第五节　指数与指数函数

第五节指数与指数函数1.了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质.2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念.3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点.2．有理数指数幂没有意义ar＋sarsarbr3.指数函数的图象与性质(1)当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论．(3)任意两个指数函数的图象都是相交的，过定点(0,1)，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称．(4)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b.2．(苏教版必修第一册P155·T5改编)若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0,1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为

(

)答案：A3．函数y＝2x＋1的图象是

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)答案：A4．已知a＝1.80.8，b＝0.81.8，c＝1.81.8，则

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)A．a<b<c B．b<a<cC．c<b<a D．a<c<b答案：B层级一/基础点——自练通关(省时间)基础点(一)指数幂的运算

[题点全训][一“点”就过](1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加．②运算的先后顺序．(2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．基础点(二)指数型函数图象的识辨

[题点全训]1．函数f(x)＝1－e|x|的图象大致是

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)解析：由f(x)＝1－e|x|是偶函数，其图象关于y轴对称，排除B、D.又e|x|≥1，所以f(x)的值域为(－∞，0]，排除C.答案：A

2．函数y＝ax－a－1(a>0，且a≠1)的图象可能是

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)[一“点”就过]有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．层级二/重难点——逐一精研(补欠缺)重难点(一)指数函数图象的应用

(1)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(2)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．2．函数y＝|3x－2|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________．解析：作出函数y＝|3x－2|的图象如图所示．由图可知，若函数y＝|3x－2|＋m的图象不经过第二象限，则将函数y＝|3x－2|的图象至少向下移动2个单位，则m≤－2.答案：(－∞，－2][方法技巧]比较指数幂大小的常用方法

单调性法不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽可能化同底取中间值法不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是0,1)比较大小，然后得出大小关系图象法根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小[方法技巧]解指数不等式的常用方法性质法解形如ax>ab的不等式，可借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1与0<a<1两种情况进行讨论隐含性质法解形如ax>b的不等式，可先将b转化为以a为底数的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解图象法解形如ax>bx的不等式，可利用对应的函数图象求解考法3求参数值(范围)[例3]

(1)已知函数f(x)＝2|2x－m|(m为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上单调递增，则m的取值范围是________．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．求参数值(范围)的方法是：首先判断指数型函数的性质，再利用其性质求解．

[针对训练]答案：D

2．(2022·临沂模拟)已知a＝31.1，b＝41.1，c＝30.9，则a，b，c的大小关系为

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)A．c<a<b B．c<b<aC．b<a<c D．b<c<a解析：由题意，构造函数y＝3x，y＝x1.1，由指数函数和幂函数的性质，可知两个函数在(0，＋∞)上单调递增；∵0.9<1.1，∴30.9<31.1，∴c<a；∵3<4，∴31.1<41.1，∴a<b.综上，c<a<b.答案：A

A．f(x)为奇函数B．f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上分别单调递减C．f(x)的值域为(－1,1)D．若g(x)＝f(2－x)，则g(a)＋g(4－a)＝0(a≠2)4．若不等式1＋2x＋4x·a≥0在x∈(－∞，1]时恒成立，则实数a的取值范围是________．2．(注意新元的取值范围)已知函数y＝4x－3·2x＋3，若其值域为[1,7]，则x可能的取值范围是

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)A．[2,4] B．(－∞，0]C．(0,1]∪[2,4] D．(－∞，0]∪[1,2]二、融会贯通应用创新题3．(借助数学文化)《数术记遗》是东汉时期徐岳编撰的一本数学专著，内有中国特色的十四种算法．它最早记录中国古代关于大数的记法：“黄帝为法，数有十等．及其用也，乃有三焉．十等者，亿、兆、京、垓、秭、壤、沟、涧、正、载．三等者，谓上、中、下也．其下数者，十十变之，若言十万曰亿，十亿曰兆，十兆曰京也．中数者，万万变之，若言万万曰亿，万万亿曰兆，万万兆曰京．上数者，数穷则变，若言万万曰亿，亿亿曰兆，兆兆曰京也．从亿至载，终于大衍．下数浅短，计事则不尽，上数宏阔，世不可用．故其传业，唯以中数耳．”我们现在用的是中数之法：万万为亿，万亿为兆，万兆为京，……，即104＝1万，108＝1亿，1012＝1兆，1016＝1京，……，已知地球的质量大约是5.965秭千克，则5.965秭的位数是

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)A．21 B．20C．25 D．24解析：由题意知相邻记数单位之间后面的比前面的多4位.1兆＝1012是13位数，因此1京是17位数，1垓是21位数，1秭是25位数，所以5.965秭是25位数．故选C.答案：C

5．(创新考查方式)设有两个命题：①指数函数f(x)＝(2－a)x是增函数；②方程x2－ax－1＝0在(0,2]上没有实数根，当①与②至少有一个真命题时，实数a的取值范围是________．6．(体现开放探究)能说明