2022届新高考物理冲刺精准复习：卫星变轨问题 双星模型

2022届新高考物理冲刺精准复习

卫星变轨问题双星模型

学习目标

1.会处理人造卫星的变轨和对接问题.

2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题.

高考导航

高考（全国卷）三年命题情况对照分析

考点内容要求

命题分析

万有引力定律及其应

II

用

1.题型以选择题居多，计算题较少。

.高频考点：万有引力与天体运动。

环绕速度n2

.天体运动一般单独命题

第二宇宙速度和第三3

I

宇宙速度

经典时空观和相对论

I

时空观

物理观念：万有引力、宇宙速度、经典时空观、相对论时空观。

核心

科学思维：万有引力定律、开普勒定律、双星模型、多星运动模型。

素养

科学态度与责任：万有引力与卫星发射、变轨、回收。

一、课前检测

1.（2020.福建漳州一模）（多选）2019年1月3日，“嫦娥四号”月球探测器顺利着陆在月球

背面，成为人类首个实现软着陆月背的探测器。着陆前，探测器先在距月球表面高度约为

100km的圆轨道上运行；然后在A点实施变轨，使运行轨道变为远月点A高度约为100km

和近月点P高度约为15km的椭圆轨道;再在P点实施制动降落月背。下列说法正确的是（）

A.从圆轨道到椭圆轨道的变轨过程中，探测器的机械能变大

B.探测器在椭圆轨道运行时，在P点的速率大于在A点的速率

C.探测器在P点时的加速度大于在A点时的加速度

D.探测器在椭圆轨道的运行周期大于在圆轨道的运行周期

2.（多选）2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波。根据科学家们复

原的过程，在两颗中子星合并前约100s时，它们相距约400km,绕二者连线上的某点每秒

转动12圈。将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利

用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星（）

A.质量之积B.质量之和

C.速率之和D.各自的自转角速度

二、考点精讲

考点一卫星的变轨和对接问题

1.变轨原理

（1）为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道I上，如图1所示.

（2）在A点（近地点）点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道I上做

圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道II.

（3）在B点（远地点）再次点火加速进入圆形轨道IH.

2.变轨过程分析

（1）速度：设卫星在圆轨道I和m上运行时的速率分别为打、⑶在轨道II上过A点和

3点时速率分别为以、%在A点加速，则％>内，在B点加速，则吟恸又因也>知故有

（2）加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道I还是轨道n上经

过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道n或轨道in上经过8点的加速度也相同.

（3）周期：设卫星在I、II、ni轨道上的运行周期分别为B、4、T3,轨道半径分别为

ri、r2（半长轴）、由开普勒第三定律E=人可知7]<T2<T3.

（明机械能：在一个确定的圆（椭圆）轨道上机械能守恒.若卫星在I、n、in轨道的机械

能分别为E1、及、Ei,则EI<E2<E3.

例1.我国正在进行的探月工程是高新技术领域的一次重大科技活动，在探月工程中飞行

器成功变轨至关重要。如图所示，假设月球半径为R,月球表面的重力加速度为go,飞行器

在距月球表面高度为3R的圆形轨道I上运动，到达轨道的A点点火变轨进入椭圆轨道H,

到达轨道的近月点B再次点火进入近月轨道IH绕月球做圆周运动，则（）

!初

\、、----J?

\n/

、、、、.....J'I

A.飞行器在8点处点火后，动能增加

B.飞行器在轨道in上绕月球运行一周所需的时间为2兀

c.只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道ii上通过3点的加速度大于在轨道ni上通

过8点的加速度

D.由已知条件不能求出飞行器在轨道II上的运行周期

延伸思考

（1）飞行器在轨道I、D、m上运行的周期大小关系如何？最大周期为多少？

（2）飞行器在轨道I、n、m上运行的机械能大小关系如何？

（3）飞行器在轨道I、ni上运行的速度大小关系如何？

卫星变轨的实质

两类变轨离心运动近心运动

变轨起因卫星速度突然增大卫星速度突然减小

^Mmv2Mmv2

受力分析GXny

变为椭圆轨道运动或在较大半变为椭圆轨道运动或在较小半径

变轨结果

径圆轨道上运动圆轨道上运动

跟踪1.（山西五地联考期末）2018年12月8日2时23分，嫦娥四号探测器搭乘长征三

号乙运载火箭，开始了奔月之旅.她肩负着沉甸甸的使命：首次实现人类探测器月球背面软

着陆.2018年12月12日16时45分，嫦娥四号探测器成功实施近月制动，顺利完成“太空刹

车“，被月球捕获，进入了近月点约100公里的环月轨道，如图3所示，下列说法正确的是

（）

1。（）公里环月轨道

椭圆环月轨道

地月转移轨道

A.嫦娥四号在地月转移轨道经过P点时和在100公里环月轨道经过P点时的速度相同

B.嫦娥四号从100公里环月轨道的P点进入椭圆环月轨道后机械能减小

C.嫦娥四号在100公里环月轨道运动的周期等于在椭圆环月轨道运动的周期

D.嫦娥四号在100公里环月轨道运动经过P的加速度大小等于在椭圆环月轨道经过尸

的加速度大小，但方向有可能不一样

考点二双星或多星模型

1.双星模型

(1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所

示.

⑵特点：

①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即

Gm\mi°G/n11212,

—^2-=/niWi2n,——=胆2"22r2

②两颗星的周期及角速度都相同，即

Tl=丁2,(0\=(t)2»

③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：n+「2=心

2.多星模型

(1)模型构建：所研究星体的万有引力的合力提供做圆周运动的向心力，除中央星体外,

各星体的角速度或周期相同.

(2)三星模型：

①三颗星体位于同一直线上，两颗质量相等的环绕星围绕中央星在同一半径为R的圆

形轨道上运行(如图甲所示).

②三颗质量均为m的星体位于等边三角形的三个顶点上(如图乙所示).

(3)四星模型:

①其中一种是四颗质量相等的星体位于正方形的四个顶点上，沿着外接于正方形的圆

形轨道做匀速圆周运动（如图丙所示）.

②另一种是三颗质量相等的星体始终位于正三角形的三个顶点上，另一颗位于中心0,

外围三颗星绕0做匀速圆周运动（如图丁所示）.

例2.（吉林省实验中学八模）某双星系统由4、〃两颗星体组成，这两颗星绕它们连线上

的某一点做匀速圆周运动。这两颗星之间的距离为L,a星绕它们连线上的某点每秒转动〃

圈，。、6两颗星的轨道半径之差为星的轨道半径大于b星的轨道半径），引力常量为Go

则（）

47r2M2/3

A.a、b两颗星的质量之和为&晋

B.匕两颗星的质量之比为卢学

£—Ar

八、一4、,2兀〃L+Ar

匕星a的角速度为-------T-

或.两颗星的轨道半径之比为£

解决双星、多星问题的关键点

（1）双星或多星的特点、规律，确定系统的中心以及运动的轨道半径。

（2）星体的向心力由其他天体的万有引力的合力提供。

（3）星体的角速度相等。

（4）星体的轨道半径不是天体间的距离。要利用几何知识，寻找两者之间的关系，正确

计算万有引力和向心力。

跟踪2.（多选）宇宙间存在一些离其他恒星较远的三星系统，其中一种三星系统如图所

示.三颗质量均为加的星体位于等边三角形的三个顶点，三角形边长为R忽略其他星体对

它们的引力作用，三星在同一平面内绕三角形中心。做匀速圆周运动，万有引力常量为G,

8---------0

每颗星做圆周运动的线速度大小为

3Gm

每颗星做圆周运动的角速度为

每颗星做圆周运动的周期为2:

D.每颗星做圆周运动的加速度与三星的质量无关

三.课堂检测

1.（多选）（八省联考・湖北）嫦娥五号取壤返回地球，完成了中国航天史上的一次壮举.如

图所示为嫦娥五号着陆地球前部分轨道的简化示意图，其中I是月地转移轨道，在尸点由

轨道I变为绕地椭圆轨道II.在近地点Q再变为绕地椭圆轨道HI.下列说法正确的是（）

A.在轨道n运行时，嫦娥五号在。点的机械能比在p点的机械能大

B.嫦娥五号在轨道I[上运行的周期比在轨道in上运行的周期长

c.嫦娥五号分别沿轨道n和轨道ni运行时，经过。点的向心加速度大小相等

D.嫦娥五号分别沿轨道n和轨道in运行时，经过。点的速度大小相等

2.（多选）（2020广东深圳中学质检）有一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图所

示.若图中双黑洞的质量分别为M和此，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运

动.根据所学知识，下列说法中正确的是（）

A.双黑洞的角速度之比si:M2=M2：M

B.双黑洞的轨道半径之比n:废=Mz:

C.双黑洞的线速度大小之比V]:V2=M\:Mi

D.双黑洞的向心加速度大小之比ax：42=M2:Mi

3.（多选）（2021.安徽模拟）如图为一种四颗星体组成的稳定星系，四颗质量均为的星体

位于边长为L的正方形四个顶点，四颗星体在同一平面内围绕同一点做匀速圆周运动，忽

略其他星体对它们的作用，万有引力常量为G下列说法中正确的是（）

A.星体匀速圆周运动的圆心不一定是正方形的中心

4+gGin

每个星体匀速圆周运动的角速度均为

B.2L3

C.若边长L和星体质量m均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的加速度大小是原来的

两倍

D.若边长L和星体质量机均是原来的两倍，星体匀速圆周运动的线速度大小不变

四、课堂总结

航天器变轨问题的三点注意事项

(1)航天器变轨时半径的变化，根据万有引力和所需向心力的大小关系判断；稳定在新

圆轨道上的运行速度由v=\呼判断。

(2)航天器在不同轨道上运行时机械能不同，轨道半径越大，机械能越大。

(3)航天器经过不同轨道的相交点时，加速度相等，外轨道的速度大于内轨道的速度。

参考答案

课前检测

1.解析BC本题考查变轨时机械能、速率、加速度、周期的变化。“嫦娥四号”在A

处变轨进入椭圆轨道是由圆周运动变为近心运动，心须点火减速，线速度变小，动能变小，

高度降低引力势能也减小，所以机械能减小，故A错误；探测器在椭圆轨道从A点到P点

的过程，距离月球变近，万有引力做正功，动能增大，则探测器在P点的速率大于在A点

的速率，故B正确；根据牛顿第二定律有牛=ma,得a=券,知距离月球越远，加速度

越小，则探测器在尸点时的加速度大于在A点时的加速度，故C正确；圆轨道的半径大于

椭圆轨道的半长轴，根据开普勒第三定律，轨道半径越大运行周期越长，则探测器在椭圆轨

道的运行周期小于在圆轨道的运行周期，故D错误。

2.答案BC

解析两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示

0

■&m2

”1

每秒转动12圈，角速度已知，

中子星运动时，由万有引力提供向心力得

①

竿=2②

/="+72③

由①②@式得G噂小=4所以加+牝=誓，

质量之和可以估算。

由线速度与角速度的关系v=s得

V|=0八④

V2=⑤

由③④©式得vi+v2=co(n+r2')=a)l,速率之和可以估算。

质量之积和各自自转的角速度无法求解。

考点精讲

例1.答案B

解析在椭圆轨道近月点变轨成为圆轨道，要实现变轨应给飞行器点火减速，减小所需

的向心力，故点火后动能减小，故A错误；设飞行器在近月轨道ni绕月球运行一周所需的

时间为八，贝IJ：〃吆0=〃?串，解得：73=2兀噌，根据几何关系可知，轨道n的半长轴“

=2.5R,根据开普勒第三定律爷=々以及飞行器在轨道HI上的运行周期，可求出飞行器在轨

道U上的运行周期，故B正确，D错误；只有万有引力作用情况下，飞行器在轨道H上通

过B点的加速度与在轨道HI上通过B点的加速度相等，故C错误。

提示：(1)由开普勒第三定律,=%可知，飞行器的轨道由i-n-in的过程中半长轴”

变小，故T变小。

即Ti>T2>T3,

/?347?3

由铲芹，

可得最大周期7,I=873=16n

(2)飞行器由轨道ITH—III时都要经过制动减速，故飞行器的机械能大小关系为：

E।>£n>£in<.

⑶由华=，*得v=、倍，所以也。可见虽然飞行器由轨道ITn—m时都

要制动减速，但仍然有丫3>也，根源在于轨道n为椭圆，近月点比远月点的速度大，总之处

理问题要有理论依据，不能想当然的进行判断。

跟踪1.答案B

解析嫦娥四号从地月转移轨道的P点进入100公里环月轨道，需点火减速，所以在

地月转移轨道P点的速度大于在100公里环月轨道尸点的速度，故A错误；从100公里环

月轨道进入椭圆环月轨道，嫦娥四号需点火减速，发动机做负功，机械能减小，故B正确；

根据开普勒第三定律捻=k知，100公里环月轨道半径大于椭圆环月轨道的半长轴，则嫦娥

四号在100公里环月轨道运动的周期大于在椭圆环月轨道运动的周期，故C错误；嫦娥四

号卫星在不同轨道经过P点，所受的万有引力相等，根据牛顿第二定律知，加速度大小相

等，方向相同，故D错误.

例2.解析A本题考查双星问题。设八6两颗星的质量分别为加卜〃?2,轨道半径分别

为「、2由题意则n+，2=L，r\—r2—\r,解得n=:(£,+Ar),，2=如一")，则”

=打¥，选项D错误；两星围绕它们连线上的某点运动的角速度相同，。星绕它们连线上

L一△丫

的某点每秒转动〃圈，角速度为3=2兀〃，则匕星的角速度也为2兀〃，选项C错误；根据万

有引力提供向心力可知=如n〃=2，整理可得。嗜"2=s+切整=

W2f2CO

4兀2〃2乙，解得质量之和如+m=吟£选项A正确；由写也=如602r产恤32r2,可得“、

〃两颗星的质量之比端=3京，选项B错误。

跟踪2.答案ABC

解析每颗星受到的合力为广=2点sin60。=/G聋，轨道半径为r=^R,由向心力

公式F=/Ma=〃4=/M（o2r=〃7^r,解得co—砺T_\r^~