2022年贵州省毕节市高考数学诊断性试卷（理科）（二）（附答案详解）

2022年贵州省毕节市高考数学诊断性试卷（理科）（二）

一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）

1.己知集合4={%|%（久—1）=0},B=若4U8=8,则m=（）

A.-1B.0C.1D.±1

2.£是复数z的共朝复数，若3（z+5）+4（z-W）=9+8i,则忆一幺=（）

A.—B.V2C.2V2D.3V2

2

3.已知zn,n是两条不同的直线，a、0是两个不同的平面，下列说法正确的是（）

A.若a〃夕，m〃0,nua,m//n,则m〃a

B.若7nla,m//n,n〃/?,则a1。

C.若m〃a,n//a,mf/fi,n//p,则m〃n

D.若rnd.a,mln,n〃£.则aJ./?

4.如图，唐金筐宝钿团花纹金杯出土于西安，这件金杯整体造型具有玲珑剔透之美,

充分体现唐代金银器制作的高超技艺，是唐代金银细工的典范之作，该杯柱体部分

的轴截面可以近似作双曲线C的一部分.若C的中心在原点，焦点在x轴上，离心率

e=2,且点M（2,%）在C上，则双曲线C的标准方程为（）

5.某农科院计划派遣4名专家和3名技术员到甲、乙两个基地对农作物病虫害防治进行

科学指导，则每个基地派遣2名专家和至少1名技术员的方法种数为（）

A.6B.12C.18D.36

6.函数/（x）=sinx+cosx+sin2x的最大值为（）

A.1B.1-V2C.1+V2D.3

7.某人准备到某接种点接种新冠疫苗加强针，该接种点在前一天已用完全部疫苗，新

的疫苗将于当天上午8：00~11：00之间随机送达，若他在9：00〜12：00之间随

机到达该接种点，则他到达时疫苗已送达的概率是（）

9.已知平面向量落a乙若|回=或,

的最大值为（）

A.2B.3C.4D.7

10.函数/(x)=e*-e-x-2sinx,若2a=5,b=log32,c=ln3,则有()

A./(a)>/(b)>/(c)B./(a)>/(c)>f(b)

C./(fa)>f(a)>/(c)D./(b)>/(c)>/(a)

11.已知圆M：(x—t)2+(y+t)2=3与圆N：(x—m)2+(y—n)2=9(t,7n,nR)相

交于P，Q两点(点M与点N在直线PQ两侧)，且|PQ|=3,则m+n的最大值是()

A.2A/3B.3^2C.276D.6V2

12.设f(x)是定义在R上且周期为2的函数，当尤6[-1,1]时，/(X)=

"其中a,b&R，且函数八%)在区间[°向上恰有3个零点，则

Q的取值不可能是()

A.—2B.--C.-1D.0

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.已知sin偌-a)=[,贝ijcosg+2a)=.

4234

14.已知(％+m)(x—I)=a。+ar{x—2)+a2(x—2)+a3(x-2)+a4(x—2)4-

5

a5(x-2),若由+Q3+他=32,则实数m=.

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15.过抛物线C：必=2px(p>0)焦点F的直线/与抛物线C交4,B两点,若抛物线C的

准线上一点M(—2,2)满足利•丽=0，则|48|的值为.

16.已知球。与棱长为a的正方体4BC。-4当口必各个面均相切，给出下列结论：

①当a=1时，球。的表面积为3兀；

②该正方体外接球的体积与球0的体积之比为38：1;

③当a=2时，球。被平面aBC1所截的截面面积为|北；

④当a=2时，若点M满足瓦M=2而，则过M的平面截球0所得截面面积的最小

值是最

其中正确结论的序号是.

三、解答题(本大题共7小题，共82.0分)

17.已知数列1｝的前n项积为〃，且心+/=列

anln

(I)求数列｛〃｝的通项公式；

(H)设勾=关，求数列｛久｝的前n项和立.

18.某市全体高中学生参加某项测试，从中抽取部分学生的测试分数绘制成茎叶图和频

率分布直方图如下，后来茎叶图受到了污损,可见部分信息如图.

（I）求频率分布直方图中a的值，并根据直方图估计该市全体高中学生的测试分数

的中位数和平均数（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表，结果保

留一位小数）；

（口）将频率作为概率，若从该市全体高中学生中抽取4人，记这4人中测试分数不低

于90分的人数为X,求X的分布列及数学期望.

19.如图，四棱锥P一力BCD中，AB=AD=2,CD=4,AB//CD,AD1平面CDP,E为

PC中点.

（I）证明：BE〃平面PAO；

（口）若。「，平面24。，CP=2V2.求二面角B-24—。的正弦值.

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20.如图，点M是圆4：(x+2遍¥+y2=io。上的动点，点B(2遍,0),线段MB的垂

直平分线交半径4M于点P.

(I)求点P的轨迹E的方程；

(II)若CD为轨迹E与％轴的两个交点，G为直线％=10上的动点，直线GC与E的另一

个交点为N,直线GD与E的另一个交点为H,求证：直线NH过定点.

21.函数/'(x)=aex+sinx+cosx^aG/?).

(1)若/。)在(0,兀)上单调递增，求a的取值范围;

(11)若(1=1时，证明：/(x)>2x+2.

22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为—«为参数)•

(I)将6?的参数方程化为普通方程；

(11)过点(b,0)作(?的两条切线，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐

标系，求这两条切线的极坐标方程.

23.已知x,y,z均为实数.

(I)求证：x4+4x+4>2x3+3x2；

(II)若x+y+3z=3,求/+y2+z?的最小值及取最小值时x,y,z的值.

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答案和解析

1.【答案】A

【解析】解：•••4UB=B,

二AUB,且4={0,1},

・•・m2=1,且mW1,

:.m=-1.

故选：A.

根据条件得出AGB,再根据集合元素的互异性可得出M2=1,然后即可求出m

的值.

本题考查了集合的描述法和列举法的定义，子集的定义，集合元素的互异性，考查了计

算能力，属于基础题.

2.【答案】B

【解析】解:设工=Q+bi(a,bWR),

则z=a—bif

v3(z+z)+4(z-z)=9+83

・・・3x2a+4x2bi=9+8i,解得Q=16=1,

z=|+i,

2

•••|z—11=|1+i|=Vl2+I2=V2.

故选：B.

根据已知条件，结合共轨复数的定义，以及复数模的公式，即可求解.

本题考查了共规复数的定义，以及复数模的公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题.

3.【答案】B

【解析】解：m,n是两条不同的直线，a、夕是两个不同的平面，

对于4,若,m”,nua,m//n,则m〃a或mua,故A错误;

对于B,若m1a,m//n,n〃£,则由面面垂直的判定定理得a10,故B正确；

对于C,若m〃a,n//a,m//p,n〃。，则zn与n相交、平行或异面，故C错误；

对于。，若m1a,mln,n〃£.则a与夕相交或平行，故。错误.

故选：B.

对于4,小〃戊或根（=©对于8,由面面垂直的判定定理得aJ.。；对于C,m与n相交、

平行或异面；对于D，a与0相交或平行.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查推理论证能力，是中档题.

4.【答案】B

【解析】解：由双曲线的离心率为2,可得：=2,[c2=4a2,.，.a2+〃=4&2,.../=3。2,

•••C的中心在原点，焦点在x轴上，.••设双曲线方程为弓一马=1,

a23a2

■:点M（2,遮）在C上，•••||-察=1,a2=3,

二双曲线C的方程为史-加=1,

39

故选：B.

22

由已知可得｝2=3a2,设双曲线方程为宏一£=1,代入点M（2,遮）的坐标可求方程.

本题考查依据条件求双曲线方程，属基础题.

5.【答案】D

【解析】解：根据题意，分3步进行分析：

①将4名专家平均分为2组，有:4=3种分组方法，

②将3名技术员分为2组，有6=3种分组方法，

③将2组专家和2组技术员分配到甲乙两个基地，有2x2=4种情况，

则有3x3x4=36种分配方法，

故选：D.

根据题意，分3步进行分析：①将4名专家平均分为2组，②将3名技术员分为2组，③将

2组专家和2组技术员分配到甲乙两个基地，由分步计数原理计算可得答案.

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本题考查排列组合的应用，涉及分步计数原理的应用，属于基础题.

6.【答案】C

【解析】解：函数f(x)=sinx+cosx+sin2x,

设t=sinx+cosx=V2sin(x+^)E[—>/2,V2],

则si?12T=t2—1,

则g(t)=t2+t-l=(t+i)2-^te[-V2,V2],

所以g(t)max=g(a)=1+M

故选：c.

设力=sinx+cosx=*sin(x+》€[-a,&],贝!)sin2x=t2-i,则求/(%)的最大值

转化为求g(t)=t2+t-l=(t+|)2-^te[―VI,的最大值即可.

本题考查了三角函数最值的求法，重点考查了换元法，属基础题.

7.【答案】D

【解析】解：设8：00为初始时刻0,则9：00,10：00,11：00,12：00分别为时刻1,2,

3,4,

设新的疫苗关过的时刻为x,某人到接种点的时刻为y,记他到达时疫苗已送达为事件4

则试验的全部结果所构成的区域为。={(%,y)|0<x<3,1<y<4},

事件4所构成的区域为4={(x,y)|y2x，0<x<3,1<y<4},如图阴影区域，

故选：D.

根据题意作出试验的全部结果所构成的区域及所求事件构成的区域，再利用儿何概型概

率公式进行求解.

本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考查运算求解能力，是中档题.

8.【答案】A

【解析】解：函数的定义域为R,关于原点对称，

/(一乃=工=诉=-/(。

可得f(x)为奇函数，其图象关于原点对称，可排除选项8、C；

由/'(x)=1-岛<1,可排除选项D

故选：A.

首先判断/(%)的奇偶性，再判断/(x)的范围，可得结论.

本题考查函数的图象的判断，考查数形结合思想和推理能力，属于基础题.

9.【答案】C

【解析】解：因为五4=0,所以习13,

4---y

如图，在直角坐标系中，设万5=1，OB=b<

由|五|=夜,I石|=夕，可得A(鱼,O)，B(O,V7),B\

设。C=F=(x,y),2\

因为一方|=1,所以(X-&)2+y2=1,--「

所以点C在以圆心为4(虚,1),半径r=1上的圆上，t_______/I]।____4

一一一一。，\/X

因为|下一切=|沆^而|=|而|=|BC|，

c

所以|下一0的最大值|BC|max=|4B|+r=

J(0-V2)2+(V7-0)2+1=4-

故选：C.

如图，在直角坐标系中，设工5=五，OB=b>OC=c=(x,y).可得点C在以圆心为

4(或,1)，半径r=l上的圆上，从而将问题转化为圆4上的点到点B的最大距离问题进

行求解即可.

本题主要考查平行向量数量积的性质，向量模的最值求解问题，考查转化思想与运算求

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解能力，属于中档题.

10.【答案】B

【解析】解：/(%)-ex—e~x—2sinx,

/z(x)=ex+e~x—2cosx>2yjex-e~x-2=0(当且仅当#=0时取等号)，

.t•/(x)=ex-e~x—2sinx为R上的增函数；

又2a=5=a=logz5>2,b=log32G(0,1)>c=ln3G(1,2).

•1•〃a)>/(c)>f(b)，

故选：B.

依题意，求导可得((%)20=/。)=蜻-0-—25讥%为/?上的增函数；利用对数的性

质比较a、b、c的大小，可得答案.

本题考查利用导数研究函数的单调性，考查对数函数的性质及基本不等式的运用，属于

中档题.

II.【答案】C

【解析】解：由题意，得圆M的圆心为半径为小；

圆N的圆心为N(m,n)、半径为3；

连接PM、PN、MN,

则|PM|=y/3,\PN\=3,MN1PQ，

因为|PQ|=3,所以|PH|=|；

贝=\MH\+\NH\=〔3一+[9-1=2A/3;

所以—t）2+（几+£）2=2A/3»

即关于t的方程2t2-2(m-n)t+m2+n2-12=0有实根，

则4=4(m—n)2—8(m2+n2-12)>0,

BP(m+n)2<24,即一2遥<m+n<2V6,

所以zn+n的最大值为2遍.

故选：C.

先利用两圆的相交弦长及平面几何知识得到|MN|=2百，利用两点间的距离公式得到

关于t的一元二次方程，再利用判别式进行求解.

本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的运算能力，属于中档题.

12.【答案】D

【解析】解：因为/"(%)是定义在R上且周期为2的函数，所以=

所以(-1)2—(―1)+a=2+b,得a—b)

则xJTl］时，=

当a=。时，及)=偿盛工丫口，其图象如图所示

“y

所以a=0不符合题意,

当a>0时，则图象向上平移，函数无零点，所以不符合，

当一14a<0时，可得f(x)在［-1,0)上有一个零点，

所以/(x)在［1,2),［3,5)上有零点，

所以f(x)在区间［0,6］上恰有3个零点，符合题意，

当一2<a<—1时，可得/(x)在［—1,1］上有2个零点，由于函数的周期为2,

所以/'(x)在［0,6］上有6个零点，不符合题意，

当a=-2时，则可得/(-1)=/(I)=f(3)=/(5)=0,在区间［0,6］上恰有3个零点，所

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以符合题意，

当a<-2时，函数图象与％轴无交点，

综上，当一1Wa<0或a=-2时，f(x)在区间［0,6］上恰有3个零点，

故选：D.

由〃久)为周期为2的函数，可得/(—1)=/(I),从而可求得a=b,然后分a>0,a=0,

-l<a<0,-2<a<-l,a=-2,a<—2六种情况分析判断函数的零点个数.

本题考查了函数的零点、分类讨论思想、数形结合思想，属于中档题.

13.【答案】-之

O

【解析】解：因为sin/一a)=；,

所以cos2舄-a)=1-Sin2Gl-a)=1-(^)2=.

所以cos偿+2a)=cos2(工4-a)=1—2sin2(^+a)=1—2sin2\^一琮一a)］=1一

2cos2(——a)=l—2x—

'12J168

故答案为：

由已知利用同角三角函数基本关系式可求cos2(^-a)的值，进而利用诱导公式，二倍

角公式化简所求即可求解.

本题主要考查了同角三角函数基本关系式，诱导公式，二倍角公式在三角函数求值中的

应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题.

14.【答案】1

【解析】解：令x=3,则ao+ai+a2+....+(15=(3+m),2。=16(3+m)①,

令x=1,则a。—a1+a2+...-a5=。②，

则①—②可得：的+。3+_8(3+m),

则8(3+m)=32,解得m=1,

故答案为：L

分别令x=3,x=l,建立方程即可求解.

本题考查了二项式定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题.

15.【答案】10

【解析】解：由题意可知，抛物线的准线方程为x=-2,.・4=2,p=4,

抛物线方程为y2=汝，焦点F(2,0),

设直线I的方程为久=ky+2(fcW0),

・・•福・丽=0，.・.M在以48为直径的圆上，设4(%i，yi)，8(%2，乃)，

.•・[”="两式相减得注=击.

Iyr=8%2xix2XI+72K

2

设4B的中点为Q(x(),yo)，则y0=力产=4k,x0=4/c+2,

二点(2(4/+2,4k)是以4B为直径的圆的圆心，由抛物线定义可知，圆的半径「=与=

%+必+4==&+2=41+4,

22u

22222

V\QM\=(x0+2)2+(y0-2)2=(4k+4)+(4/c-2)=r,

•••(4/c2+4)2+(4/c-2)2=(4/c2+4)2,

解得k=p

\AB\=2r=2x[4x(1)2+4]=10,

故答案为：10.

设直线，的方程为x=ky+2(k丰0),4(%,%)，S(x2,y2),由两•MB=。得点M在以AB

为直径的圆上，根据4B在抛物线上可得仁=三设力B的中点为Q(xo，y0),再根据

yi+Z2K

2222

\QM\=(x0+2/+(y0-2>=(4fc+4)+(4k-2)=M可求出〈的值,从而得到

|4B|的值.

本题主要考查了抛物线的性质，考查了中点弦问题中点差法的应用，同时考查了学生的

运算求解能力，属于中档题.

16.【答案】②③

【解析】解：易知正方体的体对角线是其外接球的直径，正方体的棱长是其内切球的直

径；

设该正方体的外接球的半径为R,内切球(即球。)的半径为r,

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则Ba=2R,a=2r，即R=3a,r=3

对于①：当a=1时，球。的半径为r=p

其表面积为S=4?rr2=4TTx(|)2=n,

即①错误；

对于②：因为该正方体的外接球、内切球的半径之比为R：r=1,所以体积比为

R3：r3=3V3--1，

即②正确；

对于③：由题意，得球。被平面&BC所截的截面是圆，

且是正三角形/&BC1的内切圆，设其半径为I，

则=2V2XyX|=y>

其面积为Si=|兀，

即③正确；

对于④：由题意得，DrB=2y/3,OM=-DrB=—，

63

当截面与0M垂直时，点。到该截面的距离最大，

此时截面的半径最小，即其面积最小；

则截面半径的最小值为上==?，

此时面积为|兀，即④错误.

故答案为：(2)(3).

利用正方体的体对角线是其外接球的直径、正方体的棱长是其内切球的直径得到外接球

和内切球的半径，再利用球的表面积公式判定①错误，利用球的体积公式判定②正确；

先判定截面形状，再求其面积判定③正确；利用线面垂直得到点面距离的最大值，进

而求出截面半径和面积的最小值判定④错误.

本题考查了球的表面积和体积的计算，属于中档题.

12

17.【答案】解：(/)当九=1时，T,=%,-+-=1,解得A=3.

当?1N2时，--=(2，，午+1=1,化为：T-T_=2,

，n-lrllnlnnnt

.・•｛〃｝是以3为首项，2为公差的等差数列，

，〃=3+2(71-1)=2n+1,Ti£N*.

(〃)由(/)可得：%=*=簧，

・,.数列｛%｝的前n项和5n=|+芯+套+・••+舞^+费士

1_352n-l2n+l

53cn-2^'2^'**'2^"2"1'

.lc=3+2(工+工+2■一型1=工+2x2物_型!1

23rl2十十23…十2〃+12+,1-12瓶+/

2

化为：5“=5—簧・

【解析】(/)当n=1时,7；=1,解得7\.当n>2时，#-=an，代入《+於=1,

1111*n-ianln

化简可得7；-Tnf=2,利用等差数列的通项公式即可得出

(〃)由(/)可得：%=景=智，利用错位相减法、等比数列的求和公式即可得出.

本题考查了数列递推关系、等差数列与等比数列的通项公式及其求和公式、错位相减法，

考查了推理能力与计算能力，属于中档题.

18.【答案】解：(I”.・测试分数位于［50,60)的频数为4,频率为0.01x10=0.1,

.•・抽取个数为:白=40,

0.1

二测试分数位于［80,90)的个数为：40-(4+10+14+4)=8,

O

CL-----r10=0.02.

40

设由直方图估计分数的中位数为3

则有：(t-70)x0.035=0.5-0.1-0.25,解得：t«74.3,

估计平均数为：55x0.1+65x0.25+75x0.35+85x0.2+95x0.1=55+10x

0.25+20x0.35+30x0.2+40x0.1=74.5.

(U)测试分数不低于90分的频率为：±=七,

:・X=0,1,2,3,4,

第16页，共22页

得X〜B(4,幼，

即P(X=i)=C；(#舄尸,0=0,1,234),

•••X的分布列为：

X01234

p0.65610.29160.04860.00360.0001

X〜8(4,方，

•••E(X)=4X2=|.

【解析】(I)由题可得抽取个数为台=40,进而可得a,再结合直方图可得中位数及平

均数；

(11)由题可得*~8(4,2)，可求二项分布的分布列及期望.

本题考查了频率分布直方图的数字特征，离散型随机变量的分布列与期望，属于中档题.

19.【答案】(I)证明：取PD中点F,连接E凡AF,

则EF〃CD,且EF=gC£),

又•；AB〃C。，且

EF//AB,&EF=AB,

•••四边形4BEF是平行四边形，

BE//AF,

•••BE,平面P4D,力Fu平面P/D,

•••BE〃平面P4D；

(〃)•••CPJ•平面P4。，［CP1PO,又：CP=2或，AB=AD=2,CD=4,

PD=VCD2-PC2=2V2,取C。的中点0,连接P。，BO,

■■■ADL^CDP,.-.ADIPO,又•••P。JLCD,二P。J■平面4BCD,

又,：BO11AD,AD1CD,BO1CD,

以。为坐标原点，OB,OC,OP所在直线为坐标轴建立如图所示的空间直角坐标系,

则4(2,-2,0),8(2,0,0),C(0,2,0),P(0,0,2),

■~~PA=(2,-2,-2)，~AB=(0,2,0)(

设平面P4B的一个法向量为五=(x,y,z),

则｛——.，令z=l,则m=(1,0,1)，

(m-AB=2y=0

显然(0,—2,2)为平面以。的一个法向量，

设二面角8-PA-。的大小为a,

则—，

1|cosa|1=\黑m\-\段CP\।=32-**sina=2

••・二面角B-PA-。的正弦值为它.

2

【解析】(I)取PD中点F,连接EF,AF,然后可证明四边形4BEF是平行四边形，得到

BE〃4F即可；

(〃)取CD的中点。，连接PO,BO,以。为坐标原点，OB,OC,0P所在直线为坐标轴建

立如图所示的空间直角坐标系，求两个平面的法向量，利用向量法求二面角B-P4-D

的余弦值，再求正弦值.

本题考查直线与平面平行的证明，二面角、考查空间想象能力，逻辑思维能力和运算能

力，属中档题.

20.【答案】⑴解:连结PB,由题意有|PB|=|PM|,

所以|PB|+\PA\=\PM\+\PA\=10>\AB\=4A/6，

所以点P的轨迹E是以4B为焦点,长轴长为2a=10,焦距为2c=4n的椭圆,

2

所以点P的轨迹E的方程为|^+y2=1.

(2)证明：不妨设C(-5,0),0(5,0),设P(10,m),N(孙,yQ，，%，%)，

则直线GC的方程为丁=段(4+5),

、(―4-y2=1

联立〈25=>(94-m2)%2+10m2%4-25m2—225=0,

卜=石。+5)

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代入直线GC的方程得："=黑，即N(费等,若必

直线GC的方程是y=](x-5),

(X2

----hy92=1

联立方程125=>(14-m2)%2—10m2x+25m2—25=0,

y=三。一5)

由韦达定理5M=篝券=如=窑，

代入直线GD的方程得知=潦，即H(窑

当X"如时，直线NH的斜率%v=宣=缶，

二直线N〃的方程是y一■=缶(X一群，

整理得:'=缶。-)

当孙=如时，直线NH的方程为：x=|,

故直线NH过定点G，0).

【解析】(1)由题意可得几何关系|PB|+\PA\=\PM\+\PA\=10>\AB\=4V6,根据

椭圆的定义可得答案.

设得出直线的方程为丫=直线的

(2)P(10,m),/V(xw,yN),GC+5),GD

方程是y=£(x-5),分别与点P的轨迹E的方程联立，求出点N,H的坐标，求出直线

HN方程，得出答案.

本题主要考查轨迹方程的求解，韦达定理及其应用，圆锥曲线中的定点问题等知识，属

于中等题.

21.【答案】解：(I)由题可得/'(*)=aex4-cosx—sinx,

因为/(x)在(0,兀)上单调递增，所以/''(x)aex+cosx-sinx>0在(0,兀)上恒成立,

即a2晅厘恒成立,令g(x)=XG(0,7T),

(cosx+sinx')ex-(sinx-cosx)ex_2cosx

则g'O)=

(e*)z

令g'(%)=0，解得％=葭，且g'(%)>0时，0<X<pgf(x)<。时，<X<7T,

所以=g(5)=F，即有aNF;

'e2ei

(11)当@=1时，/(%)=4-cosx—sinx,

要证f(%)>2%4-2只需证e"+cosx—sinx>2a+2,即证空空罢匕竺i<1,

xx

人I,、2x+2-sinx-cosxm,i,/z、(2-cosx+sinx)e-(2x+2-sinx-cosx)e2sinx-2x

令九(x)=-----万-----，则八(x)=------------再------------=e、'

令t(x)=2sinx-2x,t'(x)=