a100＝()A.2100＋1 B.2101C.2100－1 D.21002.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝eq\f(an,4an＋1)，则满足an>eq\f(1,37)的n的最大取值为()A.7 B.8C.9 D.103.已知数列{an}满足：a1＝a2＝2，an＝3an－1＋4an－2(n≥3)，则a9＋a10＝()A.47 B.48C.49 D.4104.设数列{an}的前n项和为Sn,若Sn＝2an－2n＋1，则S10＝()A.211－23 B.210－19C.3×210－23 D.3×29－195.在数列{an}中，a1＝3，an＝2an－1－n＋2，若an>980，则n的最小值是()A.8 B.9C.10 D.116.已知数列{an}中，a1＝eq\f(2,3)，an＋1＝an＋an·an＋1，则数列{an}的通项公式为()A.eq\f(3,3n－1) B.eq\f(3n－1,3)C.eq\f(5,2)－n D.eq\f(2,5－2n)7.已知数列{an}满足：a1＝2，an＋1＝an＋2n，则{an}的通项公式为________.8.设正项数列{an}满足a1＝2，an＝2aeq\o\al(2,n－1)(n≥2)，则数列{an}的通项公式是________.二、创新拓展练9.(多选)(2023·青岛质检)已知数列{an}满足a1＝1，an－3an＋1＝2an·an＋1(n∈N*)，则下列结论正确的是()A.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))为等比数列B.{an}的通项公式为an＝eq\f(1,2×3n－1－1)C.{an}为递增数列D.eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和Tn＝3n－n10.(2023·宁波模拟)已知数列{an}满足a1＝2，a2＝6，且an＋2－2an＋1＋an＝2，若[x]表示不超过x的最大整数(例如[1.6]＝1，[－1.6]＝－2)，则eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(22,a1)))＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(32,a2)))＋…＋eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(20242,a2023)))＝()A.2021 B.2022C.2023 D.2024参考答案1.C[数列{an}中，an＋1＝2an＋1，故an＋1＋1＝2(an＋1)，因为a1＝1，所以a1＋1＝2≠0，所以{an＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，所以an＋1＝2n，即an＝2n－1，故a100＝2100－1.]2.C[因为an＋1＝eq\f(an,4an＋1)，所以eq\f(1,an＋1)＝4＋eq\f(1,an)，所以eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝4，又eq\f(1,a1)＝1，数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以1为首项，4为公差的等差数列，所以eq\f(1,an)＝1＋4(n－1)＝4n－3，所以an＝eq\f(1,4n－3)，由an>eq\f(1,37)，即eq\f(1,4n－3)>eq\f(1,37)，即0<4n－3<37，解得eq\f(3,4)<n<10，因为n为正整数，所以n的最大值为9.]3.C[由题意a1＋a2＝4，由an＝3an－1＋4an－2(n≥3)得an＋an－1＝4(an－1＋an－2)，即eq\f(an＋an－1,an－1＋an－2)＝4(n≥3)，所以数列{an＋an＋1}是等比数列，公比为4，首项为4，所以a9＋a10＝49.]4.C[当n＝1时，S1＝a1＝2a1－2＋1，解得a1＝1.当n≥2时，Sn－1＝2an－1－2n＋3，所以an＝Sn－Sn－1＝2an－2n＋1－(2an－1－2n＋3)，即an＝2an－1＋2，所以an＋2＝2(an－1＋2)，即eq\f(an＋2,an－1＋2)＝2，所以数列{an＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，则an＋2＝3×2n－1，从而Sn＝3×2n－2n－3，故S10＝3×210－23.]5.C[因为an＝2an－1－n＋2，所以an－n＝2[an－1－(n－1)].因为a1＝3，所以a1－1＝2，所以数列{an－n}是首项和公比都是2的等比数列，则an－n＝2n，即an＝2n＋n.因为an－an－1＝2n－1＋1>0，所以数列{an}是递增数列.因为a9＝521<980，a10＝1034>980，所以满足an>980的n的最小值是10.]6.D[由题意，可得an＋1＝an＋an·an＋1，即eq\f(1,an＋1)－eq\f(1,an)＝－1.又eq\f(1,a1)＝eq\f(3,2)，所以数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))是以eq\f(3,2)为首项，公差为－1的等差数列，所以eq\f(1,an)＝eq\f(3,2)－(n－1)＝eq\f(5,2)－n，所以an＝eq\f(2,5－2n).]7.an＝2n[由已知得an＋1－an＝2n，当n≥2时，an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝2＋2＋22＋…＋2n－1＝2＋eq\f(2（1－2n－1）,1－2)＝2n，又a1＝2，也满足上式，故an＝2n.]8.an＝22n－1[原式两边同时取以2为底的对数，得log2an＝1＋2log2an－1(n≥2)，即log2an＋1＝2(log2an－1＋1).设bn＝log2an＋1，则bn＝2bn－1(n≥2)，又b1＝1＋log2a1＝2，所以{bn}是以2为公比，2为首项的等比数列，所以bn＝2×2n－1＝2n，所以log2an＋1＝2n，所以an＝22n－1.]9.AB[因为an－3an＋1＝2an·an＋1，所以eq\f(1,an＋1)＋1＝3eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))，又eq\f(1,a1)＋1＝2≠0，所以eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)＋1))是以2为首项，3为公比的等比数列，eq\f(1,an)＋1＝2×3n－1，即an＝eq\f(1,2×3n－1－1).所以{an}为递减数列，eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(1,an)))的前n项和Tn＝(2×30－1)＋(2×31－1)＋…＋(2×3n－1－1)＝2(30＋31＋…＋3n－1)－n＝2×eq\f(1－3n,1－3)－n＝3n－n－1.故选AB.]10.D[由题设，(an＋2－an＋1)－(an＋1－an)＝2，a2－a1＝4，故{an＋1－an}是首项为4，公差为2的等差数列，则an＋1－an＝2n＋2，则(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＝an－a1＝2[n＋(n－1)＋…＋3＋2]＝(n＋2)(