专训11.2.1.3与折叠有关的三角形内角和问题-简单数学之2021-2022学年八年级上册考点专训（解析版）（人教版）

专训11.2.3与折叠有关的三角形内角和问题一、单选题1．如图，，将纸片的一角折叠，使点C落在内，若，则的度数为（）A． B． C． D．无法确定【答案】A【分析】先根据三角形内角和定理求出∠C的度数，故可得出∠3+∠4的度数，根据四边形的内角和等于360°即可得出结论．【详解】解：∵△ABC中，∠A=60°，∠B=70°，∠2=80°，

∴∠C=180°-60°-70°=50°，

∴∠3+∠4=∠A+∠B=60°+70°=130°，

∴∠1=360°-（∠A+∠B）-（∠3+∠4）-∠2=360°-130°-130°-80°=20°．

故选：A．【点睛】本题考查的是三角形内角和定理及翻折变换，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．2．如图，ABC中，∠ACB=90°，沿CD折叠CBD，使点B恰好落在AC边上的点E处．若∠A=24°，则∠EDC等于（）A．42° B．66° C．69° D．77°【答案】C【分析】根据三角形内角和定理求出∠B的度数，根据翻折变换的性质求出∠BCD的度数，根据三角形内角和定理求出∠BDC可得答案．【详解】解：在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=24°，∴∠B=90°-∠A=66°．由折叠的性质可得：∠BCD=∠ACB=45°，∴∠BDC=∠EDC=180°-∠BCD-∠B=69°．故选：C．【点睛】本题考查的是翻折变换和三角形内角和定理，理解翻折变换的性质、熟记三角形内角和等于180°是解题的关键．3．如图，在中，，点为边上一动点，将沿着直线对折．若，则的度数为（）A． B． C． D．【答案】C【分析】依据角的和差关系即可得到∠DBC的度数，再根据折叠的性质即可得到∠ABE的度数．【详解】∵∠ABD=18°，∠ABC=90°，

∴∠DBC=∠ABC-∠DBC=90°-18°=72°，

由折叠可得∠DBE=∠DBC=72°，

∴∠ABE=∠DBE-∠ABD=72°-18°=54°，

故选：C．【点睛】本题主要考查了折叠问题，折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．4．如图，在ABC中，∠B+∠C＝α，按图进行翻折，使，则∠FE的度数是（）A． B．90°﹣ C．α﹣90° D．2α﹣180°【答案】D【分析】设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，利用平行线的性质，三角形内角和定理构建方程组即可解决问题．【详解】解：设∠ADB′＝γ，∠AGC′＝β，∠CEB′＝y，∠C′FE＝x，∵，∴，，∴γ+β＝∠B+∠C＝α，∵EB′∥FG，∴∠CFG＝∠CEB′＝y，∴x+2y＝180°①，根据平行线的性质和翻折的性质可得：，，∴，∵γ+y＝2∠B，同理可得出：β+x＝2∠C，∴γ+y+β+x＝2α，∴x+y＝α②，②×2﹣①可得x＝2α﹣180°，∴∠C′FE＝2α﹣180°．故选：D．【点睛】本题考查三角形内角和定理，平行线的性质，翻折变换等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考常考题型．二、填空题5．如图，将纸片沿折叠，使点落在边上的点处，若，则__________．【答案】【分析】利用折叠性质得到，然后根据三角形外角性质求解．【详解】解：纸片沿折叠，使点落在边上的点处，，．故答案为．【点睛】本题考查了三角形内角和定理：三角形内角和是．也考查了折叠的性质．6．如图，在中，，，将三角形沿对折，使点与边上的点重合．若，则的度数为____________．【答案】40°【分析】设∠EFD=2∠AED=2x，由折叠性质可知，∠EDF=∠C=90°-∠A=90°-60°=30°，∠DEF=∠CEF，由三角形内角和定理得出∠CEF=150°-2x，再由∠DEF+∠CEF+∠AED=180°，列出方程即可求出∠AED=40°．【详解】解：设∠EFD=2∠AED=2x．

由折叠性质可知，∠EDF=∠C=90°-∠A=90°-60°=30°，

∠DEF=∠CEF，在△DEF中，∠DEF=180°-∠EDF-∠EFD=180°-30°-2x=150°-2x，

∴∠CEF=150°-2x，

∵∠DEF+∠CEF+∠AED=180°，

∴150°-2x+150°-2x+x=180°，

解得x=40°，

即∠AED=40°，故答案为40°．【点睛】本题考查了折叠问题，熟练利用三角形的内角和定理是解题的关键．7．如图，中，于点D，于点E，与交于点O，将沿折叠，使点C与点O重合，若，则__________．【答案】90【分析】根据折叠的性质得到对应角相等，推出，根据垂直的定义得到，利用平角的定义得到，即可求出结果．【详解】解：由折叠性质可知，，，，∴，，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，，∵，即，∴，∴．【点睛】本题考查了折叠的性质，平角的定义，互余的定义，解题的关键是利用相应的定义得到角之间的关系．8．如图，把三角形纸片ABC沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE的内部时，∠A与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是________．【答案】∠1+∠2=2∠A【分析】延长BE与CD相交于点A′，设∠AED=x，∠ADE=y，根据折叠的性质得∠A′ED=x，∠A′DE=y，根据三角形的内角和定理以及平角的定义，得出∠A与∠1+∠2的关系．【详解】解：延长BE与CD相交于点A′，如图，设∠AED=x，∠ADE=y，∵△ABC纸片沿DE折叠，∴∠A′ED=x，∠A′DE=y，∵∠A+x+y=180，∠1+2x=180，∠2+2y=180，∴∠1+∠2+2（180∠A）=2×180，∴∠1+∠22∠A=0，∴2∠A=∠1+∠2，故答案为：∠1+∠2=2∠A．【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，以及翻折变换，解题的关键是得出折叠前后不变的角．9．如图，将△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落在点A′，若∠B＝40°，则∠A′DB的大小为_____．【答案】100°．【分析】根据平行线的性质得出∠ADE＝∠B＝40°，继而得∠A′DE＝∠ADE＝40°，最后由平角的定义得出答案．【详解】解：∵∠B＝40°，△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，∴∠ADE＝∠B＝40°，∴∠A′DE＝∠ADE＝40°，∴∠A′DB＝180°﹣40°﹣40°＝100°．故答案为：100°．【点睛】本题考查三角形的翻折问题，熟练掌握翻折的性质是解题关键．10．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，点A的对应点为A′，∠B＝60°，∠C＝80°，则∠1+∠2等于_______．【答案】80°【分析】根据平角定义和折叠的性质，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4），再利用三角形的内角和定理得∠3+∠4＝∠B+∠C，即可解决问题．【详解】解：根据平角的定义和折叠的性质，得∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4）．又∵∠3+∠4＝180°﹣∠A，∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠3+∠4＝∠B+∠C，∵∠B＝60°，∠C＝80°，∴∠3+∠4＝∠B+∠C＝140°，∴∠1+∠2＝80°．故答案为：80°．【点睛】本题考查折叠的性质和三角形的内角和定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．11．如图，在中，，，是上一点，将沿折叠，使点落在边上的处，则等于_______．【答案】【分析】根据翻折变换的性质得出∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，进而利用三角形内角和定理得出∠BDC=∠B′DC，再利用平角的定义，即可得出答案．【详解】解：∵将Rt△ABC沿CD折叠，使点B落在AC边上的B′处，

∴∠ACD=∠BCD，∠CDB=∠CDB′，

∵∠ACB=90°，∠A=25°，

∴∠ACD=∠BCD=45°，∠B=90°-25°=65°，

∴∠BDC=∠B′DC=180°-45°-65°=70°，

∴∠ADB′=180°-70°-70°=40°．

故答案为：40°．【点睛】此题主要考查了翻折变换的性质以及三角形内角和定理，得出∠BDC和∠B′DC的度数是解题关键．12．如图，把沿线段折叠，使点A落在线段上的点F处，，若，则__________度．【答案】32【分析】根据三角形内角和定理和平行线的性质即可求出结果．【详解】解：由折叠可知：∠AEF=2∠AED=2∠FED，∵∠A+∠B=106°，∴∠C=180°-106°=74°，∵BC∥DE，∴∠AED=∠C=74°，∴∠AEF=2∠AED=148°，∴∠FEC=180°-∠AEF=32°．故答案为：32．【点睛】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，解决本题的关键是掌握三角形内角和定理和平行线的性质．13．如图，已知中，，现将进行折叠，使顶点、均与顶点重合，则的度数为______．【答案】86°【分析】由三角形内角和定理求出∠B+∠C=47°；证明∠ADE+∠AED=2(∠B+∠C)=94°，即可解决问题．【详解】∵∴∠B+∠C=180°-133°=47°由折叠的性质得：∠B=∠BAD，∠C=∠CAE∴∠ADE=2∠B，∠AED=2∠C∴=180°-（2(∠B+∠C)）=180°-94°=86°故答案为：86°【点睛】本题主要考查了翻折变换的性质、三角形的内角和定理等知识；解题的关键是熟练掌握翻折变换的性质以及三角形的内角和定理．14．如图，△ABE和△ADC是△ABC分别沿着AB、AC边翻折180形成的，若∠1：∠2：∠3=28：5：3，则∠的度数为____度．【答案】80°【分析】先根据三角形的内角和定理易计算出∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°，根据折叠的性质得到∠1=∠BAE=140°，∠E=∠3=15°，∠ACD=∠E=15°，可计算出∠EAC，然后根据+∠E=∠EAC+∠ACD，即可得到=∠EAC．【详解】设∠3=3x，则∠1=28x，∠2=5x，∵∠1+∠2+∠3=180°，∴28x+5x+3x=180°，解得x=5°，∴∠1=140°，∠2=25°，∠3=15°，∵△ABE是△ABC沿着AB边翻折180°形成的，∴∠1=∠BAE=140°，∠E=∠3=15°，∴∠EAC=360°-∠BAE-∠BAC=360°-140°-140°=80°，又∵△ADC是△ABC沿着AC边翻折180°形成的，∴∠ACD=∠E=15°，而+∠E=∠EAC+∠ACD，∴∠α=∠EAC=80°．故答案为80°．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应角相等，对应线段相等．也考查了三角形的内角和定理以及周角的定义．15．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCED外点A1的位置，若∠1+∠2=260°，则∠A=_________°．【答案】40【分析】先根据图形翻折变换的性质和平角、周角的定义得出∠ADE+∠AED，再根据三角形三角形内角和为180°进行解答即可．【详解】解：∵∠1+∠2=260°，∴∠ADE+∠A1DE+∠AED+∠A1ED=180°+360°-260°=280°，由折叠的性质可得∠ADE+∠AED=140°，∴∠A=180°-140°=40°．故答案为：40．【点睛】本题考查的是图形翻折变换的性质及三角形内角和为180°，熟知以上知识是解答此题的关键．16．如图，在△ABC中，点D是BC上的点，AD＝BD，∠B＝40°，将△ABD沿着AD翻折得到△AED，则∠CDE＝__．【答案】20º【分析】根据三角形内角和和翻折的性质解答即可．【详解】解：∵△ABD沿着AD翻折得到△AED，∠BAD=∠ABC=40°，

∴∠ADC=40°+40°=80°，∴∠ADE=∠ADB=180°-40°-40°=100°，

∴∠CDE=100°-80°=20°，

故答案为：20º【点睛】此题考查翻折的性质，关键是根据三角形内角和和翻折的性质解答．17．如图，乐乐将分别沿，翻折，顶点，均落在点处，且与重合于线段，若，则的度数为________．【答案】41°【分析】根据折叠得∠DOE=∠A，∠EOF=∠B，利用求出，再根据三角形的内角和求出的度数.【详解】由折叠得∠DOE=∠A，∠EOF=∠B，∵,∴，∴=，故答案为：41°.【点睛】此题考查折叠的性质，三角形内角和定理，正确理解折叠的性质得到是解题的关键.18．如图a，已知长方形纸带ABCD，将纸带沿EF折叠后，点C、D分别落在H、G的位置，再沿BC折叠成图b，若∠DEF＝72°，则∠GMN＝_____°．【答案】72【分析】由平行线的性质得∠DEF＝∠BFE＝72°，然后结合折叠的性质求得∠EFC=∠EFH=108°，∠H=∠N=∠C=90°，然后求得∠HFM=∠MFN=36°，∠HMF=∠NMF=54°，从而求解．【详解】解：∵AD∥BC∴∠DEF＝∠BFE＝72°∴∠EFC=180°-72°=108°由折叠性质可得：∠EFC=∠EFH=108°，∠H=∠N=∠C=90°∴∠HFM=∠MFN=∠EFH-∠BFE=108°-72°=36°∴∠HMF=∠NMF=90°-36°=54°∴∠GMN＝180°-54°×2=72°故答案为：72．【点睛】本题考查了平行线性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．也考查了折叠的性质．三、解答题19．已知，在直角三角形中，，是上一点，且．（1）如图1，求证：；（2）如图2，将沿所在直线翻折，点落在边上，记为点．①若，求的度数；②试求与的关系，并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①22°；②∠A′CB=90°-2∠B【分析】（1）根据直角三角形中两锐角互余得∠A+∠B=90°，而∠ACD=∠B，则∠A+∠ACD=90°，所以∠ADC=90°，然后根据垂直的定义得CD⊥AB；（2）①先得到∠ACD=34°，∠BCD=56°，再根据折叠的性质得∠A′CD=∠ACD=34°，然后利用∠A′CB=∠BCD-∠A′CD求解；②同①的方法，进行分类讨论即可．【详解】解：（1）∵∠ACB=90°，∴∠A+∠B=90°，∵∠ACD=∠B，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠ADC=90°，∴CD⊥AB；（2）①∵∠B=34°，∴∠ACD=34°，∴∠BCD=90°-34°=56°，∵△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边上，记为A′点，∴∠A′CD=∠ACD=34°，∴∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=56°-34°=22°；②∵∠B=∠ACD，则∠BCD=90°-∠ACD，∵△ADC沿CD所在直线翻折，A点落在BD边上，记为A′点，∴∠A′CD=∠ACD=∠B，∠A′CB=∠BCD-∠A′CD=90°-∠B-∠B=90°-2∠B．【点睛】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．20．如图，将一张三角形纸片的一角折叠，使得点A落在四边形的外部的位置且与点C在直线的异侧，折痕为，已知，．

（1）求的度数；（2）若保持的一边与平行，求的度数．【答案】（1）60°；（2）45°